連續(xù)函數(shù)的一般性質(zhì)

4.2連續(xù)函數(shù)的一般性質(zhì)一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)二復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性三反函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而有關(guān)函數(shù)極限的諸多性質(zhì)，都可以移到連續(xù)函數(shù)中來。四初等函數(shù)的連續(xù)性一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)Th4.2（局部有界性）若在連續(xù)。則在某有界.Th4.3（局部保號性）若在連續(xù)，且則對任何正數(shù)，存在某有.注①在具體應(yīng)用局部保號性時，若

可取，

②與極限相應(yīng)的性質(zhì)做比較

這里只是把“極限存在”，改為改為其余一致?！斑B續(xù)”，把證明連續(xù)函數(shù)的局部有界性——若處連續(xù)，則和，使得．[證]據(jù)在連續(xù)的定義，滿足．現(xiàn)取相應(yīng)存在，就有

[證畢]

四則運(yùn)算的連續(xù)性Th4.4例如,連續(xù)是用極限定義的，本定理是極限四則運(yùn)算定理的直接結(jié)果，不證自明。Th4.5證二復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性將上兩步合起來:意義1.在定理的條件下，極限符號可以與函數(shù)符號互換，即極限號可以穿過外層函數(shù)符號直接取在內(nèi)層，注1.定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù)在極限值點(diǎn)處連續(xù)例1解例2解同理可得注意定理是定理4.5的特殊情況.例如,三反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).Th4.8若函數(shù)上嚴(yán)格遞增(或減)且在相應(yīng)的定義域（或上連續(xù).連續(xù),則其反函數(shù)證明不妨設(shè)上嚴(yán)格遞增.此時的值域即反函數(shù)任?。?，異于＜＜使它們與的距離

設(shè)與對應(yīng)的函數(shù)值分別為由的嚴(yán)格增性知＜＜令則當(dāng)時，對應(yīng)的的值都落在與之間，故有＜這就證明了在點(diǎn)連續(xù)，從而在內(nèi)連續(xù).類似地可證在其定義區(qū)間的端點(diǎn)與分別為右連續(xù)與左連續(xù).所以在上連續(xù).四初等函數(shù)的連續(xù)性★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))Th4.12基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.Th4.13一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.注意2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.例3求解它的秋一個秧定義場區(qū)間污是例4解例5求解不能康應(yīng)用厘差的鴉極限蝴運(yùn)算畫法則威，須召變形——先分嚷子有宿理化斤，然罷后再授求極崖限五、謹(jǐn)小結(jié)連續(xù)迫函數(shù)渡的局氧部性犁質(zhì)反函叮數(shù)的濕連續(xù)植性.復(fù)合氏函數(shù)續(xù)的連牢續(xù)性.初等亮函數(shù)盈的連驕續(xù)性.定義袖區(qū)