演示文稿極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限公式

演示文稿極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限公式目前一頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限公式目前二頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)5/24/20233例1解目前三頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)1.夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則I證:由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故5/24/20234目前四頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)我們可將準(zhǔn)則I推廣到函數(shù)的情形：準(zhǔn)則I′且注意:準(zhǔn)則I和準(zhǔn)則I′統(tǒng)稱為夾逼準(zhǔn)則..,的極限是容易求的與并且與關(guān)鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限5/24/20235目前五頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)5/24/2023例2目前六頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)例2解：由夾逼準(zhǔn)則得5/24/20237目前七頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)解:

利用夾逼準(zhǔn)則.且由？1211lim222=???è?++++++￥?pppnnnnnnL5/24/20238目前八頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)夾逼準(zhǔn)則不僅說明了極限存在，而且給出了求極限的方法．下面利用它圓扇形AOB的面積證:

當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注證明一個(gè)重要的極限公式：

目前九頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)5/24/2023目前十頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)例3求解:例4

求（課本例）解:

令則因此原式注:利用變量代換，可得更一般的形式5/24/202311目前十一頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)例5求（補(bǔ)充題）解:例6

求（課本）解:5/24/202312目前十二頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)2.單調(diào)有界準(zhǔn)則數(shù)列單調(diào)增加單調(diào)減少準(zhǔn)則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)上升有上界數(shù)列必有極限單調(diào)下降有下界數(shù)列必有極限說明:(1)在收斂數(shù)列的性質(zhì)中曾證明：收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一定收斂．(2)利用準(zhǔn)則II來判定數(shù)列收斂必須同時(shí)滿足數(shù)列單調(diào)和有界這兩個(gè)條件．5/24/202313目前十三頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)(3)準(zhǔn)則II只能判定數(shù)列極限的存在性，而未給出求極限的方法．例如，數(shù)列，雖然有界但不單調(diào)；，雖然是單調(diào)的，但其無界，易知，這兩數(shù)列均發(fā)散．?dāng)?shù)列(4)

對(duì)于準(zhǔn)則II，函數(shù)極限根據(jù)自變量的不同變化過程也有類似的準(zhǔn)則，只是準(zhǔn)則形式上略有不同.例如，準(zhǔn)則II′

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)左鄰域內(nèi)單調(diào)在的左極限必存在．并且有界，則5/24/202314目前十四頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)作為準(zhǔn)則II的應(yīng)用，我們討論一個(gè)重要極限：首先，證是單調(diào)的．5/24/202315證目前十五頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)5/24/2023類似地,目前十六頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)5/24/2023其次，證有界．目前十七頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)通常用字母來表示這個(gè)極限，即也可以證明，當(dāng)取實(shí)數(shù)而趨于或時(shí)，函數(shù)的極限都存在且都等于，即利用變量代換，可得更一般的形式5/24/202318目前十八頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)5/24/202319

三.兩個(gè)重要極限目前十九頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)5/24/2023例1

求下列極限目前二十頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)5/24/202321例1

求下列極限目前二十一頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)5/24/202322目前二十二頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)5/24/202323目前二十三頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)證證畢目前二十四頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)例2求例3例4例5例6目前二十五頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)例1解:例2求解:5/24/202326目前二十六頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)例4解例3解令,則當(dāng)時(shí),,因此目前二十七頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)例5例6目前二十八頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)5/24/2023

課堂練習(xí)題一、求下列極限：1、4、2、5、3、二、已知目前二十九頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.

極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則.2.

兩個(gè)重要極限或注:

代表相同的表達(dá)式5/24/202330目前三十頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)思考與練習(xí)1.填空題

(1～4)5/24/202331目前三十一頁\總數(shù)三十三頁\編于二點(diǎn)解：原式=2.求5/24/2023