光波場的描述

光波場的描述第一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五A—振幅，T—時(shí)間周期，

—時(shí)間頻率，

—時(shí)間圓（角）頻率，且

—簡諧振動(dòng)在t時(shí)刻的相位，它描寫振動(dòng)的狀態(tài)0—初相位，即t=0

時(shí)刻的相位波的基本概念波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過程，被傳播的是一個(gè)分布在某一空間范圍的物理量，而這個(gè)量又是隨時(shí)間變化的。所以一個(gè)波動(dòng)過程也稱為一個(gè)波場，波場中各點(diǎn)的振動(dòng)之間存在著相互關(guān)聯(lián)性。波動(dòng)的特點(diǎn)是它具有時(shí)空周期性。第二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五波函數(shù)：描述波動(dòng)過程中被傳播的物理量隨空間位置和時(shí)間t而變化的函數(shù)關(guān)系式。1.1一維平面簡諧波簡諧波—

簡諧振動(dòng)的傳播。平面簡諧波—

波面是平面的簡諧波

。（1）平面簡諧波的波函數(shù)設(shè)一維平面簡諧波以速度V沿z軸正方向傳播，則其波函數(shù)：第三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

—波長，相隔為波長的整數(shù)倍的兩點(diǎn)具有相同的振動(dòng)狀態(tài)。1/稱為空間頻率，它表示傳播方向上單位長度內(nèi)的波長數(shù)。k=2/—空間圓頻率或波數(shù)，它表示沿傳播方向2長度內(nèi)的波長數(shù)。(z,t)=t–kz+0—波的相位，它是余弦函數(shù)的整個(gè)自變量。相位決定振動(dòng)狀態(tài)，相位恒定則振動(dòng)狀態(tài)也一定，在波動(dòng)過程中，振動(dòng)狀態(tài)的傳播就是恒定相位狀態(tài)的傳播。（2）平面簡諧波的相速如果跟蹤某一振動(dòng)狀態(tài)，則它在不同時(shí)刻t出現(xiàn)于不同地點(diǎn)z時(shí)應(yīng)滿足：(z,t)=t–kz+0

=常量第四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五兩邊取全微分某一振動(dòng)狀態(tài)或恒定相位狀態(tài)沿z軸傳播的速度稱為相速在平面簡諧波中，相速也就是波函數(shù)表達(dá)式中的波的傳播速度，通常稱為波速。波動(dòng)的時(shí)間周期性和空間周期性通過相速Vp相聯(lián)系。色散：在介質(zhì)中，相速隨波長(頻率)變化的現(xiàn)象。下表列出了描述時(shí)間周期性物理量和空間周期性物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。第五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五時(shí)間性物理量空間性物理量符號(hào)名稱備注符號(hào)名稱備注T周期時(shí)間周期波長空間周期v頻率v=1/Tf空間頻率f=1/

圓頻率

=2vk波數(shù)k=2f（3）平面簡諧波的復(fù)指數(shù)函數(shù)形式為了運(yùn)算方便，可把平面簡諧波的波函數(shù)寫成復(fù)指數(shù)函數(shù)形式

第六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五可見，復(fù)指數(shù)函數(shù)形式的波函數(shù)的實(shí)部就是波函數(shù)，為簡單起見，在書寫時(shí)可省略表示實(shí)數(shù)部分的符號(hào)Re，而將波函數(shù)寫成：

它表示沿z軸正方向傳播的平面簡諧波采用復(fù)指數(shù)函數(shù)的波函數(shù)中，時(shí)間相位因子和空間相位因子完全分開，在討論簡諧波場中各點(diǎn)的空間分布時(shí)，時(shí)間因子總是相同的，?？陕匀ゲ粚?，剩下不含時(shí)間的空間分布相因子叫做復(fù)振幅復(fù)振幅第七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五復(fù)振幅描述了波場的振幅和它的相對(duì)空間相位分布，也稱為波場分布。其共軛復(fù)數(shù)為：

復(fù)振幅的共軛復(fù)數(shù)光波強(qiáng)度可用下式求得復(fù)指數(shù)函數(shù)是周期性函數(shù)，其周期是2i，即m為整數(shù)常用關(guān)系式：歐拉公式：第八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五1.2三維平面簡諧波設(shè)一列波長為的平面簡諧波沿矢量的方向傳播，稱為波矢量，其大小等于波沿方向的空間圓頻率(波數(shù))。設(shè)相鄰兩波面的距離為波長，某波面上有一點(diǎn)P0，其矢徑為，且與同方向，則其波函數(shù)為

該波的波面是垂直于波矢的平面，如圖所示。式中r0為O至P0的距離第九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五現(xiàn)考察在某一時(shí)刻，同一波面上任一點(diǎn)P(x,y,z)的振動(dòng)，因P與P0處于同一波面，故P與P0點(diǎn)振動(dòng)相同，則P點(diǎn)的波函數(shù)取為：設(shè)O至P的矢徑為，則有代入上式得：波函數(shù)在P點(diǎn)的值若用復(fù)指數(shù)函數(shù)形式表示，則其復(fù)振幅為第十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五復(fù)振幅若傳播方向的方向余弦為(cos，cos，cos)，則的三個(gè)分量為：第十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五從上式可知，平面簡諧波具有兩個(gè)特點(diǎn)：①振幅A是常量，它與場點(diǎn)P的坐標(biāo)無關(guān)。②相位的空間分布是直角坐標(biāo)的線性函數(shù)。上式中的fx、fy、fz分別稱為x、y、z方向的空間頻率空間周期第十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五空間周期和空間頻率的物理意義例：沿平面上方向傳播的平面簡諧波的波長為，就是沿方向的空間周期，即相位相差2的波面的間隔。顯然，波面隨空間的分布與考察的方向有關(guān)。在x軸方向，相距的波面在x軸上的截距為，同樣，這兩個(gè)波面在y軸上的截距為，x和y

分別表示在x方向和y方向具有相同振動(dòng)相位的兩相鄰點(diǎn)之間的距離，它就是沿x軸和y軸方向的空間周期，而它們的倒數(shù)就是相應(yīng)的空間頻率。它們分別表示沿x軸和y軸方向每增加單位長度，簡諧波場增加的周期數(shù)。xy第十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五在此特例中，波面與z軸平行，則綜上所述，我們可以得到，一列沿任意方向傳播的平面簡諧波的復(fù)振幅為：此式表明，一組空間頻率(fx，fy，fz)對(duì)應(yīng)于一定方向傳播的單色平面波。不同的空間頻率分量組，對(duì)應(yīng)于不同方向傳播的單色平面波。xy第十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五

空間周期空間頻率空間圓頻率方向x方向y方向z方向且空間頻率矢量也叫空間圓頻率矢量此波在直角坐標(biāo)系中三個(gè)坐標(biāo)軸方向的空間周期，空間頻率，空間圓頻率列表如下第十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五例2.1一列平面波的傳播方向平行于xz平面，與z軸成傾角，寫出它在z=0面上的復(fù)振幅分布。解：θOxz設(shè)0=0，則在波前z=0面上第十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五1.3球面波傍軸近似和遠(yuǎn)場近似所有光源或發(fā)光物體都可以看成是由許多點(diǎn)光源組成的，每個(gè)點(diǎn)光源向周圍空間輻射發(fā)散球面波，其波函數(shù)為：振源到場點(diǎn)P的距離到振源為單位距離的場點(diǎn)的振幅A(P)=a/r是P點(diǎn)的振幅在光學(xué)中，波場中的任一曲面或平面稱為波前，而實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用中大多數(shù)是在平面上觀察波的分布，所以現(xiàn)在討論球面波在x–y平面上的表示方法。第十七頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五球面波的點(diǎn)源P0到P的距離場點(diǎn)xy平面到P0的距離設(shè)0=0，則在xy平面上波的復(fù)振幅為當(dāng)xy平面遠(yuǎn)離P0點(diǎn)時(shí)，常考慮兩種近似條件(1)傍軸近似，滿足條件：x2+y2<<z2式中rz(x,y)第十八頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五在傍軸條件下，發(fā)散球面波在xy平面上的復(fù)振幅(費(fèi)涅耳近似)若是向P點(diǎn)會(huì)聚的球面波，則P點(diǎn)的光場表示為發(fā)散球面波會(huì)聚球面波(費(fèi)涅耳近似)(2)遠(yuǎn)場近似，滿足條件：

或

rzrz第十九頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五在遠(yuǎn)場近似下，球面波在xy平面上的復(fù)振幅表示發(fā)散球面波會(huì)聚球面波這兩式表示平面波，可見只有同時(shí)滿足傍軸條件和遠(yuǎn)場條件，球面波的波前才完全過度到平面波的波前，在此情況下，球面波在xy平面上可近似看成平面波。單色光的概念：只含單一頻率(波長)的光稱為單色光。第二十頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五在光學(xué)中，嚴(yán)格的單色光就是理想的平面簡諧波；任何在空間或時(shí)間上有限的光波都不是嚴(yán)格的單色光。②在時(shí)間上也是無限延伸的，即在其波函數(shù)中，對(duì)于任一固定的坐標(biāo)z，?∞<t<+∞。所以，理想的平面簡諧波是一種無頭無尾，無始無終，在空間和時(shí)間上都無限變化的單一頻率的波。是在空間各點(diǎn)的振動(dòng)頻率都相同，而且振幅不隨時(shí)間變化的正弦或余弦波。理想平面簡諧波特點(diǎn)是：①在空間上是無限延伸的，即在其波函數(shù)中，對(duì)于任一固定的時(shí)刻t，?∞<z<+∞。第二十一頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五另一方面，任何一個(gè)非簡諧波都可以看成是由許多不同頻率，不同振幅的簡諧波的疊加結(jié)果，這是因?yàn)樵谝话闱闆r下光波遵從波的疊加原理。我們可以利用數(shù)學(xué)上的傅利葉分析方法有效地進(jìn)行疊加和分解。實(shí)際的光源發(fā)出的都不是嚴(yán)格的單色光波，而是包含各種波長成份。若光波中只包含波長范圍很窄的成份，則這種光稱為準(zhǔn)單色光。通常所說的單色光就是指準(zhǔn)單色光。在很多情況下，準(zhǔn)單色光可以近似地用平面簡諧波來描寫。第二十二頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五§2波動(dòng)方程和疊加原理波函數(shù)所遵循的二階線性偏微分方程稱為波動(dòng)方程。波函數(shù)就是波動(dòng)偏微分方程在一定邊界條件下的解。一維波動(dòng)方程三維波動(dòng)方程拉普拉斯算符波動(dòng)方程簡寫V是波的傳播速率從數(shù)理方法中可以知道，用分離變量法可得一維波動(dòng)方程在一維無界空間的解。第二十三頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五例2.2證明上式是一維波動(dòng)方程的解證明：比較(2)、(4)兩式得（證畢）第二十四頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五波動(dòng)方程中，因波函數(shù)(,t)和它的導(dǎo)數(shù)只出現(xiàn)一次冪，所以是線性偏微分方程。凡是線性微分方程描述的系統(tǒng)都稱為線性系統(tǒng)。線性齊次微分方程的一個(gè)重要特性是它的解滿足疊加原理。如果函數(shù)1(,t),2(,t),3(,t)···,m(,t)中，每一個(gè)都是波動(dòng)方程的解，那么這些解的線性組合也將是方程的解。第二十五頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五即∴1+2

也是波動(dòng)方程的一個(gè)解。證明：根據(jù)題意有兩式相加有例2.3若1(,t)和2(,t)是一維波動(dòng)方程的兩個(gè)解，試證明1(,t)+2(,t)也是方程的一個(gè)解。第二十六頁，共二十七頁，編輯于2023年，星期五波的疊加就是空間每點(diǎn)振動(dòng)的合成標(biāo)量波矢量波