第章松弛算法

Chapter8:拉格朗日松弛算法8.1基于規(guī)劃論的松弛方法8.2拉格朗日松弛理論8.3拉格朗日松弛的進(jìn)一步討論8.4拉格朗日松弛算法8.5應(yīng)用案例:能力約束單機(jī)排序問題主要內(nèi)容:目標(biāo)值最優(yōu)值基于數(shù)學(xué)規(guī)劃:分支定界法、割平面法、線性規(guī)劃松弛再對目標(biāo)函數(shù)可行化等的目標(biāo)值?，F(xiàn)代優(yōu)化算法：禁忌搜索法、模擬退火法、遺傳算法、蟻群算法等的目標(biāo)值。其它算法：分解法、組合算法等的目標(biāo)值。下界算法：線性規(guī)劃松弛、拉格朗日松弛等的目標(biāo)值。例子1:線性規(guī)劃松弛:在7.1.1中,將整數(shù)約束松弛為實數(shù),稱其為7.1.1的線性規(guī)劃松弛:注:定理7.1.1:此類算法適合于整數(shù)規(guī)劃問題中,決策變量為較大整數(shù)的情形.此類算法分兩階段:第一階段為求松弛后線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解;第二階段為將解整數(shù)化,并考慮可行性.例2:對偶規(guī)劃松弛方法:7.1.2的對偶形式為:其中Y為決策變量.注:由對偶理論知,7.1.2和7.1.3有相同的最優(yōu)值,至于采用其中的哪個模型求解7.1.1的下界,需比較哪個計算簡單.例3.代理松弛法:當(dāng)(7.1.1)中的約束太多時,代理松弛一個約束代替(7.1.1)中的K個約束極端情況可以用一個代替全部注:代理松弛法保證目標(biāo)函數(shù),整數(shù)規(guī)劃約束不變,顯然,由代理松弛法求得的解不一定可行例4.拉格朗日松弛方法基本原理:將目標(biāo)函數(shù)中造成問題難的約束吸收到目標(biāo)函數(shù)中,并保持目標(biāo)函數(shù)的線性,使問題容易求解.Q:為什么對此類方法感興趣?A:(1).在一些組合優(yōu)化中,若在原問題中減少一些約束,則使得問題求解難度大大降低.(我們把這類約束稱為難約束).(2).實際的計算表明此種方法所得到的結(jié)果相當(dāng)不錯.7.1基于規(guī)劃論的松弛方法松弛的定義（7.1.1）:問題整數(shù)規(guī)劃模型:滿足下列性質(zhì)時,稱為7.1.1的一個松弛(relaxation).可行解區(qū)域兼容:目標(biāo)函數(shù)兼容:其中,為7.1.1的可行域.例7.1.1setcoveringproblem問題描述:設(shè),所有,且每一列對應(yīng)一個費(fèi)用,表示第j列覆蓋第i行,要求在最小的費(fèi)用下選擇一些列,使其覆蓋所有的行.松弛問題:松弛模型:以上問題很容易求得最優(yōu)解7.2拉格朗日松弛理論原整數(shù)規(guī)劃問題拉格朗日松弛定理7.2.1LR同下整數(shù)規(guī)劃問題(7.2.1)有相同的復(fù)雜性,且若IP可行解非空，則:證明:注:定理7.2.1說明拉格朗日松弛是IP問題的一個下界,但我們應(yīng)該求與IP最接近的下界,即:定義7.2.1若,滿足以下條件,則稱D為凸集.對于離散點集,其凸包定義為:顯然Con(Q)為凸集.定理7.2.2若拉格朗日對偶問題的目標(biāo)值有限,則證明:設(shè)Con(Q)的極點為,極方向為則:由LD問題有限,則有:上述問題等價于:整理得:其對偶問題為:即有:推論7.擺2.書1:對于所任給c,整數(shù)不規(guī)劃雜問題IP和拉賄格扇朗佩日對智偶問幣題LD的目戴標(biāo)值網(wǎng)相等財?shù)某浯乙獥l袖件為:證:顯然也有從而回有:再由氏定理7.饅2.啞2:若對罪任何c有,則問住題得粥證.例7.偵2.錦1假設(shè)硬整數(shù)黨規(guī)劃刪問題IP第一偷個約饒束為養(yǎng)復(fù)雜斯約束,其拉淺格朗弦日松類弛后漲的模擱型LR為:43211234l2l1l4l3EDCBA7.贏2.稅3圖解劫示意下降方向最優(yōu)解(7,2)(3,4)-29(7.5,1)(4,0)-32(8,0)(4,0)-32單位鐵化下矩降方拼向:最優(yōu)葛值只延能在(4文,0渾)和(3殼,4可)兩點畫得到,過這婦兩點努的直偵線方劣程:y肆+x帶4=脫16尋.其垂央直方擋向為:綜合饞有:例7.般2.尖2(繼7.憂2.插1)例7.喪2.瘦1中43211234DCB43211234DCBS1S2由推醬論7.興2.肌1可以米知道,由兩擠個因比素有粱關(guān):第一病個因絡(luò)素是更目標(biāo)末函數(shù)析中的C,推論7.善2.嘴1要求閉對所而有的C滿足S1按=S蘋2,但也沸可能欺存在葛某個C使得第二葵個因挨素是垃可行府解的寸區(qū)域.由上儲面的喬圖形扛可知,S批I和S2不同,所以鞠存在湖一個C,使得雙不為鞠零,如在翼例7.各2.庸1中,辰,在吸達(dá)振到拉席格朗閘日對頂偶問你題的映最優(yōu)鴿值,其最魚優(yōu)解密為(4會,0盲);自,其一庸個最計優(yōu)解螺也為(4斃,0戶).由此暴我們插可以蒸知道,即使塔拉格侵朗日撇松弛混在某獲個犬下暮達(dá)到帳的最縣優(yōu)解喂為原必問題束的可孩行解,我們王也不努能斷貌言.除非元此時.定理7.密2.司3若線水性規(guī)約劃松綠弛問犬題LP存在癥可行行解,則注:此定測理說失明,拉格莫朗日廚松弛音對偶暑后的米目標(biāo)喊值匠是IP問題陡的一姨個下郵界,且不逃比零差.定理7.侵2.喜3的充血要條槍件是砌存在泡和烈使扒得:證明：１雄、充嘉分性典：２、殃必要擊性：記飲為Ｉ躁Ｐ問島題的澆最優(yōu)消解，似為胡ＬＤ匹問題繡的最跌優(yōu)解館，則痛：例7.港2.棵3撤(繼例7.乘2.屆1)時,為問從題的胞一個煎可行擊解,此時:一般業(yè)情況今下,可大打致估攀計:7.雙3.拉格跡朗日都松弛幼的進(jìn)刊一步郊討論目的:對非欠標(biāo)準(zhǔn)叢的拉弱格朗紀(jì)日形拐式討積論.一、樓等號遣約束鬼的松俘弛二、LR最優(yōu)姑解和LP最優(yōu)爽解的裕關(guān)系具體當(dāng)例見就例7.您3.扁1。定理7.塑3.露1的充婦要條艷件為擴(kuò)：三、貢拉格裂朗日禾松弛揉的整吧數(shù)性定義7.箭3.焦1若LR的最輔優(yōu)解種與其旺整數(shù)喉約束酷無關(guān)筐，則廁稱該慚問題劍具有近整數(shù)羽性，罰即：定理7.便3.騾2若LR具有都整數(shù)著性，冊則四、加拉紗格朗雄日分費(fèi)解7.若4拉格購朗日倍松弛箱算法7.宣4.奮1次梯襯度算盯法（su油bg江ra讀di詳en無top當(dāng)ti救mi萌za蘿ti嘴on）定義相：（凹函虹數(shù)）放函望數(shù)江滿甘足以板下條咽件稱產(chǎn)為凹村函數(shù)定理7.城4.擇1若LR的可宵行解臭集合Q為有動限個務(wù)實數(shù)贊點集辛，則傍以下炕函數(shù)戲為凹召函數(shù)定理7.現(xiàn)4.羅1函數(shù)想為凹頸函數(shù)誦的充亂要條智件為掃：證明堵必要諸性：釋設(shè)灣為返凹函卵數(shù)，深則H為凸點集,為邊只界點,所以箱存在努過紅和手法方揉向緩的些支撐劣超平乒面撲滿梨足:充分賄性:ABC定義7.搬4.盜2若諸為僑凹函課數(shù),在脾向牽量滿歐足:則稱及為膝在夫的一族個次訪梯度,所有嫌的次怕梯度逗集合顆記為:定理7.李4.穗3若質(zhì)為鳥凹函孩數(shù),為膀的充只要條謊件為定理7.計4.倚4設(shè)LR的可媽行解倦集合Q由有鑄限個涂整數(shù)環(huán)點組也成,其極詳點為酒有:證明:注:若裝不是桌最大跑值點,則相鋒交的遇兩個梯同目薄標(biāo)值稻的平月面努滿足且,兩平袋面的條法方看向交主角不扶超過90度.當(dāng)牌不聚是光匠滑點尸是,在扶的鄰版域內(nèi),當(dāng)乖充辨分小壘時,存在,使得:由拉內(nèi)非所有已次梯病度夾毀角不表超過90度,有由上奇面的開討論鵲可得次梯迎度優(yōu)率化算霜法如下:ST護(hù)EP演1:任選雅初始薦拉格截朗日癥乘子ST靈EP芽2:對,從統(tǒng)中任隙選一技個次贏梯度,若摸則停,否則宅重挑復(fù)ST果EP竟2.注:1、位的選詳取:2、停慶止準(zhǔn)窗則：7.戴4.岡2拉格銀朗日詢啟發(fā)值式算裂法St邊ep撈1:拉格稻朗日囑次梯酬度法楊求IP下界St殺ep帥2:對所托求解技可行犬化例7.姐4.包1假設(shè)霜集合兼覆蓋急問題SC通過夸前面濫的松毯弛得療到一屆個解,當(dāng)其區(qū)不可價行時抱即存導(dǎo)在i使得一個料可行而化方鵲法是歷求k,滿足重復(fù)模以上伶步驟,直到藝所有繩行都磁被覆達(dá)蓋.集合拆覆蓋摧問題盼的拉旁格朗雀日松回弛算希法:St霞ep蒼1:初始產(chǎn)化St茶ep秀2:計算St湯ep黃3:若所嘩有行既被覆蠢蓋,s扒to桃p;便o彩r記罵表前示第i行沒單有被外覆蓋,在沒振有被傅覆蓋蓄的行山中任告選一谷行k,計算St寺ep砍4步:例7.綁4.塵2對集享合覆粉蓋問稀題假設(shè):最優(yōu)墻解為:第三萌行沒璃有被涉覆蓋,在可覺覆蓋遼第三厭行中喬選費(fèi)蜂用最堪小的彎列7.屆5案例致應(yīng)用楊能力費(fèi)約束援單機(jī)文排序業(yè)問題約束抱條件(1輩):產(chǎn)品穴需求朱兩約額束約束少條件(2喊):個時珠段產(chǎn)招能約陰束約束堤條件(3泥):準(zhǔn)備趨時間下算不法Ａ囑的基段本思虛想是輛將殼中較列大權(quán)達(dá)數(shù)所炸對應(yīng)小的產(chǎn)倆品盡鍵可能項早地粉生產(chǎn)色．St說ep礎(chǔ)1:當(dāng)古時,廈,依時衰段t能力雅約眠束(2頸),將豬盡穴可能咱往前勤安排娘直到輪全部親生瀉產(chǎn),可能詢出現(xiàn)暖以下語幾種鑰情況:拾(a目)若猾的全惰部需威求沒尼有全覺部生睬產(chǎn),且時努段t的能氏力足瞇以滿犬足牌的獎生產(chǎn)鐵準(zhǔn)備乒，則評以時姓段t的最假大余矩能力部生產(chǎn)詠，剩折余未腦能生監(jiān)產(chǎn)的傷分到油時濫段，拼返回st查ep旬1;立(朋b)若溫的全衡部需算求已參生產(chǎn)蕩，則狐當(dāng)叉時冷停止椒，否循則聽返都回st零ep婚1;妄(別c)若屑沒齒有全肆部產(chǎn)稅出，扁且無喘法在殺該時奪段生濾產(chǎn)，漠則,返回st病ep胡1;St零ep岔0:毀,從第舅一時霞段刮開始;St雨ep灘2:若拒則誰返回st埋ep唉2.算法染Ａ能力保約束士排序是問題胸的拉坊格朗于日松榆弛算抬法求解拆以上LR們P問題跨分以趟下兩隆步:(1煌)對給通定的,求下遠(yuǎn)子問晝題(S趴UB色P)(2雅)對所蘭有宴求定理7.年5.賞2對于隨充分窩大T,若核已知集且非洲負(fù),則SU螺BP一定脹有以碧下形霧式的本最優(yōu)透解注:由此