2021屆江西省吉安市XX中學高三上學期期中考試數學(理)試題(解析版)

2021屆江西省吉安市白鷺洲中學高三上學期期中考試數學（理）試題一、單選題1．已知集合，，則有（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求定義域確定集合，然后求出交集和并集判斷各選項．【詳解】∵，，∴，.故選：C.2．若復數滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：由，變形為,再用復數的四則運算化簡得到z的代數形式，進而求得．詳解：由題可知，所以故選A．點睛：本題主要考查復數的運算、復數的模長計算，屬于基礎題．3．設是等差數列，其前項和為.則“”是“為遞增數列”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】先由進行化簡，能推出，即為遞增數列.再由為遞增數列，得，能推出故“”是“為遞增數列”的充分必要條件.【詳解】設的公差為.充分性證明：由得：，即：.所以為遞增數列.必要性證明：由為遞增數列得：，所以所以“”是“為遞增數列的充分必要條件故選：C.【點睛】本題主要結合等差數列考查充分條件及必要條件的判斷.屬于基礎題目.4．若函數為增函數，則函數的圖像大致是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據復合函數的增減性知，，從而畫出圖象，再由偶函數的對稱性得出所求圖象.【詳解】由題可知，故為減函數，由復合函數為增函數可得.當，此時函數為減函數，結合函數為偶函數可知，函數的圖象為選項A中的圖象.【點睛】本題主要考查了復合函數的單調性，函數的奇偶性，對數函數的圖象，屬于中檔題.5．若實數滿足約束條件，則的最小值是（）A．10 B．3C． D．【答案】B【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優(yōu)解，聯立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數求出結果．【詳解】解：由約束條件作出可行域，如下圖：聯立，解得，化目標函數為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，所以z的最小值為3．故選：B．【點睛】此題考查簡單的線性規(guī)劃的應用，屬于基礎題.6．用數學歸納法證明:當時,等式左邊應在的基礎上加上（）A． B． C． D．【答案】C【分析】對比與的等式的左邊,即可得出結果.【詳解】用數學歸納法證明:當時,則當,左式=,當時,等式左邊應在的基礎上加上.故選:C【點睛】本題考查用數學歸納法來證明與正整數有關的命題,解題的關鍵是要看出等式的結構形式，寫出等式對比就能看出兩邊的差距,屬于基礎題.7．已知，其部分圖象如圖所示，則的解析式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據圖像可得函數周期，最值，則可得，再根據五點作圖法求得即可.【詳解】由圖可知，解得；又因為，故可得；由五點作圖法可知，解得，故.故選：D.【點睛】本題考查由正弦型函數的圖像求解函數解析式，屬基礎題.8．在區(qū)間上任選兩個數，，則的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以作為平面直角坐標系中點的坐標，則在區(qū)間上任取，可得點對應區(qū)域正方形，滿足的區(qū)域是正方形中在曲線下方的部分，用積分的幾何意義可求得其面積，從而得出概率．【詳解】由題意，在區(qū)間上任選兩個數，，點對應區(qū)域為如圖正方形，面積為2，滿足的區(qū)域為圖中陰影部分，面積為，所以所求概率為，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題考查幾何概型，解題關鍵是以作為點的坐標，從而可得出點所在平面區(qū)域，再求出滿足條件區(qū)域的面積，即可得概率．9．已知數據的平均數、標準差分別為，數據的平均數、標準差分別為，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別代入平均數和標準差的公式，得到和的關系，以及和的關系，計算求值.【詳解】，.故選：D【點睛】本題考查樣本平均數和標準差的計算公式，重點考查計算化簡能力，屬于中檔題型，本題的關鍵是利用公式正確化簡兩個數據的平均數和標準差.10．已知正實數、、滿足，，，則、、的大小關系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】計算出的值，然后考慮的大小.【詳解】因為，所以，則，故選A.【點睛】指對式的比較大小，可以從正負的角度來分析，也可以從同指數的角度來分析大小.11．已知隨機變量，且，則的展開式中的系數為（）A．40 B．120 C．240 D．280【答案】D【分析】先利用正態(tài)分布的性質可求，再利用二項展開式的通項公式可求的系數.【詳解】根據正態(tài)曲線的性質可知，，解得，的展開式的通項公式為，，的展開式的通項公式為，，令兩式展開通項之積的指數為，可得或，∴的展開式中的系數為，故選：D.【點睛】方法點睛：利用二項展開式計算指定項的系數時，注意利用通項公式和多項式的乘法判斷出指定項的系數是有哪些項的系數相乘所得到的.12．已知函數，若兩個零點，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題中條件，得到有兩個根，，不妨設；令，得到，，設，對其求導，判定其單調性，求出值域，即可得出結果.【詳解】當時，，∴，當時，，；∴，所以兩個零點，，等價于方程有兩個根，，則，即有兩個根，（不妨設），則時，；當時，，令，則，；所以，；則，，設，，則，當時，顯然恒成立，所以函數單調遞減，則，所以的值域為，即的取值范圍為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于根據函數零點個數結合函數解析式，得到有兩個根為和，再構造函數，利用導數的方法求解即可.二、填空題13．已知點，，則與向量方向相同的單位向量的坐標為____________.【答案】【解析】∵點，，∴，可得，因此，與向量同方向的單位向量為：故答案為：14．設為等比數列的前項和，已知，，則__________．【答案】560【分析】利用等比數列的前項和公式，求得及（是公比）．然后再由等比數列前項和公式計算．【詳解】設等比數列的公比為，易知，因為，，所以，所以，所以，又因為，所以，所以.故答案為：560.15．某公司一年購買某種貨物噸，每次購買噸，運費為萬元/次，一年的總存儲費用為萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則的值是__________．【答案】【詳解】總費用為，當且僅當，即時等號成立．故答案為30.點睛:在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤．16．設的內角，，所對的邊為，，，則下列命題正確的是__________．①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．【答案】①②③【分析】利用余弦定理結合基本不等式判斷①②③，舉反例判斷④．【詳解】①因為，，所以，因為，所以，所以①正確.②由，得，即，所以，因為，所以，所以②正確.③由余弦定理得當時，，所以③正確.④取，，滿足，但是為銳角，所以④錯誤.所以命題正確的是①②③.故答案為：①②③.【點睛】關鍵點點睛：本題考查考查余弦定理，基本不等式的應用，在三角形中判斷一個角的大小，可利用余弦函數性質由角的余弦值的范圍得角的范圍，這樣順理成章地利用余弦定理求出角的余弦，并結合基本不等式得出余弦值范圍．得出結論．三、解答題17．已知等差數列的前n項和為，且，．（1）求；（2）設數列的前n項和為，求證：．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）設公差為，由，可得解得，，從而可得結果；（2）由（1），，則有，則，利用裂項相消法求解即可.【詳解】（1）設公差為d，由題解得，．所以．（2）由（1），，則有．則．所以．【點睛】本題主要考查等差數列的通項與求和公式，以及裂項相消法求數列的和，屬于中檔題.裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，常見的裂項技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.18．已知函數是奇函數．（1）求的值；（2）設，若對任意恒成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由求出，再檢驗函數為奇函數即可得；（2）求出時的最小值，然后解不等式，同時使得對數有意義．【詳解】（1）由于為奇函數，且定義域為，∴，即，.檢驗：當時，，，∴為奇函數.（2）∵，∴，又∵在區(qū)間上是增函數，∴當時，，由題意得，∴.【點睛】方法點睛：本題考查由奇偶性求參數，考查不等式恒成立．由奇函數求參數的方法：（1）若時有意義，則由求得參數，然后代入進行檢驗函數確實是奇函數，檢驗的原因是是為奇函數的既不充分也不必要的條件．（2）根據奇函數的定義求解．19．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，點D在AC邊上且，，求c．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由正弦定理邊化角，結合兩角和差正弦公式可整理求得，根據求得；（2）利用余弦定理可得滿足的方程；根據三角形面積構造方程得到關系，代入余弦定理構成的方程可求得結果.【詳解】（1）由正弦定理得：，即（2）由余弦定理得：把帶入得：，解得：【點睛】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理邊化角、余弦定理和三角形面積公式的應用等知識，屬于?？碱}型.20．某企業(yè)擁有3條相同的生產線，每條生產線每月至多出現一次故障.各條生產線是否出現故障相互獨立，且出現故障的概率為.（1）求該企業(yè)每月有且只有1條生產線出現故障的概率；（2）為提高生產效益，該企業(yè)決定招聘名維修工人及時對出現故障的生產線進行維修.已知每名維修工人每月只有及時維修1條生產線的能力，且每月固定工資為1萬元.此外，統(tǒng)計表明，每月在不出故障的情況下，每條生產線創(chuàng)造12萬元的利潤；如果出現故障能及時維修，每條生產線創(chuàng)造8萬元的利潤；如果出現故障不能及時維修，該生產線將不創(chuàng)造利潤，以該企業(yè)每月實際獲利的期望值為決策依據，在與之中選其一，應選用哪個？（實際獲利=生產線創(chuàng)造利潤-維修工人工資）【答案】（1）（2）應選用【分析】（1）分析可得隨機變量滿足二項分布,求得時的概率即可；（2）由（1）,并分別求得,,時的概率,由題意得到不同方案下實際獲利并求得期望,比較大小即可【詳解】解：（1）設3條生產線中出現故障的條數為,則,因此（2）①當時,設該企業(yè)每月的實際獲利為萬元,若,則；若,則；若,則；若,則；又,,,此時,實際獲利的均值②當時,設該企業(yè)每月的實際獲利為萬元,若,則；若,則；若,則；若,則；因為,于是以該企業(yè)每月實際獲利的期望值為決策依據,在與之中選其一,應選用【點睛】本題考查二項分布的應用,考查期望的計算,考查數據處理能力與運算能力21．已知函數．（1）討論在其定義域內的單調性；（2）若，且，其中，求證：．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）求出導函數，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）由（1）知函數的單調性，不等式不等式轉化為，由于，，利用單調性不等式轉化為故只需證明，即證，這樣引入新函數，利用導數證明時，即得．【詳解】（1）①當時，，則在區(qū)間上單調遞增；②當時，，，在區(qū)間上單調遞增；，，在區(qū)間上單調遞減，（2）由（1）得：當時，在上單調遞增，在上單調遞減，∴，將要證的不等式轉化為考慮到此時，，，又當時，遞增，故只需證明，即證，設，則.當時，，遞增，所以，當時，.所以，從而命題得證.【點睛】關鍵點點睛：本題考查用導數研究函數的單調性，用導數證明不等式．關于不等式的證明，首先對于雙變量問題，要進行轉化，轉化為單變量，方法是把要證的不等式進行變形，分離參數，然后利用已知函數的單調性轉化為要證明函數不等式，再利用函數值相等雙變量轉化為單變量，其次引入新函數，利用導數確定新函數的單調性從而證得新不等式成立．22．在直角坐標系中，曲線C的參數方程為，（為參數），直線的參數方程為，（t為參數），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，點M的極坐標為．（1）求直線與曲線C的普通方程；（2）若直線與曲線C交于P，Q兩點，求的值．【答案】（1）直線的普通方程為；曲線C的普通方程為；（2）．【分析】（1）直線的參數方程消去參數t可得直線的普通方程，曲線C的參數方程變形代入可得曲線C的普通方程；（2）首先求出點M的直角坐標，判斷出點M在直線l上，聯立直線l與曲線C的普通方程得到關于t的一元二次方程，根據直線的參數方程的幾何意義進行求解.【詳解】（1）因為直線的參數方程為（t為參數），消去參數t可得直線的普通方程為．因為曲線C的參數方程為（為參數），由可得曲線C的普通方程為．（2）因為點M的極坐標為，所以M的直角坐標為，點M的坐標滿足直線l的方程，則點M在直線上，將直線的參數方程代入曲線C的普