運籌學(xué)第周課件

第一章線性規(guī)劃及單純形法1.線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型2.線性規(guī)劃的圖解法3.線性規(guī)劃問題解的概念4.單純形法原理及計算步驟5.單純形法的進一步討論6.應(yīng)用舉例線性規(guī)劃LinearProgramming簡記LP

第一節(jié)線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型

線性規(guī)劃(Linearprogramm)是運籌學(xué)中發(fā)展較快,應(yīng)用較廣,比較成熟的一個分支。它實質(zhì)上是解決稀缺資源在有競爭的應(yīng)用領(lǐng)域中如何進行最優(yōu)分配的問題。如經(jīng)營管理中的:

(1)運輸問題

(2)生產(chǎn)組織與計劃安排問題

(3)合理下料問題

(4)配料問題

(5)布局問題等一、線性規(guī)劃問題舉例例1某工廠在生產(chǎn)過程中需要使用濃度為80%的硫酸100噸，而市場上只有濃度為30%、45%、73%、85%和92%的硫酸出售，每噸價格分別為400、700、1400、1900和2500元，試問應(yīng)購買各種濃度的硫酸各多少，才能滿足生產(chǎn)要求，并使得所花費用最少？解：1.用兩種不同濃度的硫酸配制（初等代數(shù)法）確定決策變量：設(shè)

x1—濃度為45%的硫酸購買量

x2—濃度為92%的硫酸購買量列方程：x1

+x2=1000.45x1

+0.92x2=0.8×1002.用五種不同濃度的硫酸配制（線性代數(shù)法)確定決策變量：設(shè)x1—濃度為30%的硫酸購買量

x2—濃度為45%的硫酸購買量

x3—濃度為73%的硫酸購買量

x4—濃度為85%的硫酸購買量

x5—濃度為92%的硫酸購買量列方程：

x1+x2+x3+x4+x5=1000.3x1+0.45x2+0.73x3+0.85x4+0.92x5=0.8×100

3.考慮使費用最少(優(yōu)化方法）

x1+x2+x3+x4+x5=100s.t.0.3x1+0.45x2+0.73x3+0.85x4+0.92x5=80

x1,x2,x3,x4,x5≥0

(s.t.=Subjectto)MinZ=400x1+700x2+1400x3+1600x4+2500x5這就是一個最小化的線性規(guī)劃模型.Min---Minimize目標函數(shù)約束條件

例2

某企業(yè)計劃安排生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺時和A、B兩種原材料的消耗量，如下表，試問應(yīng)如何安排計劃可使該企業(yè)獲得最大利潤？

產(chǎn)品資源產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙資源限制設(shè)備原材料A原材料B1402048（臺時）16（kg）12（kg）單位利潤（元/件）23解：1.確定決策變量：

x1為產(chǎn)品甲生產(chǎn)量,x2為產(chǎn)品乙生產(chǎn)量4.確定目標函數(shù)：

Maxz=2x1+3x2……….maximize2.確定約束方程：設(shè)備約束:x1+2x2≤8

原材料A約束:4x1

≤16

原材料B約束:4x2≤123.變量取值限制：x1≥0,x2≥0

把以上四個部分合起來，有：

Maxz=2x1+3x2(1)…….利潤最大化

x1+2x2≤8(2)……..設(shè)備約束

4x1

≤16（3）……原材料A約束

4x2≤12（4）…….原材料B約束

x1，x2≥0（5）…….非負要求

這就是一個最大化的線性規(guī)劃模型.(max---maximize)例3（課堂練習(xí)）美佳公司計劃制造Ⅰ、Ⅱ兩種家電產(chǎn)品。試問應(yīng)如何安排計劃可使該企業(yè)獲得最大利潤？

產(chǎn)品資源產(chǎn)品Ⅰ產(chǎn)品Ⅱ資源限制設(shè)備A（h）設(shè)備B（h）調(diào)試工序（h)06152115（h）

24（h）

5（h）單位利潤（元/件）211.確定決策變量：

x1為產(chǎn)品Ⅰ生產(chǎn)量,x2為產(chǎn)品Ⅱ生產(chǎn)量2.線性規(guī)劃模型：

MaxZ=2X1+X2(1)…….利潤最大化

5X2≤15

(2)……..設(shè)備A約束

6X1+2X2≤24（3）…….設(shè)備B約束

X1+X2≤5（4）…….調(diào)試工序約束

X1，X2≥0（5）…….非負要求

【例4】環(huán)境保護問題。河流1：每天流量500萬m3；

河流2：每天流量200萬m3,水質(zhì)要求：污水含量≤0.2%污水從工廠1流向工廠2有20%可以自然凈化處理污水成本：工廠11000元/萬m3；工廠2800元/萬m3

問兩個工廠每天各應(yīng)處理多少污水可使總的處理費用最少？【解】設(shè)x1

、x2分別為工廠1、2每天處理的污水量（萬m3），則工廠2：2萬m31.4萬m3

200萬m3500萬m3工廠1：LP模型為：【例1.5】某商場決定：營業(yè)員每周連續(xù)工作5天后連續(xù)休息2天，輪流休息。根據(jù)統(tǒng)計，商場每天需要的營業(yè)員如表1.2所示。表1.2營業(yè)員需要量統(tǒng)計表商場人力資源部應(yīng)如何安排每天的上班人數(shù)，使商場總的營業(yè)員最少。星期需要人數(shù)星期需要人數(shù)一300五480二300六600三350日550四400【解】設(shè)xj(j=1，2，…，7)為休息2天后星期一到星期日開始上班的營業(yè)員，則這個問題的線性規(guī)劃模型為星期需要人數(shù)星期需要人數(shù)一300五480二300六600三350日550四400【例1.6】合理用料問題。某汽車需要用甲、乙、丙三種規(guī)格的軸各一根，這些軸的規(guī)格分別是1.5，1，0.7（m），這些軸需要用同一種圓鋼來做，圓鋼長度為4m?，F(xiàn)在要制造1000輛汽車，最少要用多少圓鋼來生產(chǎn)這些軸？

【解】這是一個條材下料問題，設(shè)切口寬度為零。設(shè)一根圓鋼切割成甲、乙、丙三種軸的根數(shù)分別為y1，y2，y3,則切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求這個不等式關(guān)于y1，y2，y3的非負整數(shù)解。象這樣的非負整數(shù)解共有10組，也就是有10種下料方式，如表1.3所示。表1．3下料方案

方案規(guī)格

1234

5678910需求量y1(根)

221

11

0

00001000y2102

10

4

32101000y3

010

23

0

12451000余料（m）00.30.5

0.1o.4

00.30.60.20.5設(shè)xj(j=1過,2泊…,閃10極)為第j種下胃料方承案所蕩用圓罰鋼的騙根數(shù)招。則華用料墾最少鋪數(shù)學(xué)芳模型為:求下節(jié)料方始案時館應(yīng)注納意，惱余料馳不能傅超過縫最短葬毛坯攀的長凍度；曉最好忘將毛悄坯長共度按矮降的玻次序映排列音，即娛先切冬割長斜度最商長的代毛坯井，再賞切割師次長分的，跡最后偷切割財最短館的，做不能助遺漏銜了方推案域。如猛果方波案較彩多，蹦用計褲算機釋編程艱排方并案，污去掉網(wǎng)余料渣較長堪的方芽案，字進行杯初選諒。

方案規(guī)格

1234

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11

0

00001000y2102

10

4

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010

23

0

12451000余料（m）00.30.5

0.1o.4

00.30.60.20.5【例1.血7】配料倍問題坐。某灑鋼鐵洪公司泡生產(chǎn)暴一種肚合金乏，要料求的宇成分您規(guī)格變是：瘦錫不秤少于28驅(qū)%，鋅闊不多咽于15角%，鉛記恰好10煮%，鎳世要界鐮于35鏈%~偷55仆%之間巖，不黃允許陸有其閑他成棟分。誕鋼鐵流公司沫擬從隔五種伯不同孔級別蹲的礦擦石中互進行纖冶煉慨，每談種礦染物的賺成分畢含量可和價園格如壩表1.終4所示端。礦衫石雜下質(zhì)在落治煉弱過程遭中廢纖棄，遠現(xiàn)要聯(lián)求每死噸合駱金成腔本最剛低的廟礦物量數(shù)量奧。假牛設(shè)礦廈石在蒼冶煉柏過程甜中，候合金懶含量草沒有機發(fā)生灑變化只。表1.引4礦石爭的金展屬含末量

合金礦石錫%鋅%鉛%鎳%雜質(zhì)費用（元/t）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190解:設(shè)xj（j=1雜,2，…，5）是工第j種礦枕石數(shù)他量，小得到燭下列堅線性貌規(guī)劃艘模型注意動，礦澤石在足實際驕冶煉罩時金秀屬含春量會偏發(fā)生晝變化鍋，建橋模時駐應(yīng)將汽這種勉變化飼考慮壁進去跳，有瓜可能健是非喘線性甲關(guān)系晃。配底料問菊題也凱稱配聾方問侮題、葵營養(yǎng)燭問題肯或混史合問唐題，毫在許宣多行舅業(yè)生殲產(chǎn)中警都能季遇到叼。礦石錫%鋅%鉛%鎳%雜質(zhì)費用（元/t）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190【例1.意8】投資騙問題疤。某蛇投資鍋公司揭在第破一年亡有20帳0萬元驚資金鈴，每站年都岔有如紐奉下的盛投資覆方案牽可供蹤蝶考慮喉采納潤：“縫假使價第一蝦年投易入一幟筆資數(shù)金，艘第二丹年又穩(wěn)繼續(xù)狠投入樓此資叉金的50季%，那密么到淺第三梁年就忌可回箏收第浮一年傾投入文資金鴉的兩阿倍金病額。橡投資蟲公司倍決定本最優(yōu)數(shù)的投匆資策佳略使結(jié)第六騾年所甚掌握收的資局金最密多。第五喘年：(x7/2魚+x9)=x8+2x5第一勿年：x1+x2=2匪00蝦(萬元)第二批年：(x1/2大+x3)+x4=x2第三泊年(x3/2夠+x5)+x6=x4+2x1第四沾年：(x5/2月+x7)+x8=x6+2x3到第志六年蠻實有箏資金解總額防為x9+2x7，整修理后互得到常下列水線性堡規(guī)劃裂模型【解】設(shè)x1：第柳一年穿的投橫資；x2：第店一年阿的保才留資童金x3：第轟二年豬新的臣投資皮；x4：第待二年汽的保鐮留資尤金x5：第饞三年廁新的徹投資旬；x6：第掀三年朵的保媽留資煤金x7：第口四年競新的讀投資x8：第殲四年蜻的保指留資婆金x9：第賠五年敵的保衫留資頓金1X155.28462X2144.71553X3117.07324X405X552.03256X607X7208.13018X809X90最優(yōu)勢解：Z＝41雀6.穴26萬元x1：第斗一年墻的投家資；x2：第桃一年勻的保星留資六金x3：第給二年克新的望投資絞；x4：第網(wǎng)二年狼的保格留資斗金x5：第規(guī)三年下新的判投資哥；x6：第篩三年天的保期留資丸金x7：第刑四年很新的墊投資x8：第蜂四年桂的保趕留資蒜金x9：第采五年告的保衣留資厚金【例1.譽9】均衡行配套悲生產(chǎn)鐮問題災(zāi)。某杯產(chǎn)品霸由2件甲童、3件乙增零件霸組裝沸而成盤。兩魚種零惑件必嘆須經(jīng)濟過設(shè)臣備A、B上加援工，輔每件記甲零奸件在A、B上的哥加工湊時間競分別辯為5分鐘釋和9分鐘荒，每新件乙儲零件同在A、B上的姨加工灑時間血分別持為4分鐘庭和10分鐘骨?，F(xiàn)造有2臺設(shè)桑備A和3臺設(shè)憂備B，每鄰天可篩供加療工時奶間為8小時咱。為犬了保炒持兩消種設(shè)墳備均蒜衡負訂荷生蕉產(chǎn)，笨要求蕉一種款設(shè)備夸每天飽的加晝工總裳時間膠不超鞋過另尿一種除設(shè)備摔總時篩間1小時賞。怎抱樣安折排設(shè)范備的垮加工釘時間緩使每倘天產(chǎn)蓄品的侄產(chǎn)量逆最大今?！窘狻吭O(shè)x1、x2為每他天加篇工甲譽、乙圈兩種漁零件乘的件握數(shù)，發(fā)則產(chǎn)掩品的買產(chǎn)量嚼是設(shè)備A、B每天滴加工正工時雙的約閑束為要求乘一種項設(shè)備次每天朱的加步工時蝴間不還超過走另一雄種設(shè)偶備1小時雷的約豎束為目標巷函數(shù)煤線性田化。搬產(chǎn)品含的產(chǎn)網(wǎng)量y等價茶于整理慚得到笨線性諸規(guī)劃促模型約束煩線性粱化。乏將絕主對值漆約束曬寫成挪兩個狂不等揪式例：2ax用一炒塊邊島長為2a的正尚方形政鐵皮毫，四強角剪件去相安等小怨正方贏形后蠻將四如邊折謀起做愈一個炎鐵盒怠，問負：如逃何剪析能使董做成什的盒恭子體封積最恒大？底不是勤線性育規(guī)劃虎問題解的∶暴設(shè)鐵斤皮四愿角各感截去尊邊長隊為x的正怪方形竭。則:容器落的高室為x盟,底邊吧長為2a羞-2巷x,容積V為:V=像(已2a波-2段x)2.x破=4彩a2x-忠8a赤x2+4筍x3求ma圓x饑V館=(掌2a顧-2宋x)2.x在滿滔足2x2ax0V所做衣成的刃盒子均的體左積。二、灶線育性規(guī)忌劃的孟一般腫形式1.相關(guān)朽概念（1）決柜策變便量：在指模姜型中燃要求跨解的泛未知助量，校簡稱肯變量煩。（2）目庸標函嫌數(shù)：務(wù)指模坡型中掃要達全到的凳目標也的數(shù)異學(xué)表脖達式置。（3）約寸束條槳件：獻指模叼型中央的變呈量取柏值所帆需要桂滿足超的一歪切限低制條轎件。此三秀項內(nèi)豎容稱從為模劍型結(jié)祥構(gòu)的的三要電素。2.線性華規(guī)劃再模型筐的一陶般要才求（1）變諸量：溫取值際為連刷續(xù)的顧、可梁控的張量；（2）目逐標函譽數(shù)：勺線性斥表達盜式；（3）約武束條棒件：奴線性麻的等溉式或憶者不廚等式雞。線性禿規(guī)劃唯的一鞏般形貼式為揪：s.刑t.….揮….傘.逮….mi蚊n是mi痛ni司mi搬ze的縮躺寫，蘇含義膊為“學(xué)最小用化”ma鐮x是ma脈xi撓mi圈ze的縮舟寫，配含義糖為“飼最大確化”線性遺規(guī)劃厚的一冒般式向量挪形式C=俊(c1,政c2,裂…責(zé),踐cn)價值孔向量,線性營規(guī)劃議數(shù)學(xué)斑模型孟的幾完種表臨達形統(tǒng)式限定寫向量變量xj對應(yīng)漸的系絮數(shù)列路向量線性吵規(guī)劃撿數(shù)學(xué)歇模型圾的幾扮種表稍達形給式矩陣順形式約束亞條件栗系數(shù)顫矩陣LP模型齡的主夢要特相征：1.用一補組決巷策變織量表有示方債案；2.存在癥一些鐵限制停條件華，稱雨其為村約束謙條件嫂；3.有一蜜個目肯標要址求例：驗下列謊數(shù)學(xué)萄模型孔中，愧哪些但是LP模型舌，哪斧些不蝴是，卸哪出些不荒是但奴可以壞轉(zhuǎn)化暑為LP模型濃。1.循M吳ax痰Z授=3雄x1+天x222.覆S=粉-僑8扭x1+荷x2x1+4背x2≤9瓦-扛x1+5隊x2≤77x2≥5x1+7x2≥5x1，x2≥0例x1，x2≥03.奔M資ax嘴S蹤蝶=患x1+榴2x2－8孫4窄.誤M劑in艘S抗=匠-8兼x1+漢x2x1+2抱x2≤6糖-x1+5巴x2≤73x1+趟7x2≥5x1+7x2≥5x1，x2≥0惡x1，x2≥0∣∣第二鵝節(jié)肝圖解薪法Gr閑ap剩hi呆ca嚴l偽Me舍t(yī)h怎od——僅適敘用于條兩個荒變量們的LP求解圖解木法的量步驟誓：1.求可他行解棋集合腦。分別贊求出飯滿足堵每個完約束召包括油變量花非負賀要求掩的區(qū)呀域，啄其交川集就格是可抖行解楊集合卷，或諒稱為可行圾域；2.繪制母目標青函數(shù)貫圖形潛。先過程原點枕作一賽條矢驗量指近向點年（c1,c2)，矢量崇的方犬向就珍是目鏈標函億數(shù)增矩加的免方向更，稱梨為梯期度方嘗向，再挨作一積條與矢花量垂鐘直的令直線磁，這薪條直宗線就床是目帽標函固數(shù)圖況形；3.求最悅優(yōu)解才。依據(jù)赤目標蛾函數(shù)凳