高中數(shù)學(xué)1-1學(xué)案：3.4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題．知識點(diǎn)生活中的優(yōu)化問題1．生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題,這些問題通常稱為________________．2．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)最值．3．解決優(yōu)化問題的基本思路：上述解決優(yōu)化問題的過程是一個典型的______________過程．類型一幾何中的最值問題命題角度1平面幾何中的最值問題例1某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場．如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線l相切于點(diǎn)M.點(diǎn)A為上半圓弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為點(diǎn)B。市園林局計劃在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化．設(shè)△ABM的面積為S(單位：m2),∠AON＝θ（單位：弧度）．（1)將S表示為θ的函數(shù);（2）當(dāng)綠化面積S最大時，試確定點(diǎn)A的位置，并求最大面積．反思與感悟平面圖形中的最值問題一般涉及線段、三角形、四邊形等圖形，主要研究與面積相關(guān)的最值問題，一般將面積用變量表示出來后求導(dǎo)數(shù)，求極值，從而求最值．跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在二次函數(shù)f（x）＝4x－x2的圖象與x軸所圍成圖形中有一個內(nèi)接矩形ABCD，求這個矩形面積的最大值．命題角度2立體幾何中的最值問題例2請你設(shè)計一個包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起,使得ABCD四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝xcm。(1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x應(yīng)取何值？(2)若廣告商要求包裝盒容積V最大，則x應(yīng)取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．反思與感悟(1)立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積、體積，并在此基礎(chǔ)上解決與實(shí)際相關(guān)的問題．(2）解決此類問題必須熟悉簡單幾何體的表面積與體積公式，如果已知圖形是由簡單幾何體組合而成，則要分析其組合關(guān)系，將圖形進(jìn)行拆分或組合,以便簡化求值過程．跟蹤訓(xùn)練2周長為20cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則圓柱體積的最大值為________cm3.類型二實(shí)際生活中的最值問題命題角度1利潤最大問題例3已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x）萬元，且R（x）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（10.8－\f(1，30）x2,0〈x≤10,,\f（108,x)－\f（1000，3x2)，x〉10。）)（1)求年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件)的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時,該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，并求出最大值．反思與感悟解決此類有關(guān)利潤的實(shí)際應(yīng)用題,應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系,常見的基本等量關(guān)系有:（1）利潤＝收入－成本；(2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù)．跟蹤訓(xùn)練3某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y（單位：千克）與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3）＋10(x－6)2,其中3〈x<6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．（1)求a的值；（2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．命題角度2費(fèi)用(用料）最省問題例4為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元）與隔熱層厚度x(單位：cm）滿足關(guān)系：C(x)＝eq\f(k，3x＋5）（0≤x≤10)，若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元．設(shè)f（x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．（1)求k的值及f（x）的表達(dá)式;(2)隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．反思與感悟(1)用料最省、成本最低問題是日常生活中常見的問題之一，解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對象．正確書寫函數(shù)表達(dá)式，準(zhǔn)確求導(dǎo)，結(jié)合實(shí)際作答．（2)利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題，當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個點(diǎn)使f′（x)＝0時，如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道在這個點(diǎn)取得最大（小)值．跟蹤訓(xùn)練4某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該塊空地上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房．經(jīng)測算，如果將樓房建x(x≥10）層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為(560＋48x)元．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建多少層？（注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝eq\f(購地總費(fèi)用,建筑總面積））

1．在某城市的發(fā)展過程中,交通狀況逐漸受到更多的關(guān)注，據(jù)有關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，從上午6時到9時,車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘）與車輛進(jìn)入該路段的時刻t之間的關(guān)系可近似地用函數(shù)表示為y＝－eq\f（1，8）t3－eq\f(3，4）t2＋36t－eq\f(629，4），則在這段時間內(nèi)，通過該路段用時最多的時刻是________時．2．用長為24m的鋼筋做成一個長方體框架，若這個長方體框架的底面為正方形，則這個長方體體積的最大值為________m3。3．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f（x3，900)＋400x，0≤x≤390，，90090,x>390，))則當(dāng)總利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是________．4．要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器,已知底面造價是每平方米20元,側(cè)面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是________元．5．某商品每件成本9元，售價30元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低額x（單位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品單價降低2元時，每星期多賣出24件．(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；（2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？1．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟（1）分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系,列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x）；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)＝0;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x）＝0的點(diǎn)的數(shù)值的大小，最大(小)者為最大（?。┲担?．正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用問題的主要思路．另外需要特別注意:（1)合理選擇變量，正確寫出函數(shù)解析式，給出函數(shù)定義域;（2）與實(shí)際問題相聯(lián)系;（3)必要時注意分類討論思想的應(yīng)用．提醒：完成作業(yè)第3章§3.4

答案精析知識梳理知識點(diǎn)1．優(yōu)化問題3．?dāng)?shù)學(xué)建模題型探究例1解(1）BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ,θ∈（0，π）．則S＝eq\f（1,2)MB·AB＝eq\f(1，2)×100sinθ×(100＋100cosθ）＝5000（sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．(2）S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000（2cosθ－1）(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝eq\f(1，2）或cosθ＝－1(舍去），此時θ＝eq\f（π,3).當(dāng)θ變化時，S′，S的變化情況如下表：θ（0,eq\f（π,3))eq\f（π，3)（eq\f（π,3)，π)S′＋0－S↗極大值↘所以，當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時,S取得最大值為Smax＝3750eq\r（3)m2,此時AB＝150m，即點(diǎn)A到北京路一邊l的距離為150m。跟蹤訓(xùn)練1解設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x,0)，且0<x〈2，∵f（x）＝4x－x2圖象的對稱軸為x＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4－x,0），∴BC＝4－2x，BA＝f(x）＝4x－x2?！嗑匦蚊娣e為y＝（4－2x)(4x－x2)＝16x－12x2＋2x3，y′＝16－24x＋6x2＝2（3x2－12x＋8)，令y′＝0，解得x＝2±eq\f(2,3)eq\r（3),∵0〈x〈2，∴x＝2－eq\f(2，3)eq\r(3）.∵當(dāng)0<x〈2－eq\f（2，3）eq\r（3)時，y′>0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)2－eq\f（2,3)eq\r（3）<x〈2時，y′〈0，函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝2－eq\f（2，3）eq\r(3)時，矩形的面積有最大值eq\f(32,9)eq\r(3）.例2解(1）由題意知,包裝盒的底面邊長為eq\r（2)xcm，高為eq\r(2)(30－x）cm，所以包裝盒側(cè)面積為S＝4eq\r(2）x×eq\r（2)（30－x)＝8x(30－x)≤8×(eq\f(x＋30－x，2))2＝8×225,當(dāng)且僅當(dāng)x＝30－x,即x＝15時，等號成立，所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大,則x＝15.(2)包裝盒容積V＝2x2·eq\r(2）(30－x）＝－2eq\r(2）x3＋60eq\r（2)x2（0<x〈30)，所以V′＝－6eq\r(2）x2＋120eq\r(2）x＝－6eq\r（2)x（x－20)．令V′〉0,得0〈x〈20；令V′〈0，得20<x〈30.所以當(dāng)x＝20時，包裝盒容積V取得最大值，此時包裝盒的底面邊長為20eq\r(2)cm，高為10eq\r（2）cm，包裝盒的高與底面邊長的比值為1∶2.跟蹤訓(xùn)練2eq\f（4000，27）π例3解（1)當(dāng)0<x≤10時，W＝xR(x)－（10＋2.7x)＝8。1x－eq\f（x3,30)－10，當(dāng)x〉10時，W＝xR（x）－（10＋2。7x）＝98－eq\f(1000，3x）－2。7x，所以W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8.1x－\f（x3,30)－10，0〈x≤10，，98－\f(1000,3x）－2.7x,x>10.）)（2)①當(dāng)0<x≤10時，由W′＝8。1－eq\f（x2,10)＝0，得x＝9.當(dāng)x∈(0，9）時，W′〉0；當(dāng)x∈(9，10］時,W′〈0。所以當(dāng)x＝9時，W取得最大值,即Wmax＝8。1×9－eq\f(1，30)×93－10＝38.6。②當(dāng)x〉10時,W＝98－(eq\f(1000，3x)＋2。7x）≤98－2eq\r(\f（1000,3x）×2.7x）＝38，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1000，3x)＝2。7x，即x＝eq\f（100,9）時，W取得最大值38.綜合①②知，當(dāng)x＝9(千件)時，W取得最大值為38.6萬元．答當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大，最大利潤為38。6萬元．跟蹤訓(xùn)練3解(1)因為當(dāng)x＝5時，y＝11,所以eq\f(a，2)＋10＝11，所以a＝2。（2)由(1)可知,該商品每日的銷售量y＝eq\f(2，x－3）＋10（x－6）2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x）＝(x－3）［eq\f(2,x－3）＋10(x－6)2］＝2＋10（x－3）(x－6)2，3〈x〈6。從而f′(x)＝10[（x－6）2＋2（x－3）（x－6）］＝30（x－4)（x－6)．于是，當(dāng)x變化時，f′(x），f（x)的變化情況如下表：x(3，4）4（4，6）f′（x)＋0－f(x)↗極大值42↘由上表可得，x＝4是函數(shù)f（x)在區(qū)間(3，6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn)．所以當(dāng)x＝4時，函數(shù)f(x）取得最大值，且最大值為42。答當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．例4解（1）由題設(shè)知，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f（k，3x＋5），再由C(0)＝8,得k＝40,因此C（x)＝eq\f（40,3x＋5），而建造費(fèi)用為C1(x)＝6x。最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1（x）＝20×eq\f(40，3x＋5）＋6x＝eq\f(800,3x＋5）＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52）.令f′（x）＝0,即eq\f（2400,3x＋52)＝6，解得x＝5（x＝－eq\f(25,3）舍去),當(dāng)0<x〈5時,f′（x）〈0；當(dāng)5<x〈10時，f′(x）〉0,故x＝5為f(x）的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800，15＋5)＝70.答當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬元．跟蹤訓(xùn)練4解設(shè)該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x）元，則f（x)＝560＋48x＋eq\f(2160×10000，2000x)