【泰勒公式求解二元函數(shù)極限方法運用（論文）】

泰勒公式求解二元函數(shù)極限方法運用目錄TOC\o"1-2"\h\u24125泰勒公式求解二元函數(shù)極限方法運用 1288121.問題的由來 1144472問題解決 2233622.1一元函數(shù)的泰勒展開 2241952.2二元函數(shù)的泰勒展開 2163882.3問題的具體解決 336802.4利用二元泰勒展式求二元函數(shù)極限 3278063.問題延伸 7205143.1泰勒展開式與不等式結(jié)合 8236293.2泰勒展開式用于估算數(shù)值 9162144.結(jié)語 1215499參考文獻 13摘要：利用二元函數(shù)的泰勒公式求解二元函數(shù)的極限，并用若干例題說明了該方法的運用．關(guān)鍵詞：二元泰勒展式；函數(shù)極限；應(yīng)用1.問題的由來學(xué)校的數(shù)學(xué)組和物理組被臨時安排在了同一個辦公室，我們時常會討論一些學(xué)科交叉上的問題．在剛剛結(jié)束的全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽試題中，有一道計算題的解答過程讓一些物理教師難以看懂，題干背景大致如下:圖1通電直導(dǎo)線圖1是四根均通有恒定電流I的長直導(dǎo)線1，2，3，4，且均垂直于xOy平面，它們的位置坐標(biāo)分別為(－a，a)，(a，a)，(a，－a)，(－a，－a)，電流方向如圖1所示．求電流在坐標(biāo)原點附近產(chǎn)生的總磁場表達式，保留至線性項。試題給出的答案如下:在原點O附近任意選取一點(x，y)，四根導(dǎo)線的電流在點(x，y)產(chǎn)生的磁場B1，B2，B3，B4(這里只給出B1的表達式，B2，B3，B4略)為（μ0為常數(shù)，為單位向量)。對于原點O附近的任一點(x，y)，有x≤a，y≤a，保留至的一次項，B1可以近似為問題:表達式①是如何過渡到表達式②的?2問題解決上式的近似實際上是運用了數(shù)學(xué)的泰勒展開公式，而且還是二元函數(shù)的泰勒展開，保留了低階項，舍去了高階項的結(jié)果．其運算量較為復(fù)雜，對于部分數(shù)學(xué)教師而言，還是存在一定難度的，更不用說物理教師了．這主要是因為教師大學(xué)畢業(yè)后，在日常的教學(xué)和習(xí)題講解中，很少涉及泰勒展開式這方面的內(nèi)容，導(dǎo)致部分高等數(shù)學(xué)知識遺忘較快，教師對此知識逐漸變得陌生起來．2.1一元函數(shù)的泰勒展開若函數(shù)f(x)在x=x0處可連續(xù)求導(dǎo)，則可利用(x－x0)的n次多項式去逼近函數(shù)f(x).故而有如下展開公式:其中f'(x0)(x－x0)為一階項，也稱為線性項，為高階項，在大多數(shù)近似中，可以舍去。2.2二元函數(shù)的泰勒展開若函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則(x0+h，y0+k)為此鄰域內(nèi)任意一點，其函數(shù)值可以表示為:記號表示，為一階項；記號表示，為二階項目；記號表示高階項，一般可以舍去。2.3問題的具體解決上文中，近似為為簡化過程，只計算其中分量，即過渡到，具體過程如下:令，將其在(0，0)附近展開，保留到線性項即可．運用二元函數(shù)展開公式，有f(x，y)=f(0，0)+(x－0)fx(0，0)+(y－0)fy(0，0)，代入數(shù)據(jù)并整理可得其中的分量，運算同上2.4利用二元泰勒展式求二元函數(shù)極限利用上述二兀函數(shù)的黍勒展式求解了一些具體二兀函數(shù)的極限，以此來說明此外提出的算法是有效的可行的．從上面的若干例題可以看出，應(yīng)用一些二元函數(shù)泰勒公式求解某些二元函數(shù)的極限簡單易行。2.4.1證明與高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的命題當(dāng)問題涉及函數(shù)的二階或二階以上導(dǎo)數(shù)時，可使用泰勒公式將各階導(dǎo)數(shù)有機地聯(lián)系起來，再根據(jù)題意對泰勒展開式進行處理，從而達到解決問題的目的．使用該法的關(guān)鍵是寫出函數(shù)在某一點的泰勒公式。例2設(shè)函數(shù)f(x)在(一∞，+∞)上有3階導(dǎo)數(shù)，并且f(x)和f'''(x)在(一∞，+∞)上有界，證明：f’(X)和f’’(X)(x)在(一∞，+∞)上也有界。2.4.2求高階偏導(dǎo)數(shù)將f(x，y)在點Po(Xo，Yo)的泰勒公式寫出，則可求出f(x，y)在點Po(Xo，Yo)處的高階偏導(dǎo)數(shù)。2.4.3求解與高階偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)的命題3.問題延伸泰勒展開式作為高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，中學(xué)教學(xué)一般不會涉及，然而在當(dāng)前高考數(shù)學(xué)命題模式下，命題者經(jīng)常會站在更高的視角來命制試題，使得部分試題顯露出高等數(shù)學(xué)思想的同時，又能保證其可以用高中所學(xué)知識來解決．作為高中教師，就要去領(lǐng)會命題者的意圖，在條件允許的情況下，帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)相對容易應(yīng)用的部分高等數(shù)學(xué)知識，以開拓學(xué)生視野，拓寬解題思路，增強解題能力．下文例析了可以利用泰勒公式進行求解的部分高考試題，主要以一元函數(shù)的泰勒展開式為核心．3.1泰勒展開式與不等式結(jié)合感悟：函數(shù)與不等式結(jié)合的壓軸題，有時借助泰勒展開公式，可避開繁瑣的推理演算過程，加快解題速度和降低思維難度．需要注意的是，運用泰勒展開式一定要注意展開的條件，即函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義且可連續(xù)求導(dǎo)，假若該題的定義域范圍是x∈(1，2)，那么函數(shù)在x0=1處便不能進行泰勒展開．此外，對于一些常見的函數(shù)在x=0附近的展開形式，要加強記憶，提升解題靈感，如下:3.2泰勒展開式用于估算數(shù)值感悟：運用泰勒展開逼近某一無理數(shù)時，一般而言，逼近的精度越高，則需要展開的項數(shù)就越多，而在同等項數(shù)的情況下，若鄰域?qū)挾仍叫?，則逼近精度會越高。感悟：求極限是高考?？嫉膬?nèi)容之一，高中階段的極限主要以兩類為主:一是數(shù)列極限；二是函數(shù)極限。這些極限的類型主要有“∞－∞””和“∞·0”型等，常用處理方法多為“代入法”“通分法”“零因式約去法”“無窮大約去法”等，但對于一些較為復(fù)雜的極限問題，以上方法一時難以解決，便可利用高等數(shù)學(xué)的方法，如“洛必達法則”或者“泰勒展開式”等．需要說明的是，一般高考中所出現(xiàn)的極限問題，幾乎不需要借用高等數(shù)學(xué)的知識，常規(guī)方法即可求解。4.結(jié)語本文通過對一道物理競賽題的二元泰勒展開式為背景，例談了運用泰勒展開公式在高考試題的一些應(yīng)用．誠然，泰勒展開式的具體應(yīng)用遠不止如此，但在當(dāng)前很多省份的高考命題回歸全國卷的背景下，教師在復(fù)習(xí)階段，要加強對全國卷的真題研究，從多視角分析試題的命制背景和解題