2021屆江西省上饒市高考二模數(shù)學(xué)(文)試題

2021年江西省上饒市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）一、選擇題（共12小題）.1．設(shè)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|log2（x﹣1）＞0}，則A∩B＝（）A．（﹣∞，2） B．[1，2） C．（1，2） D．（2，3]2．已知復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）＝|3+4i|（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i3．已知a，b都是正數(shù)，則“ab≥4”是“a+b＝ab”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．將函數(shù)f（x）＝sin2x﹣?cos2x的圖象向左平移?個單位長度后，得到y(tǒng)＝g（x）的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)g（x）的說法中正確的是（）A．g（x）的最小正周期為2π B．g（x）的圖象關(guān)于直線x＝?對稱 C．g（x）的最大值為?+1 D．g（x）在（?）上為單調(diào)減函數(shù)5．已知sin（）＝，cosβ＝，則cos（﹣α）+cos2β＝（）A． B． C． D．6．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，其側(cè)視圖中的曲線為圓周，則該幾何體中曲面的面積為（）A．8π B．32﹣8π C．32 D．647．已知數(shù)列{an}是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，前n項和為Sn，滿足2a4＝a3+5，則S9＝（）A．35 B．40 C．45 D．508．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，＝3，則?＝（）A． B． C． D．9．已知奇函數(shù)f（x）滿足f（5）＝1，且f（x﹣2）的圖象關(guān)于x＝3對稱，則f（2021）＝（）A．﹣1 B．1 C．0 D．310．函數(shù)y＝的圖象大致為（）A． B． C． D．11．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若Sn＝2n+1﹣a，則雙曲線﹣＝1的漸近線方程為（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x12．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x2+1，若f（x）﹣kx＞0恰有3個正整數(shù)解，則k的取值范圍為（）A．[﹣，﹣） B．（﹣，﹣） C．（﹣，﹣] D．[﹣，﹣]二、填空題（共4小題）.13．已知x，y滿足，則z＝的最小值為．14．已知直線3x+4y+2＝0與（x﹣1）2+y2＝r2圓相切，則該圓的半徑大小為．15．在△ABC中，角A、B、C的對邊a、b、c為三個連續(xù)偶數(shù)且C＝2A，則b＝．16．設(shè)F為拋物線y2＝x的焦點，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，則|AF|+3|BF|的最小值為．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．17．已知數(shù)列{an}對任意的n∈N*都滿足?+…+＝n．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn＝?，求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝2，AC交BD于點F，且△PAD與△ACD均為正三角形，G為△PAD的重心．（1）求證：GF∥平面PAB；（2）求三棱錐G﹣PAB的體積．19．近年來上饒市積極開展“創(chuàng)文創(chuàng)衛(wèi)”活動，深入學(xué)習宣傳貫徹黨的十九屆五中全會精神，堅持以人民為中心的發(fā)展思想，以深化全國文明城市建設(shè)為抓手，讓文明的種子在上饒大地繼續(xù)播撒，浸潤于每一位市民的日常行為中，鐫刻在上饒城市精神的最深處．廣大學(xué)生也積極投身文明宣傳活動，某班級在活動的前2天大力宣傳后，從第3天開始連續(xù)統(tǒng)計了4天的參與活動的學(xué)生人數(shù)如下：第x天3456人數(shù)17201924（1）從以上4天中隨機選取2天，求這2天參與活動均在20人以上（含20人）的概率；（2）根據(jù)表中4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程＝x+；并預(yù)測第10天的參與人數(shù)．參考公式：回歸直線＝x+中＝＝，＝．20．已知橢圓＝1（a＞b＞0）與拋物線y2＝2px（p＞0）的一個交點為（1，），且拋物線向右平移個單位后的焦點與橢圓的焦點重合．（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)A、B為橢圓的左、右頂點，P為橢圓上一點，設(shè)點Q（3，t）（t＞0），且BP⊥BQ，求△APQ面積的最大值．21．已知函數(shù)f（x）＝lnx+a．（1）若a＝1，求函數(shù)f（x）在x＝1處的切線方程；（2）若f（x）≤x（ex﹣1）+2恒成立，求a的取值范圍．請考生在第22、23題中任選一題做作答，如果多做，則按所做的第一題記分，做題時請寫清題號．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρsin（）＝．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）若點M的坐標為（1，2），直線l與曲線C交于A、B兩點，求的值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）若f（x）＜7的解集為（m，n），求m+n；（2）若a、b∈R+且a，n，4b成等差數(shù)列，求a2+4b2的最小值．

參考答案一、選擇題（共12小題）.1．設(shè)A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|log2（x﹣1）＞0}，則A∩B＝（）A．（﹣∞，2） B．[1，2） C．（1，2） D．（2，3]解：∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x﹣1＞1}＝{x|x＞2}，∴A∩B＝（2，3]．故選：D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）＝|3+4i|（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i解：∵z（2+i）＝|3+4i|，∴z＝＝＝＝＝2﹣i，∴＝2+i，故選：C．3．已知a，b都是正數(shù)，則“ab≥4”是“a+b＝ab”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件解：由a+b＝ab得a+b＝ab≥2，平方得（ab）2≥4ab，∵a，b都是正數(shù)，∴ab≥4，即必要性成立，當a＝5，b＝1時，滿足ab≥4，但a+b＝ab不成立，即充分性不成立，則“ab≥4”是“a+b＝ab”的必要不充分條件，故選：B．4．將函數(shù)f（x）＝sin2x﹣?cos2x的圖象向左平移?個單位長度后，得到y(tǒng)＝g（x）的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)g（x）的說法中正確的是（）A．g（x）的最小正周期為2π B．g（x）的圖象關(guān)于直線x＝?對稱 C．g（x）的最大值為?+1 D．g（x）在（?）上為單調(diào)減函數(shù)解：∵將函數(shù)f（x）＝sin2x﹣?cos2x＝2sin（2x﹣）的圖象向左平移?個單位長度后，得到y(tǒng)＝g（x）＝2sin（2x+﹣）＝2sin（2x﹣）的圖象，∴g（x）的最小正周期為＝π，故A錯誤；令x＝，求得g（x）＝0，不是最值，故B錯誤；g（x）的最大值為2，故C錯誤；當x（?），2x﹣∈（，π），g（x）單調(diào)遞減，故D正確，故選：D．5．已知sin（）＝，cosβ＝，則cos（﹣α）+cos2β＝（）A． B． C． D．解：∵cosβ＝，∴cos2β＝2cos2β﹣1＝2×﹣1＝﹣，∵sin（）＝，∴cos（﹣α）＝cos[﹣（）]＝sin（）＝，∴cos（﹣α）+cos2β＝﹣＝﹣．故選：B．6．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，其側(cè)視圖中的曲線為圓周，則該幾何體中曲面的面積為（）A．8π B．32﹣8π C．32 D．64解：由題意可知：幾何體是棱長為4的正方體去掉一個半徑為4的圓柱的幾何體，如圖：該幾何體中曲面的面積：＝8π．故選：A．7．已知數(shù)列{an}是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，前n項和為Sn，滿足2a4＝a3+5，則S9＝（）A．35 B．40 C．45 D．50解：∵2a4＝a3+5，∴2（a5﹣d）＝a5﹣2d+5，∴a5＝5，∴S9＝＝9a5＝5×9＝45，故選：C．8．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，＝3，則?＝（）A． B． C． D．解：在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，＝3，如圖：則＝，所以?＝（）＝＝.\故選：C．9．已知奇函數(shù)f（x）滿足f（5）＝1，且f（x﹣2）的圖象關(guān)于x＝3對稱，則f（2021）＝（）A．﹣1 B．1 C．0 D．3解：∵函數(shù)f（x﹣2）的圖象關(guān)于x＝3對稱，∴f（x）的圖象關(guān)于x＝1對稱，∴f（x）＝f（2﹣x），∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f[2﹣（x﹣2）]＝﹣f（4﹣x）＝f（x﹣4），∴f（x）是周期為4的函數(shù)，∴f（2021）＝f（1）＝f（5）＝1．故選：B．10．函數(shù)y＝的圖象大致為（）A． B． C． D．解：y＝f（x）＝，則f（x+）＝＝＝，設(shè)g（x）＝f（x+）＝，其定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），∴g（﹣x）＝＝＝g（x），∴g（x）為偶函數(shù)，即將函數(shù)f（x）先左平移個單位后，圖象關(guān)于y軸對稱，故排除AC；令y＝f（x）＝＝0，解得x＝k，k∈Z，即函數(shù)有無數(shù)個零點，故排除B，故選：D．11．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若Sn＝2n+1﹣a，則雙曲線﹣＝1的漸近線方程為（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x解：∵Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝2n+1﹣a，∴a1＝S1＝22﹣a，當n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2n＝2n，故22﹣a＝21＝2?a＝2，∴雙曲線﹣＝1?﹣＝1，∴雙曲線﹣＝1的漸近線方程為y＝±x，故選：C．12．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣x2+1，若f（x）﹣kx＞0恰有3個正整數(shù)解，則k的取值范圍為（）A．[﹣，﹣） B．（﹣，﹣） C．（﹣，﹣] D．[﹣，﹣]解：由題意，f（x）﹣kx＞0恰有3個正整數(shù)解，轉(zhuǎn)換為y＝lnx的圖象與y＝x2﹣1+kx的圖象交點問題，作出y＝lnx和y＝x2﹣1+kx的圖象，如圖要使lnx＞x2﹣1+kx恰有3個正整數(shù)解，則需滿足：解得：故選：B．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題卡上）．13．已知x，y滿足，則z＝的最小值為．解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（2，1），z＝的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點P（﹣1，﹣1）連線的斜率，由圖可知，其最小值為．故答案為：．14．已知直線3x+4y+2＝0與（x﹣1）2+y2＝r2圓相切，則該圓的半徑大小為1．解：由（x﹣1）2+y2＝r2，可知圓心坐標為（1，0），半徑為r，∵直線3x+4y+2＝0與（x﹣1）2+y2＝r2圓相切，由圓心到直線的距離d＝，可得圓的半徑為1．故答案為：1．15．在△ABC中，角A、B、C的對邊a、b、c為三個連續(xù)偶數(shù)且C＝2A，則b＝10．解：因為△ABC中，角A，B，C的對邊a，b，c為三個連續(xù)偶數(shù)，設(shè)b＝x，則a＝x﹣2，c＝x+2，又C＝2A，則由正弦定理＝，可得＝＝＝，解得cosA＝，由余弦定理可得cosA＝＝＝，所以＝，解得x＝10，所以b＝10．故答案為：10．16．設(shè)F為拋物線y2＝x的焦點，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，則|AF|+3|BF|的最小值為+1．解：由拋物線的方程可得焦點F（，0），設(shè)直線AB的方程為：y＝k（x﹣），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，整理可得：k2x2﹣（k2+1）x+＝0，x1x2＝，由拋物線的性質(zhì)可得|AF|＝x1+，|BF|＝x2+，所以|AF|+3|BF|＝x1+3x2+1≥2+1＝+1，故答案為：+1．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）．17．已知數(shù)列{an}對任意的n∈N*都滿足?+…+＝n．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn＝?，求數(shù)列{bn}的前n項和為Tn．解：（1）由?+…+＝n可得：?+…+＝n﹣1(n≥2)，兩式相減得：＝1，即an＝3n，n≥2，又當n＝1時，有＝1，解得a1＝3也適合，∴an＝3n；（2）由（1）可得：bn＝?＝＝(﹣)，∴Tn＝(﹣+﹣+???+﹣)＝(﹣)＝．18．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，CD＝2AB＝2，AC交BD于點F，且△PAD與△ACD均為正三角形，G為△PAD的重心．（1）求證：GF∥平面PAB；（2）求三棱錐G﹣PAB的體積．【解答】（1）證明：因為△PAD與△ACD均為正三角形，連接DG并延長交PA于點E，連接BE，底面ABCD為梯形，AB∥CD，CD＝2AB，所以△ABF∽△CDF，則，而G為△PAD的重心，所有，所以，則GF∥EB，而GF?平面PAB，EB?平面PAB，所以GF∥平面PAB；（2）解：因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，在△PAD中，連接PG并延長交AD于點M，PM⊥AD，所以PM⊥面ABCD，則VG﹣PAB＝VP﹣ABM﹣VG﹣ABM，因為CD＝，AB＝，△ACD為正三角形，則AD＝，所以PM＝3，PG＝2，GM＝1，而∠DAC＝∠ACD＝60°＝∠CAB，則∠EAB＝120°，所以S△MAB＝AM?AB?sin120°＝，所以VG﹣PAB＝＝．19．近年來上饒市積極開展“創(chuàng)文創(chuàng)衛(wèi)”活動，深入學(xué)習宣傳貫徹黨的十九屆五中全會精神，堅持以人民為中心的發(fā)展思想，以深化全國文明城市建設(shè)為抓手，讓文明的種子在上饒大地繼續(xù)播撒，浸潤于每一位市民的日常行為中，鐫刻在上饒城市精神的最深處．廣大學(xué)生也積極投身文明宣傳活動，某班級在活動的前2天大力宣傳后，從第3天開始連續(xù)統(tǒng)計了4天的參與活動的學(xué)生人數(shù)如下：第x天3456人數(shù)17201924（1）從以上4天中隨機選取2天，求這2天參與活動均在20人以上（含20人）的概率；（2）根據(jù)表中4組數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的線性回歸方程＝x+；并預(yù)測第10天的參與人數(shù)．參考公式：回歸直線＝x+中＝＝，＝．解：（1）由表格可以得到，從4天中隨機取2天，共有種選法，而第4天和第6天參與活動的人數(shù)均在20人以上（含20人），參與活動均在20人以上（含20人）的共有2天，只有1種選法，故這2天參與活動均在20人以上（含20人）的概率為；（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得，，所以＝，故＝＝20﹣2×4.5＝11，所以回歸直線為＝2x+11，當x＝10時，參與人數(shù)＝2×10+11＝31人，即預(yù)測第10天的參與人數(shù)為31人．20．已知橢圓＝1（a＞b＞0）與拋物線y2＝2px（p＞0）的一個交點為（1，），且拋物線向右平移個單位后的焦點與橢圓的焦點重合．（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)A、B為橢圓的左、右頂點，P為橢圓上一點，設(shè)點Q（3，t）（t＞0），且BP⊥BQ，求△APQ面積的最大值．解：（1）因為拋物線過點（1，），所以（）2＝2p，解得p＝，所以拋物線的方程為y2＝x，焦點坐標為（，0），因為拋物線向右平移個單位后的焦點與橢圓的焦點重合，所以橢圓的焦點坐標為（，0），所以，解得a2＝4，b2＝1，所以橢圓的方程為+y2＝1．（2）由（1）知A（﹣2，0），B（2，0），因為BP⊥BQ，所以kBP?kBQ＝﹣1，則kBQ＝t，則kBP＝﹣，所以直線BP的方程為y＝﹣（x﹣2），聯(lián)立，得（t2+4）x2﹣16x+16﹣4t2＝0，所以xBxP＝，所以xP＝，所以yP＝﹣（x﹣2）＝﹣（﹣2）＝，直線AQ的方程為y＝（x+2），所以點P到直線AQ的距離d＝，所以|AQ|＝＝，所以S△ABP＝?|AQ|?d＝×|×t﹣+2t|＝×||＝＝≤＝，當且僅當t＝，即t＝2時，取等號，所以S△ABP的最大值為．21．已知函數(shù)f（x）＝lnx+a．（1）若a＝1，求函數(shù)f（x）在x＝1處的切線方程；（2）若f（x）≤x（ex﹣1）+2恒成立，求a的取值范圍．解：（1）a＝1時，f（x）＝lnx+1，f′（x）＝，則k＝f′（1）＝1，f（1）＝1，故切線方程是：y﹣1＝x﹣1，即y＝x；（2）若f（x）≤x（ex﹣1）+2恒成立，則a≤x（ex﹣1）﹣lnx+2在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝x（ex﹣1）﹣lnx+2，則g′（x）＝（x+1）（ex﹣），x+1＞0，令h（x）＝ex﹣，h′（x）＝ex+，故h（x）在（0，+∞）遞增，而x→0時，h（x）→﹣∞，x→+∞時，h（x）→+∞，故存在x0∈（0，+∞），使得h（x0）＝0，從而x0＝1，x0＝﹣lnx0，故h（x）在（0，x0）遞增，在（x0，+∞）遞減，故