2021屆江西省南昌市高三二模數(shù)學(理)試題(解析版)

2021屆江西省南昌市高三二模數(shù)學（理）試題一、單選題1．復(fù)數(shù)z對應(yīng)復(fù)平面上的點，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運算求出即可得到其坐標，即可判斷；【詳解】解：因為復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點，所以，所以，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為位于第二象限.故選：B.2．已知集合，則集合中元素個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個【答案】D【分析】根據(jù)集合是由兩條直線上的所有點組成的集合可得答案.【詳解】因為等價于或，所以集合是直線和直線上的所有點組成的集合，所以集合中的元素個數(shù)有無數(shù)個.故選：D3．從編號依次為01，02，…，20的20人中選取5人，現(xiàn)從隨機數(shù)表的第一行第3列和第4列數(shù)字開始，由左向右依次選取兩個數(shù)字，則第五個編號為（）53083395550262152702436932181826099478465887352224683748168595271413872714955656A．09 B．02 C．15 D．18【答案】A【分析】從隨機數(shù)表的第一行第3列和第4列數(shù)字開始，依次讀取，舍去不在范圍內(nèi)的和重復(fù)的數(shù)字，可得答案．【詳解】從隨機數(shù)表的第一行第3列和第4列數(shù)字開始，依次讀取，（舍），（舍），（舍），，（舍），，（舍），（舍），（舍），（舍），（舍），，（舍），（舍），則第五個編號為故選：A4．心臟每跳動一次，就完成一次收縮和舒張.心臟跳動時，血壓在增大或縮小，并呈周期性變化，血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓.某人的血壓滿足函數(shù)，其中為血壓(單位：)，t為時間(單位：)，則相鄰的收縮壓和舒張壓的時間間隔是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】相鄰血壓的最大值與最小值之間的間隔，由三角函數(shù)性質(zhì)易知為半個周期，求得血壓函數(shù)的周期即可求得.【詳解】由題知，血壓的最大值與最小值分別為收縮壓和舒張壓，又血壓函數(shù)為正弦三角函數(shù)，則相鄰的收縮壓和舒張壓即血壓函數(shù)的半個周期，則，時間間隔為.故選：A.5．已知等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前6項和（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】首先根據(jù)條件先求公比，再求首項，代入公式求.【詳解】，，，.故選：B.6．如圖，正四棱錐的高為12，，，分別為，的中點，過點，，的截面交于點，截面將四棱錐分成上下兩個部分，規(guī)定為主視圖方向，則幾何體的俯視圖為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)主視圖所給方向即可知俯視圖中底面正方形，計算可知點投影位置，即可得出答案.【詳解】研究平面DPB，設(shè)AC與BD的交點為O，BM與EF交點為N,為的中點，為的中點，，，又因為,過點作，設(shè)，，，又，，,,為4個格，為8個格，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：研究并計算平面,確定點在底面上的投影的位置，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7．已知是拋物線的焦點，是拋物線上的一個動點，，則周長的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合兩點間距離公式進行求解即可.【詳解】拋物線的焦點，準線的方程為，過做，垂足為，設(shè)周長為，，由拋物線的定義可知：，因此，當在同一條直線上時，有最小值，即時，，故選：B8．已知，若有兩解，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求解時的實數(shù)根，再根據(jù)函數(shù)圖象，判斷時，方程有一個解時，的取值范圍.【詳解】由條件可知且，當時，，解得：，成立，當時，若，，，，有解，則，如圖，當時，有交點，越大，越小，越大，當時，，故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查分段函數(shù)，以及根據(jù)方程實數(shù)根的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合分析，當時，有解，求參數(shù)的取值范圍.9．已知，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】利用等價轉(zhuǎn)化的方式探討“”與“”的關(guān)系而得解.【詳解】因為，所以，從而有“”是“”充要條件.故選：C.10．將雙曲線繞其對稱中心旋轉(zhuǎn)，會得到我們熟悉的函數(shù)圖象，例如將雙曲線的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，能得到反比例函數(shù)的圖象（其漸近線分別為軸和軸）；同樣的，如圖所示，常見的“對勾函數(shù)”也能由雙曲線的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)得到（其漸近線分別為和軸）．設(shè)，，則此“對勾函數(shù)”所對應(yīng)的雙曲線的實軸長為（）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】求出旋轉(zhuǎn)后實軸所在直線方程，求出雙曲線的兩個頂點坐標，再由兩點間的距離公式可得解.【詳解】旋轉(zhuǎn)后兩條漸近線分別為和，夾角為，旋轉(zhuǎn)前后兩條漸近線的夾角不變，實軸所在直線是兩條漸近線所夾角的平分線，所以旋轉(zhuǎn)后，雙曲線的實軸所在直線的傾斜角為，斜率為，方程為，聯(lián)立，解得或，所以旋轉(zhuǎn)后的雙曲線的兩個頂點為或，所以實軸長為.故選：C11．四面體中，，且與所成角為，則該四面體的外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】把四面體放入符合條件的長方體中，四面體外接球即長方體外接球，從而求得半徑，求出表面積.【詳解】如圖所示，把四面體放入符合條件的長方體中，在中，，，則又與夾角為，則，在中，，則四面體的外接球即為長方體的外接球，則外接球半徑為故外接球表面積為故答案為：D.【點睛】方法點睛：將四面體外接球轉(zhuǎn)化為長方體外接球，從而求得半徑.12．已知直線(a為常數(shù)，，…)，點是與的交點，則數(shù)列的前20項和為（）A．320 B．360 C．590 D．600【答案】C【分析】聯(lián)立直線方程，解出x，y的表達式，因交點是，則求得的，從而根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系求得參數(shù)a的值，代入可求得數(shù)列通項公式，從而求得前20項和.【詳解】聯(lián)立，，即，，則，即，代入①式，得，，則，故，，由的通項可以推出：，又，，則，故，，，故數(shù)列的前20項和為.故選：C.【點睛】方法點睛：聯(lián)立求得交點，滿足數(shù)列的遞推關(guān)系，求得參數(shù)和通項公式，進而求得前20項和.二、填空題13．已知，，則與同方向的單位向量是___________．【答案】【分析】求出的坐標與模，進而可求得與同方向的單位向量為，即可得解.【詳解】由已知條件可得，則，所以，與同方向的單位向量為.故答案為：.【點睛】結(jié)論點睛：（1）與非零向量共線的單位向量為；（2）與非零向量垂直的單位向量為.14．某學科視導(dǎo)團有三名男專家和兩名女專家，安排到五所學校進行教學視導(dǎo)，這五所學校中省級重點中學有三所，省級建設(shè)重點中學有兩所，要求每所學校各派一位專家，兩類學校都要有男專家，則不同的分派方案有___________種(結(jié)果用數(shù)字作答).【答案】108【分析】先求總的分派方案再減去不符合要求的方案即可．【詳解】兩類學校都要有男專家，則不同的分派方案有故答案為：10815．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為___________.【答案】【分析】函數(shù)在上單增，說明其導(dǎo)數(shù)在上大于等于0，恒成立，從而解得參數(shù)取值范圍.【詳解】，在上單增，等價于，在上恒成立，的對稱軸為，則在上單增，則即故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)數(shù)在去上大于等于0，恒成立.16．通過研究發(fā)現(xiàn)：點光源P斜照射球，在底面上形成的投影是橢圓，且球與底面相切于橢圓的一個焦點(如圖所示)，如圖是底面邊長為2?高為3的正四棱柱，一實心小球與正四棱柱的下底面及四個側(cè)面均相切，若點光源P位于的中點處時，則在平面上的投影形成的橢圓的離心率是___________.【答案】【分析】作出光源投影后的圖形，在三角形中分別解得橢圓參數(shù)a，c，從而求得離心率.【詳解】從P作于M點，在平面內(nèi)作球的切線，交平面于N點，則在平面內(nèi)形成的圖形如圖所示：底面邊長為2?高為3的正四棱柱，實心小球與正四棱柱的下底面及四個側(cè)面均相切，則，，故，，則，根據(jù)題目條件知，是橢圓焦點，MN是長軸，即，，則，離心率故答案為：三、解答題17．在鈍角中，為鈍角，角所對邊分別為，，.（1）求角；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由可得關(guān)系，結(jié)合內(nèi)角和為可求得，由得到結(jié)果；（2）利用正弦定理可求得，利用三角形面積公式，結(jié)合二倍角公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）為鈍角，，，又，，，解得：，.（2）由（1）得：，由正弦定理得：，，.18．如圖，菱形的邊長為4，對角線交于點，將沿折起得到三棱錐.（1）求證：平面平面；（2）若與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）或.【分析】（1）若要證面面垂直，只要證平面內(nèi)一條直線垂直于另外一個平面即可；（2）兩種情況，1°點D在面內(nèi)的投影O落在內(nèi)，2°點D在面內(nèi)的投影H落在外兩種情況分類討論，建立空間直角坐標系，利用平面的法向量進行求解即可.【詳解】（1）（2）（1）因為折疊前，所以，因為，所以平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知，平面平面，過點D作，則平面，1°當點D在面內(nèi)的投影O落在內(nèi)時，如圖（1），因為，所以，因為，所以，則，如圖所示，建立空間直角坐標系，則，，則，設(shè)平面的法向量為，則，則，因為平面的法向量為，所以；2°當點D在面內(nèi)的投影H落在外時，如圖（2），因為面面，所以點H在的延長線上，中，.如圖以E為原點，所在直線分別為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，由，得到，令，有，而平面的一個法向量為，所以二面角的余弦值為或.【點睛】本題考查了空間面面垂直的在證明，考查了利用空間直角坐標系求二面角，同時考查了分類討論思想，要求較高的計算能力，屬于較難題.本題的關(guān)鍵有：（1）證明面面垂直，先證明線面垂直；（2）建系求二面角關(guān)鍵是利用方程求法向量.19．已知橢圓：的離心率，橢圓與軸交于，兩點，與軸交于，兩點，四邊形的面積為4．（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上一點（不在坐標軸上），直線，分別與軸相交于，兩點，設(shè)，，的斜率分別為，，，過點的直線的斜率為，且，直線與軸交于點，求的值．【答案】（1）；（2）0．【分析】（1）由離心率得，由四邊形面積得，結(jié)合可求得得橢圓方程；（2）設(shè)，不妨設(shè)，，得直線方程，可得點坐標，求出直線斜率，得直線方程，從而可得點坐標，計算即可得結(jié)論．【詳解】（1）由題：，且，又，所以，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，則即，不妨設(shè)，，直線：，令得，故；同理可求．則，，所以，所以直線為，令得，又，故即．，又即，代入上式得，．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求橢圓標準方程，考查直線橢圓方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是設(shè)，由在橢圓上得，解題方法是解析幾何的基本方程，寫出直線方程求得交點坐標，計算兩點間距離，然后計算距離之差，得出結(jié)論．考查了學生的運算求解能力．20．某電臺舉辦有獎知識競答比賽，選手答題規(guī)則相同.甲每道題自己有把握獨立答對的概率為，若甲自己沒有把握答對，則在規(guī)定時間內(nèi)連線親友團尋求幫助，其親友團每道題能答對的概率為p，假設(shè)每道題答對與否互不影響.（1）當時，（i）若甲答對了某道題，求該題是甲自己答對的概率；（ii）甲答了4道題，計甲答對題目的個數(shù)為隨機變量X，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；（2）乙答對每道題的概率為(含親友團)，現(xiàn)甲乙兩人各答兩個問題，若甲答對題目的個數(shù)比乙答對題目的個數(shù)多的概率不低于，求甲的親友團每道題答對的概率p的最小值.【答案】（1）（i）；（ii）分布列答案見解析，數(shù)學期望：；（2）最小值為.【分析】（1）（i）記事件A為“甲答對了某道題”，事件B為“甲確實會做”，分別求得的概率，結(jié)合條件概率的計算公式，即可求解；（ii）求得甲答對某道題的概率為，得到，結(jié)合獨立重復(fù)試驗的概率計算公式和二項分布的期望公式，即可求解；（2）記事件為“甲答對了i道題”，事件為“乙答對了i道題”，求得，根據(jù)甲答對題數(shù)比乙多的概率列出不等式，即可求解.【詳解】（1）（i）記事件A為“甲答對了某道題”，事件B為“甲確實會做”，則，所以.（ii）隨機變量X可取，甲答對某道題的概率為，則，則，則隨機變量X的分布列為X01234P則.（2）記事件為“甲答對了i道題”，事件為“乙答對了i道題”，其中甲答對某道題的概率為，答錯某道題的概率為則，，，，所以甲答對題數(shù)比乙多的概率為解得，即甲的親友團助力的概率P的最小值為.【點睛】方法點撥：記事件為“甲答對了i道題”，事件為“乙答對了i道題”，分別求得，，根據(jù)獨立事件的概率計算公式，根據(jù)甲答對題數(shù)比乙多的概率，列出不等式是解答的關(guān)鍵.21．已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為.（1）求證：時，；（2）求證：..【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在上，利用進行放縮或者利用輔助角公式，來證明導(dǎo)數(shù)恒小于0，從而求得的最小值，與0進行比較即可.（2），利用放縮，結(jié)合（1）中函數(shù)得出的結(jié)論，進一步放縮，最后轉(zhuǎn)化為對數(shù)的累加，從而證得結(jié)果.【詳解】證明：（1），由題，所以.故，在上，易知方法一：，令，知在單調(diào)遞增，所以，也即，所以在上單調(diào)遞減，，所以，在得證；方法二：，令，知在單調(diào)遞減，所以，知在單調(diào)遞增，所以，也即，所以在上單調(diào)遞減，，所以，在得證；方法三：，因