人教A版選擇性必修第三冊61分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理學案

第六章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理新課程標準新學法解讀1.通過實例，能歸納總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理．“完成一件事情〞的含義，能依據(jù)詳細問題的特征，選擇“分類〞或“分步〞．3.能運用兩個計數(shù)原理解決一些綜合性的問題.1.分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其簡潔應(yīng)用．2.通過合理分類或分步解決問題，提升規(guī)律推理的素養(yǎng).課前篇·自主學習固根底[筆記教材]學問點1分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．學問點2分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．說明：兩個計數(shù)原理的區(qū)分與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)分一每類方法都能地完成這件事，它是的、一次的，且每次得到的是最終結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果(最終一步除外)，任何一步都不能完成這件事，缺少任何一步也不能完成這件事，只有各步都完成了，才能完成這件事區(qū)分二各類方法之間是互斥的、并列的、的各步之間是關(guān)聯(lián)的、的，“關(guān)聯(lián)〞確保不遺漏，“〞確保不重復(fù)聯(lián)系這兩個原理都是用來計算做一件事情的不同方法數(shù)[重點理解]1．利用分類加法計數(shù)原理解題的考前須知(1)明確題目中所指的“完成一件事〞是什么事，完成這件事可以有哪些方法，怎么才算是完成這件事．(2)完成這件事的2類方法，無論用哪類方法中的哪種方法都可以單獨完成這件事，不需要用到其他的方法．(3)確立恰當?shù)姆诸悩藴?，精確?????地對“完成這件事的方法〞進行分類，要求每一種方法必屬于某一類方法，不同類方法的任意兩種方法不同，也就是分類必需既不重復(fù)也不遺漏．從集合的角度看，假設(shè)完成一件事分A，B兩類方法，那么A∩B＝?，A∪B＝I(I表示全集)．2．利用分步乘法計數(shù)原理解題的考前須知(1)明確題目中所指的“完成一件事〞是什么事，完成這件事需要幾步．(2)完成這件事需要分成2個步驟，只有兩個步驟都完成了，才算完成這件事，無論缺少哪一步，這件事都不行能完成．(3)依據(jù)題意正確分步，要求各步之間必需連續(xù)，只有依據(jù)這幾步逐一去做，才能完成這件事，各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏．(4)對于同一個題目，標準不同，分步也不同．分步的根本要求：一是完成一件事，必需且只需連續(xù)做完幾步，既不漏步也不重步；二是不同步驟的方法不能相互替代．[自我排查]1．(2021·重慶高二期末)完成一項工作，有兩種方法，有5個人只會用第一種方法，另外有4個人只會其次種方法，從這9個人中選1個人完成這項工作，那么不同的選法共有()A．5種 B．4種C．9種 D．45種答案：C解析：會用第一種方法的有5個人，選1個人完成這項工作有5種選擇．會用其次種方法的有4個人，選1個人完成這項工作有4種選擇．兩者相加一共有9種選擇．2．由1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為()A．36 B．24C．12 D．6答案：B解析：由題意知可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為4×3×2＝24.3．從A地到B地，可乘汽車、火車、輪船三種交通工具，假如一天內(nèi)汽車發(fā)3次，火車發(fā)4次，輪船發(fā)2次，那么一天內(nèi)乘坐這三種交通工具的不同走法數(shù)為()A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9C．3×4×2＝24 D．以上都不對答案：B解析：分三類：第一類，乘汽車，從3次中選1次有3種走法；其次類，乘火車，從4次中選1次有4種走法；第三類，乘輪船，從2次中選1次有2種走法．所以，共有3＋4＋2＝9(種)不同的走法．4．(2021·江蘇連云港高二期中)x∈{1,2,4}，y∈{－2，－3,5}，那么x·y可表示不同的值的個數(shù)為()A．8 B．9C．10 D．12答案：B解析：由于x∈{1,2,4}，y∈{－2，－3,5}，所以x＝1，y＝－2時，x·y＝－2；x＝1，y＝－3時，x·y＝－3；x＝1，y＝5時，x·y＝5；x＝2，y＝－2時，x·y＝－4；x＝2，y＝－3時，x·y＝－6；x＝2，y＝5時，x·y＝10；x＝4，y＝－2時，x·y＝－8；x＝4，y＝－3時，x·y＝－12；x＝4，y＝5時，x·y＝20.一共有9個不同結(jié)果．應(yīng)選B.課堂篇·重點難點要突破研習1分類加法計數(shù)原理[典例1]一個科技小組有3名男同學，5名女同學，從中任選1名同學參與學科競賽，不同的選派方法共有________種．答案：8解析：任選1名同學參與學科競賽，有兩類方案：第一類，從男同學中選取1名參與學科競賽，有3種不同的選法；其次類，從女同學中選取1名參與學科競賽，有5種不同的選法．由分類加法計數(shù)原理得，不同的選派方法共有3＋5＝8(種)．[巧歸納]1．使用分類加法計數(shù)原理計數(shù)的兩個條件．(1)依據(jù)問題的特點能確定一個適合于它的分類標準，然后在這個標準下進行分類．(2)完成這件事的任何一種方法必需屬于某一類，并且分別屬于不同類的兩種方法是不同的方法．只有滿意這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理．2．利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程．[練習1](2021·山東寧陽高二期中)從1,2,3,4,5,任取三個不同的數(shù)相加，那么不同的結(jié)果共有()A．6種 B．9種C．10種 D．15種答案：C解析：從1,2,3,4,5,任取三個不同的數(shù)相加，所得的最小值為1＋2＋3＝6，最大值為4＋5＋6＝15，1＋2＋3＝6,1＋2＋4＝7，1＋2＋5＝1＋3＋4＝8，1＋2＋6＝1＋3＋5＝2＋3＋4＝9，1＋3＋6＝1＋4＋5＝2＋3＋5＝10，1＋4＋6＝2＋3＋6＝2＋4＋5＝11，1＋5＋6＝2＋4＋6＝3＋4＋5＝12，2＋5＋6＝3＋4＋6＝13,3＋5＋6＝14,4＋5＋6＝15，共有10種不同結(jié)果．應(yīng)選C.研習2分步乘法計數(shù)原理[典例2](教材P7例6(1)改編)一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼(各位上的數(shù)字允許重復(fù))?思路點撥：依據(jù)題意，必需依次在每個撥號盤上撥號，全部撥號完畢后，才撥出一個四位數(shù)號碼，所以應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理．解：按從左到右的挨次撥號可以分四步完成：第一步，撥第1個撥號盤，有10種撥號方式，所以m1＝10；其次步，撥第2個撥號盤，有10種撥號方式，所以m2＝10；第三步，撥第3個撥號盤，有10種撥號方式，所以m3＝10；第四步，撥第4個撥號盤，有10種撥號方式，所以m4＝10.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共可以組成N＝10×10×10×10＝10000(個)四位數(shù)的號碼．[巧歸納]利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路[練習2]甲、乙、丙、丁四人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己的賀卡，那么不同取法的種數(shù)有________種．答案：9解析：不妨由甲先來取，共3種取法，而甲取到誰的將由誰在甲取后其次個來取，共3種取法，余下來的人，都只有1種選擇，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(種)．研習3兩個根本計數(shù)原理的綜合應(yīng)用[典例3]現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？思路點撥：解：(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法．(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種，2種，7種不同的選法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法．(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；其次類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法．所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法．[巧歸納]利用兩個計數(shù)原理的解題策略用兩個計數(shù)原理解決詳細問題時，首先要分清是“分類〞還是“分步〞，區(qū)分分類還是分步的關(guān)鍵是看這種方法能否完成這件事情．其次要清晰“分類〞或“分步〞的詳細標準，在“分類〞時要遵循“不重不漏〞的原那么，在“分步〞時要正確設(shè)計“分步〞的程序，留意步與步之間的連續(xù)性．有些題目中“分類〞與“分步〞同時進行，即“先分類后分步〞或“先分步后分類〞．[練習3]一個袋子里有10張不同的中國移動卡，另一個袋子里有12張不同的中國聯(lián)通卡．(1)某人要從兩個袋子中任取一張卡供自己使用，共有多少種不同的取法？(2)某人是雙卡雙待機，想得到一張移動卡和一張聯(lián)通卡供自己使用，問一共有多少種不同的取法？解：(1)第一類：從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法；其次類：從其次個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法．依據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有10＋12＝22(種)取法．(2)第一步，從第一個袋子取一張移動卡，共有10種取法；其次步，從其次個袋子取一張聯(lián)通卡，共有12種取法．依據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有10×12＝120(種)取法．課后篇·根底達標延長閱讀1．如下圖的五個區(qū)域中，中心區(qū)域E是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇．要求每個區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，那么不同的涂色方法種數(shù)為()A．56 B．72C．64 D．84答案：D解析：分兩種狀況：(1)A，C不同色(留意：B，D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的2種顏色中任意取一色)：有4×3×2×2＝48(種)方法；(2)A，C同色(留意：B、D可同色、也可不同色，D只要不與A，C同色，所以D可以從剩余的3種顏色中任意取一色)：有4×3×1×3＝36(種)方法．由分類加法計數(shù)原理，共有36＋48＝84(種)方法．2．a(chǎn)∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，那么方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圓的個數(shù)為________．答案：24解析：圓方程由3個量a，b，r確定，確定a，b，r分別有3種、4種、2種選法．由分步乘法計數(shù)原理，表示不同圓的個數(shù)為3×4×2＝24.3．用0,1,2,3,4五個數(shù)字，(1)可以排出多少個三位數(shù)字的密碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解：(1)三位數(shù)字的密碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝125(個)密碼．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，其次、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個)三位數(shù)字．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，那么有4×3＝12(種)排法；另一類是末位數(shù)字不是0，那么末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．由分類加法計數(shù)原理，有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．[誤區(qū)警示]分步標準不清致錯[例如]甲、乙、丙、丁4名同學爭奪數(shù)學、物理、化學3門學科學問競賽的冠，且每門學科只有1名冠產(chǎn)生，那么不同的冠獲得狀況共有________種．[錯解]錯解一：分四步完成這件事．第一步，第1名同學去奪3門學科的冠，有可能1個也沒獲得，也可能獲得1個或2個或3個，因此，共有4種不同狀況．同理，其次、三、四步分別由其他3名同學去奪這3門學科的冠，都各自有4種不同狀況。由分步乘法計數(shù)原理知，不同的冠獲得狀況共有4×4×4×4＝256(種)．錯解二：分四步完成這件事．第一步，第1名同學去奪3門學科的冠，有3種不同狀況．同理，其次、三、四步分別由其他3名同學去奪這3門學科的冠，都各自有3種不同狀況由分步乘法計數(shù)原理知，不同的冠獲得狀況共有3×3×3×3＝81(種)．[錯因分析]用分步計數(shù)原理求解對象可重復(fù)選取的問題時，哪類對象必需“用完〞就以哪類對象作為分步的依據(jù)．此題中要完成的“一件事〞是“爭奪3門學科學問競賽的冠，且每門學科只有1名冠產(chǎn)生〞，而錯解一、二中都有可能消失某一學科冠被2人、3人甚至4人獲得的情形，另外還有可能消失某一學科沒有冠產(chǎn)生的狀況．[正解]由題知，討論的對象是“3門學科〞，只有3門學科各產(chǎn)生1名冠，才算完成了這件事，而4名同學不肯定每人都能獲得冠，故完成這件事分三步．第一步，產(chǎn)生第1個學科冠，它肯定被其中1名同學獲得，有4種不同的獲得狀況；其次步，產(chǎn)生第2個學科冠，由于奪得第1個學科冠的同學還可以去爭奪第2個學科的冠，所以第2個學科冠也是由4名同學去爭奪，有4種不同的獲得狀況；第