傳質(zhì)微分方程及擴(kuò)散傳質(zhì)

傳質(zhì)微分方程及擴(kuò)散傳質(zhì)第一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五2§3.1傳質(zhì)微分方程§3.1.1傳質(zhì)微分方程推導(dǎo)：A通過(guò)微分體積表面x處表面的量，在處故在方向上A的凈流出速度：

A在微分單元內(nèi)的累積速度：

設(shè)為單位體積單位時(shí)間內(nèi)由于化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生的A量，則A產(chǎn)生速度為：。第二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五質(zhì)量守恒原理[體系內(nèi)的積累]=[通過(guò)體系邊界的凈流入量]

+[體系內(nèi)的凈生成量]根據(jù)物理化學(xué)基本原理推導(dǎo)出來(lái)的所有模型，都是以上式表示的原理為基礎(chǔ)。上式對(duì)質(zhì)量、動(dòng)量、能量都適用。3第三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五4根據(jù)質(zhì)量守恒原理，有：兩邊同時(shí)除以，則有：

即同樣可推導(dǎo)在三維方向上：簡(jiǎn)寫成稱為傳質(zhì)微分方程。同理，對(duì)于以摩爾通量表示的形式為：第四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§3.1.2菲克第二定律

擴(kuò)散介質(zhì)中小體積單元如圖所示截面1進(jìn)入體積單元的擴(kuò)散流截面2流出的擴(kuò)散流第五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五6假設(shè)：擴(kuò)散過(guò)程無(wú)化學(xué)反應(yīng)，那么擴(kuò)散進(jìn)入體積單元的量減去流出體積單元的量等于體積單元內(nèi)物質(zhì)的積累量。以代表體積單元的截面積，則（3–1）因?yàn)閿U(kuò)散流隨變化，故

（3–2）將（3–2）代入（3–1），得（3–3）根據(jù)菲克第一定律代入（3–3）得（3–4）第六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五7

當(dāng)D為常數(shù)，即不隨擴(kuò)散距離、濃度變化時(shí)，有（3–5）即為菲克第二定律。（3–5）可簡(jiǎn)寫為當(dāng)組分向三維空間擴(kuò)散時(shí)，則有（直角坐標(biāo)系）（圓柱坐標(biāo)系）（球坐標(biāo)體系）求解三維擴(kuò)散方程非常復(fù)雜，所以一般在制定實(shí)驗(yàn)方案時(shí)，近似地安排成一維擴(kuò)散，在特定邊界條件下解（3–5）式一元二階微分方程。第七頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五8

菲克第二定律成立的條件

①無(wú)擴(kuò)散引起的對(duì)流傳質(zhì)；②擴(kuò)散體系內(nèi)無(wú)化學(xué)反應(yīng)；③為常數(shù)。適用于固體或靜止流體中的擴(kuò)散。穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散

當(dāng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，故，即第八頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五9菲克第二定律的應(yīng)用菲克第二定律：已知條件：1）初始條件（時(shí)間上的已知值）：

t=0時(shí)，

t=0時(shí)，

t=∞時(shí)，

2）邊界條件（某空間上的已知值）：①規(guī)定某界面的濃度；②規(guī)定某界面的化學(xué)反應(yīng)速度；③將對(duì)流傳質(zhì)作為邊界條件。第九頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五10例1

在1273K時(shí)，用混合氣體對(duì)低碳鋼（）進(jìn)行滲碳，設(shè)鋼板內(nèi)部擴(kuò)散為過(guò)程的控制步驟。鋼板表面碳平衡濃度。求滲碳6小時(shí)后鋼鐵表面下處的碳濃度。

已知：。解：這是固體內(nèi)部的擴(kuò)散過(guò)程，故適用菲克第二定律，取擴(kuò)散方向?yàn)檩S。

起始條件：擴(kuò)散開(kāi)始前，體系內(nèi)濃度完全均勻，而為C0(初始濃度)。邊界條件：①擴(kuò)散開(kāi)始后，界面的濃度立即為Cs，并且在擴(kuò)散過(guò)程中保持不變，即②當(dāng)，，。將上述已知條件代入，解方程得：第十頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五11例1

在1273K時(shí)，用混合氣體對(duì)低碳鋼（）進(jìn)行滲碳，設(shè)鋼板內(nèi)部擴(kuò)散為過(guò)程的控制步驟。鋼板表面碳平衡濃度。求滲碳6小時(shí)后鋼鐵表面下處的碳濃度。

已知：。解：這是固體內(nèi)部的擴(kuò)散過(guò)程，故適用菲克第二定律，取擴(kuò)散方向?yàn)檩S。

起始條件：擴(kuò)散開(kāi)始前，體系內(nèi)濃度完全均勻，而為C0(初始濃度)。邊界條件：①擴(kuò)散開(kāi)始后，界面的濃度立即為Cs，并且在擴(kuò)散過(guò)程中保持不變，即②當(dāng)，，。將上述已知條件代入，解方程得：第十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五12

erf(x)稱為高斯誤差函數(shù)，1-erf(x)稱為補(bǔ)余誤差函數(shù)。誤差函數(shù)的性質(zhì)：

erf(-x)=-erf(x)erf(0)=0erf(1)=11-erf(x)=erfc(x)erfc()=0,erfc(0)=1erfc(x)為補(bǔ)余誤差函數(shù)。用作縱軸，為橫軸作圖

第十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五13

由，得知欲求時(shí)間t的擴(kuò)散濃度，須先求出的值，再由圖得值。查圖得，。滲碳6小時(shí)，鋼鐵表面處的碳濃度

可以由這樣的方法求固體中的擴(kuò)散系數(shù)。

第十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五14§3.2伴有非均相反應(yīng)的擴(kuò)散整個(gè)過(guò)程包括擴(kuò)散：反應(yīng)物向界面擴(kuò)散化學(xué)反應(yīng)：在界面上發(fā)生化學(xué)反應(yīng)，此時(shí)擴(kuò)散仍遵守菲克第二定律?；瘜W(xué)反應(yīng)提供重要邊界條件。例2

設(shè)有一球狀的碳粒與氧反應(yīng)生成一氧化碳試計(jì)算碳的燃燒速度。假定氣膜層中的氧和一氧化碳不發(fā)生反應(yīng)。第十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五15解：計(jì)算碳的燃燒速度，計(jì)算氧氣消耗速度即可。取球形坐標(biāo)，在擴(kuò)散過(guò)程中沒(méi)有化學(xué)反應(yīng)發(fā)生，在穩(wěn)態(tài)條件下,則傳質(zhì)微分方程（取球坐標(biāo)）：簡(jiǎn)化成：

（3-89）

或（3-90）

邊界條件：，，R為碳粒半徑；，，xO2為空氣中的氧分壓。有上述兩個(gè)邊界條件，可以求出。第十五頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五16

而我們要求的是,因?yàn)楦鶕?jù)菲克第一定律

對(duì)于碳和氧化學(xué)反應(yīng)生成一氧化碳，有

（每擴(kuò)散進(jìn)來(lái)1摩爾氧氣，就有2摩爾一氧化碳在相反方向上擴(kuò)散出去）（3-95）

（3-98）在整個(gè)擴(kuò)散進(jìn)程中WO2保持為常數(shù)（這一點(diǎn)從3-89式可以得出，或者，因?yàn)槭谴?lián)過(guò)程，擴(kuò)散過(guò)程中通過(guò)不同球面的氧氣質(zhì)量是相等的）即：對(duì)（3-98）整理得：第十六頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五17兩邊分別求積分：為積分常數(shù)。當(dāng)時(shí)，，故;

當(dāng)時(shí),，故(3–99)

若知道氧的量即可換算成碳的燃燒速度。1）假定化學(xué)反應(yīng)速度比擴(kuò)散快得多，則,2）假定化學(xué)反應(yīng)速度和擴(kuò)散速度相差不大，則非均相反應(yīng)中化學(xué)反應(yīng)速度能提供一個(gè)重要的邊界條件：即時(shí),

假設(shè)為一級(jí)基元反應(yīng)，第十七頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五18將代入(3–99)，得當(dāng)大時(shí)，上式中對(duì)數(shù)可按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，方程簡(jiǎn)化為：

(3–104)關(guān)于泰勒級(jí)數(shù):上式叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的泰勒級(jí)數(shù)。該式叫做函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的泰勒展開(kāi)式。第十八頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五19§3.3伴有均相化學(xué)反應(yīng)的擴(kuò)散傳質(zhì)微分方程

第十九頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五20兩種類型化學(xué)反應(yīng);1傳質(zhì)相中均相反應(yīng)2傳質(zhì)相中的非均相反應(yīng)。反應(yīng)速度作為邊界條件（因?yàn)榭刂企w積內(nèi)無(wú)化學(xué)反應(yīng)發(fā)生）本節(jié)只討論第一種情況。例3

過(guò)程：氣體A被液體B吸收，同時(shí)在液體中發(fā)生一級(jí)基元反應(yīng)而被消耗。試求液面上氣體A的的摩爾通量。分析：液面，，第二十頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五21假設(shè)B無(wú)限大，擴(kuò)散達(dá)到穩(wěn)態(tài)，A在液體中流動(dòng)性很小，液體中流動(dòng)很小，則有：由傳質(zhì)微分方程又故有：第二十一頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五22邊界條件：，，解出：雙曲正弦函數(shù)：雙曲余弦函數(shù)：故，液面上的摩爾通量（現(xiàn)對(duì)于靜止坐標(biāo)）

雙曲正切函數(shù)第二十二頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五23表示了化學(xué)反應(yīng)的影響，它是一個(gè)無(wú)因次量，稱為哈特?cái)?shù)（Hattanumber）。當(dāng)很大時(shí)，,方程簡(jiǎn)化為：

(3–115)

上述傳質(zhì)又稱為液膜傳質(zhì)，與傳質(zhì)方程式比較：

液膜傳質(zhì)系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)的1/2次方成正比。第二十三頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五24例：熔融金屬在一窄管中的揮發(fā)，金屬蒸汽在熔體上方和氣相中的組分發(fā)生反應(yīng)。如工業(yè)實(shí)踐中粗硒的提純。a控制A的揮發(fā)速度很小XA→0；

b用惰性氣體稀釋XB→0c窄管中平行流(非渦流)NAy+NBy→0

列方程：傳質(zhì)微分方程：A：

(1)(穩(wěn)態(tài))例4

窄管中金屬A揮發(fā)并與氣相中B反應(yīng)——發(fā)生在管內(nèi)

B：(2)

第二十四頁(yè)，共二十八頁(yè)，編輯于2023年，星期五25化學(xué)反應(yīng)速度：設(shè)為不可逆二級(jí)反應(yīng)(3)

菲克第一定律：(5)假