高數(shù)差分方程

第5章差分方程5.1.1差分

微分方程是自變量連續(xù)取值的問題,但在很多實(shí)際問題中,有些變量不是連續(xù)取值的.例如,經(jīng)濟(jì)變量收入、儲(chǔ)蓄等都是時(shí)間序列,自變量t取值為0,1,2,,數(shù)學(xué)上把這種變量稱為離散型變量.通常用差商來描述因變量對(duì)自變量的變化速度.1.差分的定義定義5.1.1設(shè)函數(shù)我們稱為函數(shù)的一階差分；一、差分方程的基本概念

稱為函數(shù)的二階差分.為三階差分.同樣，稱依此類推，函數(shù)的n階差分定義為：且有二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分．性質(zhì)5.1.1當(dāng)

是常數(shù)，是函數(shù)時(shí)，有以下結(jié)論成立：例1求則解設(shè)例2設(shè)求解

有某種商品t

時(shí)期的供給量St與需求量Dt都是這一時(shí)期價(jià)格Pt的線性函數(shù)：5.1.2差分方程一個(gè)例子：設(shè)t時(shí)期的價(jià)格Pt由t–1時(shí)期的價(jià)格與供給量及需求量之差按如下關(guān)系確定.

（為常數(shù)），

即

這樣的方程就是差分方程.定義5.1.2含有未知函數(shù)差分或未知函數(shù)幾個(gè)時(shí)期值的方程就稱為差分方程.例如差分方程的不同形式之間可以相互轉(zhuǎn)化.差分方程中含有未知函數(shù)下標(biāo)的最大值與最小值之差數(shù)稱為差分方程的階.5.1.2差分方程是一個(gè)二階差分方程，如果將原方程的左邊寫為則原方程還可化為例如，可以化為又如：可化為

定義5.1.3

如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程后，方程兩邊其中A為任意常數(shù).恒等，則稱此函數(shù)為差分方程的解.我們往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時(shí)刻所處的狀態(tài)，對(duì)差分方程附加一定的條件，這種附加條件稱之為初始條件.滿足初始條件的解稱之為特解.如果差分方程中含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)恰好等于差分方程的階數(shù)，則稱它為差分方程的通解.其中A為任意常數(shù).

(3)為常數(shù)，為已知函數(shù).時(shí)，稱方程

(4)則(3)稱為一階常系數(shù)非齊次線性一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為其中當(dāng)為一階常系數(shù)齊次線性差分方程.若差分方程.一階常系數(shù)線性差分方程3.常系數(shù)線性差分方程及解的性質(zhì)

的差分方程稱為n階常系數(shù)線性差分方程，其中為常數(shù)，且為已知函數(shù).時(shí)，差分方程(1)稱為齊次的，對(duì)應(yīng)的齊次差分方程為(2)定義A形如(1)當(dāng)否則稱為非齊次的.當(dāng)時(shí)，與差分方程(1)

定理A

設(shè)的k個(gè)特解，則線性組合也是該差分方程的解，其中是n階常系數(shù)齊次線性差分方程為任意常數(shù).的n個(gè)線帶性無葡關(guān)的梨解，普則方焰程全的通嗽解為其中為任意常數(shù)．定理Bn階常撓系數(shù)企齊次曲線性辭差分脅方程壞一定兄存在n個(gè)線蹈性無連關(guān)的弦特解殊．若是方銳程定理Cn階非匯齊次綱線性單差分疲方程的通嬸解與劍它自戴己本透身的昂一個(gè)個(gè)特解粘之和覽，它對(duì)峰應(yīng)的呼齊次兄方程即通裹解等琴于其中是它自己本身的一個(gè)特解.以上宿三個(gè)撇定理選揭示龍了n階齊想次及抹非齊劉次線推性差探分方唐程的覽通解偏結(jié)構(gòu),它們勤是求耀解線霧性差筒分方站程非右常重譯要的圈基礎(chǔ)卷知識(shí)旨．在本夢(mèng)書中喉．我們名只探擾討一之階常少系數(shù)覆線性明差分婆方程朽的解墳法．(1指)迭代濤法求楚解：一般僚地，對(duì)于動(dòng)一階飯常系車數(shù)齊晶次線對(duì)性差泡分方魯程通常熄有如昆下兩歌種解品法.5.黑2.雅1一階參常系切數(shù)齊槍次線陪性差跟分方衰程的域通解(2雪)特征送方程母法求耗解：設(shè)化簡(jiǎn)嫩得：即分別鍋稱為繁方程和是方嶺程(4)的解.再由則解的投結(jié)構(gòu)悔及通美解的共定義封知：的特征省方程和特征呈根.是齊逃次方拉程的作通解.為任趕意常釘數(shù))故例4求的通行解.從而桐特征愈根為于是像原方侍程的辮通解燙為其中C為任晝意常么數(shù).解特征大方程辮為的右凍端項(xiàng)掩為某柳些特升殊形片式的者函數(shù)窗時(shí)的猴特解.考慮丹差分班方程(c為任豬意常僑數(shù)),則差擴(kuò)分方巨程為1)采用嫂迭代貝法求解環(huán)：有迭望代公解式給定初值5.嶼2.象2一階擁常系讀數(shù)非寶齊次肌線性弱差分村方程劫的通帥解2)一般容法求廣解：設(shè)差會(huì)分方甚程的特拐解.具有立形如(1廟)當(dāng)時(shí)，(2桌)當(dāng)時(shí)，例5求差元分方匪程判的通詢解.解對(duì)應(yīng)網(wǎng)齊次承差分錯(cuò)方程垮的通錫解為由于故可嚇設(shè)其砍特解偉為：代入劃方程械，解奪得：故原似差分蓮方程溉通解佩為：設(shè)差旗分方轎程(6)具有拐形如的特哀解。于是即解得于是和例6求差凡分方牧程的通基解。解對(duì)應(yīng)況齊次搖差分朝方程坦的通饒解為由于故可恒設(shè)其很特解衫為：代入短方程敬，解惕得：故原巷差分猜方程懂通解蔑為：例6’求差愉分方想程的通聚解。解對(duì)應(yīng)棍齊次誰差分爹方程象的通鍵解為由于故可木設(shè)其屋特解尸為：代入論方程盾，解浴得：故原功差分回方程倘通解焦為：設(shè)差殺分方絹程(7吼)具有癥形如的特僅解.將特控解代艇入差炕分方翼程(7絲式)后比橡較兩帳端同叫次項(xiàng)蒼系數(shù)確定地系數(shù)例7求差研分方伴程的通塘解。解對(duì)應(yīng)宴齊次登差分跟方程蓮的通慣解為由于故可甚設(shè)其皇特解司為代入憂方程蒸，得比較侮系數(shù)：原差愧分方頃程通餓解為解得故方數(shù)程特舟解為例7’求差籃分方經(jīng)程的通資解。解對(duì)應(yīng)堤齊次針差分為方程鼻的通柳解為由于故可快設(shè)其婦特解拍為代入魚方程期，得比較午系數(shù)：原差韻分方暫程通隙解為解得故方橋程特步解為設(shè)差義分方墨程具色有形民如的特腔解.綜上暑所述產(chǎn)，有概如下現(xiàn)結(jié)論牲：若當(dāng)時(shí)，(*)式左端為次多項(xiàng)式，要使(*)式成立，則要求故可蘭設(shè)差這分方新程（8）具檢有形倡如的特弓解.前面費(fèi)三種消情況聲都是果差分肝方程哈（8）的國(guó)特殊祥情形布：當(dāng)時(shí)，取否則，取例8求差驕分方懲程的通論解。解對(duì)應(yīng)蓄齊次床差分袋方程丘的通邀解為由于故可習(xí)設(shè)其今特解銜為代入灶方程送消去比較陵系數(shù)：得原差折分方冊(cè)程通巧解為解得故方怎程特織解為例9求差趕分方徐程的通米解。解對(duì)應(yīng)遼齊次姓差分陽方程消的通幟解為由于故可進(jìn)設(shè)其掘特解抹為代入墓方程死消去較，齒得比較閥系數(shù)：原差攻分方訂程通悼解為解得故方蜘程特跌解為例10求差蜂分方僚程的通煤解。解對(duì)應(yīng)遲齊次翼差分傲方程徹的通泛解為由于故可擾設(shè)其榨特解爺為代入發(fā)方程診消去比較休系數(shù)：得原差竭分方街程通餡解為解得故方我程特荷解為例8（存錢款模達(dá)型)