分析高數(shù)課件

R正六邊形的面積RL L正62n1形的面 2“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不第一天截下的杖長(zhǎng)為 1 第二天截下的杖長(zhǎng)總XL L

11 第n天截下的杖長(zhǎng)總和為Xn

11L1 1 二、數(shù)列的定定義:按自然數(shù)1,2,3,L編號(hào)依次排列的一列x1,x2,L,xn, 稱為無(wú)窮數(shù)列,簡(jiǎn)稱數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù),xn{xn}.例如111L,1L;{1

2,4,8,L,2n,L;{2n24

1,1,1,L,(1)n1,L1 n ,L2

{(1)n1,L {n(1)n1n3,3,xn

,L3333333L3

,3xn13xn1動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取x1x2L,xnL.

x2 2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù) f三、數(shù)列的極觀察數(shù)列{1 n問題:n無(wú)限增大時(shí)xn是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是，如何確定?通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察1 n

n無(wú)限增大時(shí)(Ⅰ)

,L2

{xn}

,L}} 11

,L n,L24

{2n 不能無(wú)限接1,1,1,L,(1)n1,L;{(1)n1 某問題:“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它

當(dāng)當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)xn無(wú)限接近于xna任意要多小有多小 n(1)n11(1)n1 ： 解

xn

xn1要使

11 1 n 只n

xn

1 ,n

只要n

1對(duì)任

0,要使xn1

n

對(duì)任

0,要使xn

n

只要n1二、數(shù)列極限的定義任給0,總存在正整數(shù)N使得當(dāng)nNxna稱數(shù)列以a為極限，或數(shù)列收斂于 記為：lim a,或 注意：⑴定義中的

a(n).是任給⑵定義只強(qiáng)調(diào)N的存在性而定xna是對(duì)nN的一切n都成立刻劃了xn與a的無(wú)限接近N定義:limxna0,N0,使nN時(shí)xna其中:每一個(gè)或任給的 :至少有一個(gè)或存在

數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法 例 設(shè) C(C為常數(shù)),證明lim C 證0,

對(duì)于一切自然數(shù)nxn

C

0成立所以

limxnCn說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù)例2證明

nnnn

證

1n0,

1

只要1n

或n1所以,取N

則當(dāng)nN時(shí)nnn

n(1)n1就 1

即

例:

cosn1) cos證對(duì)

1

2(n1)0

總存在正整數(shù)NnNn1

xna即 2(n1)

n因0

1 故2(n

2(n1)<22

n21 2(n1)n

2n

2,n2n因此

0,取N21n

2(n1)0

總存在正整數(shù)N

1n

2(n1)

使得當(dāng)nN時(shí)，xna 定0,尋找N,但不必要求最小的N.aaa xN xN 當(dāng)nN時(shí),所有的點(diǎn)xn都落在(a 所有xn全落點(diǎn)a鄰域只有有限個(gè)(至所有xn全落點(diǎn)a鄰域limlimxn的無(wú)窮個(gè)點(diǎn)，則limuna?1 n為奇數(shù)un n為偶數(shù)當(dāng)1010

問limun0在點(diǎn)a(0)的鄰域外，總有的點(diǎn)

四、數(shù)列極限的性唯一 定理2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限證limxna又limxn n

由定義0,N1N2使得當(dāng)nN1時(shí)恒

xn

取NmaxN1N則當(dāng)nN

ab

(xnb)(xnxnb

xn

上式僅當(dāng)ab時(shí)才能成立故收斂數(shù)列極限唯一有界定義:對(duì)數(shù)列xn,若存在正數(shù)M, 然數(shù)n,恒有xn M成立,則稱數(shù)列xn有界,否則,稱 例如xn

數(shù)軸上對(duì)應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)xn都落在閉區(qū)[MM]上xn2n.對(duì)一切M,對(duì)一切M,使xnM,證設(shè)lim 由定義 取n則N使得當(dāng)nN時(shí)恒xnaa1xnaxn取xnaxn取xnaaxnaa1Mx1,x2,L,xN,1

,L

xN

a

a則對(duì)一切自然數(shù)n,皆有

M

推論數(shù)列必定發(fā)散n例 證明數(shù)列 (1)n1是發(fā)散的n證設(shè)lim

由定義,對(duì)于1 則N使得當(dāng)nN時(shí)xn即當(dāng)nN時(shí), (a1,a

1成立2區(qū)間長(zhǎng)度為 而xn無(wú)休止地反復(fù)取1,1兩個(gè)數(shù),定理：若limxna且a0(或a0),則N當(dāng)nN時(shí)有xn0(或xna0,由數(shù)列極限定義可知，對(duì)a2則N0,當(dāng)nN時(shí),有 aa,從而 aaa 推論：如果數(shù)列推論：如果數(shù)列xn}從某項(xiàng)開始有xn（或xn且limxna,則a（或a3. 的數(shù)列{xnk}稱為數(shù)列{xn}的子數(shù)列。

x注意：nk

k定理：若{xna(n),則{xn}的任一子列也收斂為Qxna(n對(duì)0,N0,當(dāng)nN時(shí)有xnaKN,當(dāng)kK即{xna(nkk

nKnN

.定理：若xn}a,則xn的任一子列也收斂為Q數(shù)列{(1)n},有一子列{(1)2n}另有一子列{(1)2n1}1故數(shù)列{(1)n}發(fā)散五.數(shù)列:研究其變化規(guī)律數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性、唯一性、保號(hào)性作業(yè):1-2;3.(2、3)；4；5；6思考 下列證明lim 證明要使 n1 只要使1lnnln(1n從而1ln(1ln(1

N

ln 當(dāng)nN時(shí)，必有0 n1成 limnn思考題解n 1n

1lnnln(1)（等價(jià)~n~證明中所采用的1ln(1ln(1 ln ln實(shí)際上就是ln2lnnln(1 即證明中沒有采用“適當(dāng)放大

ln 的反而縮小為lnnnNln(1)lnln2ln(1成立n但不lnnln(1)的充分條件n1、lim3n13；n2n 2、li.99 9二、設(shè)數(shù)xn有界，又limyn證明：limxnyn例 證明lim 0,其中

證0,若q 則limqnlim0 n若0q

xn0qn

nlnqlnn