謂詞邏輯永真公式

11.6謂詞邏輯的永真公式在謂詞邏輯中，公式是一個(gè)符號(hào)串，必須給以具體的解釋后才能分辨其真假的可能。解釋：給公式中的個(gè)體變元指定一個(gè)具體的個(gè)體域D一個(gè)公式經(jīng)解釋后才具有具體的意義。謂詞公式的解釋I包括：指定一個(gè)論域D(稱I為D上的解釋)對(duì)A中出現(xiàn)的每一個(gè)n元函數(shù)，指定一個(gè)D上的n元個(gè)體函數(shù)常量對(duì)A中出現(xiàn)的每一個(gè)n元謂詞，指定一個(gè)D上的n元謂詞常量對(duì)A中出現(xiàn)的每一個(gè)個(gè)體常量及自由變元，指定D中的一個(gè)個(gè)體常量對(duì)A中出現(xiàn)的每一個(gè)命題變元P，指派一個(gè)真值T或F 由此得到一個(gè)命題AI，稱AI的真值為公式A在解釋I下的真值例取解釋I如下：D={1,2},定義D上的二元謂詞P真值為 P(1,1):T；P(1,2):F；P(2,1):F；P(2,2):T則xyP(x,y)和yxP(x,y)在解釋I下的真值分別為?xyP(x,y)TTFFTTT212211xyP(x,y)yP(x,y)P(x,y)yx關(guān)于x的一元函數(shù)yxP(x,y)TFFFFFT212211yxP(x,y)xP(x,y)P(x,y)xy關(guān)于y的一元函數(shù)例取解釋I如下：D={1,2},令a:1,f(1)=2,f(2)=1定義D上的謂詞P和Q為

P(1):F；P(2):T；Q(1,1):T；Q(1,2):T；Q(2,1):F；Q(2,2):F求謂詞公式x(P(x)→Q(f(x),a))在解釋I下的真值P(1)→Q(f(1),1)P(2)→Q(f(2),1)TTx(P(x)→Q(f(x),a))在解釋I下的真值為T謂詞公式的永真式定義給定謂詞公式A，E是其論域，如果在任何解釋下公式A的真值都為真，則稱公式A在論域E上是永真式。如果不論對(duì)什么論域E，都使得公式A為永真式，則稱A為永真式。例：I(x)：x是整數(shù)，論域E為自然數(shù)集合I(x)在E上是永真式I(x)∨I(x)是與論域無關(guān)的永真式謂詞公式的永假式謂詞公式的可滿足式例：試說明以下公式的類型xA(x)→A(y)xA(x)→A(y)

A(x)(A(x)：x+6=5)x(A(x)∧?A(x))x(A(x)∨B(x))→xA(x)∨xB(x)

x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)永真式可滿足式可滿足式永假式永真嗎?永真式的判定命題邏輯的永真式問題是可判定的。至少可用真值表謂詞邏輯的永真式問題是不可判定的。研究謂詞邏輯永真式判定問題非常有意義：聯(lián)詞與量詞的關(guān)系問題與否問題的關(guān)系構(gòu)造證法的一種典型情形公式形成規(guī)則、聯(lián)詞、量詞、變元約束等知識(shí)點(diǎn)逐步推演思想完整地自頂向下逐步求精思想問題與否問題問題：所給公式是永真式嗎？否問題：所給公式不是永真式嗎？這兩個(gè)問題有不同的難度是永真式：在任何論域的任何解釋下皆為真不是永真式：存在一個(gè)使該公式為假的特定解釋問題證明的一般方法直接證明法反證法數(shù)學(xué)歸納法遞歸或遞推的形式給出算法問題描述方式?jīng)Q定Px(Q(x)→R(x))PxA(x)構(gòu)造證法找出實(shí)例給出算法What代替How1.明確問題形式結(jié)構(gòu)x：Q(x)R(x)2.轉(zhuǎn)換形式結(jié)構(gòu)Q1(x)

R1(x)

3.引用已知條件PP(問題具體描述)(問題抽象描述)(兩種方式)例：試判斷xA(x)∨xB(x)→x(A(x)∨B(x))是否是永真式，并說明理由。分析：試圖找到一個(gè)使該公式為假的解釋，首先考慮論域。論域大了，過程會(huì)復(fù)雜，論域小了，無法區(qū)分全稱與存在，所以取D={1,2}。A(1)A(2)B(1)B(2)????現(xiàn)在要確定目的(約束條件)是FxA(x)∨xB(x)→x(A(x)∨B(x))所以TxA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))FxA(x)為T或xB(x)為TA(1)∨B(1)為F或A(2)∨B(2)為F不妨取FA(1)∨B(1)這樣A(1)A(2)B(1)B(2)FFTxA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))F從而A(1)A(2)B(1)B(2)FFTxB(x)T所以xA(x)F因此結(jié)論：所給公式不是永真式例(續(xù)前)：試判斷xA(x)∨xB(x)→x(A(x)∨B(x))是否是永真式，并說明理由。解：所給公式不是永真式，理由如下。考慮D={1,2}上的解釋I：A(1)A(2)B(1)B(2)FFFT在I下：FA(1)∨B(1)xB(x)T所以TxA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))FFxA(x)∨xB(x)→x(A(x)∨B(x))此處取T亦可總結(jié)總的思路：試圖在D={1,2}上找到一個(gè)使所給公式為假的解釋。注意：以前進(jìn)行運(yùn)算都是根據(jù)形成過程由里往外逐次進(jìn)行的，但這里的過程正好相反：自頂向下逐步推演。在推演過程中，首先考慮以下事實(shí)：若是上述五種情況之外的情況，則利用D中元素的對(duì)稱性避免討論。A→BFA→BABTFAA∨BFABFFA∧BTABTTTxA(x)A(1)A(2)TTF

xA(x)

A(1)A(2)

FF謂詞目公式感的等煎價(jià)定義兩個(gè)內(nèi)任意撓謂詞文公式A和B,E是它繁們共刻有的蟲論域,若在任敢何解示釋下?lián)?，A與B作的邀真值枝都相奇同(或者握說AB是永誰真式)，則蕉稱公消式A與B在論吳域E上是惹等價(jià)醬的。避如果指不論旋對(duì)什驢么論由域E，都使廊得公狀式A與B等價(jià)球，則玻稱A與B等價(jià)鈴，記國作AB。例：I(x群)：x是整餓數(shù)，N(x)：x是自駐然數(shù)工，論棋域E是自剝?nèi)粩?shù)取集合I(x)與N(x)在E上是攀等價(jià)厲的N(x)→I(x)N(x)∨I(x)謂詞敞公式畫的蘊(yùn)好含定義兩個(gè)纏任意探謂詞策公式A和B，E是它票們的演論域停，若在任謠何解距釋下云，都栽使得質(zhì)公式A→B為永狗真式鐵，則槽稱在躁論域E上公取式A永真顫蘊(yùn)含B。如果諷不論漠對(duì)什宇么論智域E，A→B是永跌真式負(fù)，則倚稱A永真屋蘊(yùn)含B，記作AB。例：G(x)：x大于5，N(x)：表示x是自凍然數(shù)妖，論倉域E={躺-1蹲,-介2,遺6,廉7,肚8,鄙9,期..灶..懼}在E上公巾式G(x)→N(x)是永博真式(G(x)∧N(x))渴→N(x)是與州論域脈無關(guān)己的永怪真式撐，所扎以(G(x)∧N(x))N(x)謂詞戒演算魄的基紡本永魔真公冰式命題技演算渾的永省真公堂式也殼是謂挪詞演衰算的早永真廉公式含有鈔量詞曠的謂鉤詞演般算的毒基本簽永真姐公式（1）量詞雕的否評(píng)定xP(x)罷xP(x)（1）＇浮xP(x)山xP(x)（2）＇量詞親轉(zhuǎn)換軍公式共軛例xyz(x+z=y)xyz(x+枯z=蓮y)xyz(x+z=y)xyz(x+z=y)xyz(x+z≠y)(2須)量詞瞧轄域叔的擴(kuò)孝張和造收縮xP(x)∨Qx(P(x)∨Q)(3帥)＇xP(x)∧Qx(P(x)∧Q)(4北)＇xP(x)∨Qx(P(x)∨Q)(5何)＇xP(x)∧Qx(P(x)∧Q)(6叛)＇證明壓式(3聚)＇：一方昨面，奮當(dāng)Q為F時(shí)，xP(x)∨QxP(x)∨禮FxP(x)x(P(x)∨Q)x(P(x)∨F)xP(x)另一支方面首，當(dāng)Q為T時(shí)，xP(x)∨QxP(x)∨白TTx(P(x)∨Q)x(P(x)∨T)T(5捆)量詞苗轄域腿的擴(kuò)贊張和租收縮xA(x)→Px(A(x)→P)(1摟2)＇xA(x)→Px(A(x)→P)(1甘3)＇P→xA(x)x(P→A(x))(1澡4)＇P→xA(x)x(P→A(x))(1續(xù)5)＇P是不含顯個(gè)體吸變元x的謂暈詞公臺(tái)式(3財(cái))關(guān)于俊多個(gè)慚量詞襪的永改真式xyA(x,y)yxA(x,y)(7箭)＇xyA(x,y)yxA(x,y)(8倚)＇xyA(x,y)yxA(x,y)(9胖)＇xyA(x,y)yxA(x,y)yxA(x,y)xyA(x,y)xyA(x,y)xyA(x,y)yxA(x,y)xyA(x,y)yxA(x,y)xyA(x,y)(4銅)xP(x)P(y)或xP(x)P(x)(1摩0)＇P(y)xP(x)或P(x)xP(x)(1抗1)＇(6慰)量詞辭的分營配形有式x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)(1知6)＇x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)(1眠7)＇xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))(1喉8)＇x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)(1淚9)＇證明憲式16：個(gè)體鉆域中乎每一性個(gè)體x，使得A(x)∧B(x)為真,等價(jià)最于對(duì)柿一切x,A(x)是真并覺且對(duì)倉一切x,B(x)是真證明方式17：由1得x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)即x(A(x)∨B(x))腥(銅xA(x)∨xB(x))故x(A(x)∨B(x))搏xA(x)∨xB(x)注意：式18和式19不是秋等價(jià)灰公式裹，而蜓是永齊真蘊(yùn)眾含式例：給定惰如下合解釋A(x)：x是奇陜數(shù)B(x)：x是偶涌數(shù)則結(jié)xA(x)∧xB(x)為真x(A(x)∧B(x))為假所以則xA(x)∧xB(x)不蘊(yùn)兄含x(A(x)∧B(x))或D={脾1,量2}A(1后):T書A(2霸):F浮B(1纖):F港B(2鐵):T證明凈式19x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)證明敬：假鋒設(shè)前棗件x(A(x)∧B(x))為真回，則論其域中丸至少寸有一壟個(gè)個(gè)飼體a，使得A(a)∧B(a)為真不，即A(a)和B(a)都為紗真，所以茅有xA(x)以及xB(x)為真杯，得xA(x)∧xB(x)為真所以x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)證明余式18xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))證明篩：由3得x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)x(A(x)∨B(x))航xA(x)∧xB(x)x(A(x)∨B(x))(xA(x)∨xB(x))即xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))公式4得證弟。特別晝要注淚意蘊(yùn)該含式閑的方乓向，泊不要梯搞錯(cuò)(7壺)量詞抱對(duì)及→震的處岡理x(A(x)→B(x))xA(x)→xB(x)xA(x)→xB(x)x(A(x)→B(x))證明緒1.xA(x)→xB(x)疑xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))x(A(x)→B(x))證明脖2.xA(x)→