應(yīng)用微分方程與差分方程建立數(shù)學(xué)模型

第一部分

應(yīng)用微分方程建立數(shù)學(xué)模型第一節(jié)基礎(chǔ)知識一、基本概念：微分方程、階、解、通解、特解、積分曲線、初值問題二、方程的類型及其解法五類一階方程及其解法、簡單的可降階的高階方程、簡單的微分方程組三、微分方程穩(wěn)定性理論簡介

1、一階方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性（1）定義1：設(shè)有微分方程右端不顯含自變量，代數(shù)方程的實(shí)根稱為方程（1）的平衡點(diǎn)（或奇點(diǎn)），顯然它是方程（1）的解（或稱奇解）.定義2：如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（1）的解都滿足則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的（或漸近穩(wěn)定）；否則，稱平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的（或不漸近穩(wěn)定）；（2）判斷平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定的兩種常用方法：間接法：利用定義2，即利用（3）式.直接法：不求方程（1）的解，將在點(diǎn)處作泰勒展開，只取一次項(xiàng)，方程（1）近似為（4）稱為（1）的近似線性方程，顯然也為方程（4）的平衡點(diǎn)。則關(guān)于平衡點(diǎn)是否穩(wěn)定有如下結(jié)論：若，則平衡點(diǎn)對于方程（4）和（1）都是穩(wěn)定的；若，則平衡點(diǎn)對于方程（4）和（1）都是不穩(wěn)定的2、二階方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性

方程的一般形式可用兩個一階方程表示（5）定義3：代數(shù)方程組的實(shí)數(shù)根，稱它為（5）的一個平衡點(diǎn)（或奇點(diǎn)），記為.定義4：如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（5）的解，都滿足（6）則稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的（或漸近穩(wěn)定）；否則，稱是不穩(wěn)定的（或不漸近穩(wěn)定）.為了用直接法討論方程（5）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，先看線性常系數(shù)方程組的一般形式為（7）顯然為系統(tǒng)的奇點(diǎn)，記系統(tǒng)系數(shù)矩陣，特征方程為為了書寫方便，令，于是特征方程可寫為特征根為.下面就分別特征根為相異實(shí)根、重根及復(fù)根三種情況加以研究：1）ⅰ二根同正,二根同負(fù),是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)二根異號,是鞍點(diǎn)ⅱ是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)2）負(fù)的重根是不穩(wěn)定的臨界結(jié)點(diǎn)

正的重根是不穩(wěn)定的退化結(jié)點(diǎn)

是穩(wěn)定的臨界結(jié)點(diǎn)

是穩(wěn)定的退化結(jié)點(diǎn)

3）復(fù)數(shù)根的實(shí)部不為零是不穩(wěn)定焦點(diǎn)

是穩(wěn)定焦點(diǎn)

復(fù)數(shù)根的實(shí)部為零是中心這些結(jié)果可以全都反映在下列參數(shù)平面上

從而，根據(jù)特征方程的系數(shù)、的正負(fù)很容易判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，準(zhǔn)則如下：若、則平衡點(diǎn)穩(wěn)定；或則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.若對于亮一般柔的非錯線性述方程檢（5），盒可以求用近巾似線碰性方斷法判孕斷其寸平衡鑰點(diǎn)歇的穩(wěn)絮定性牛：設(shè)基是頑方程（5）的奇親點(diǎn)，純總可斬以用川坐標(biāo)倘平移使疑對喚應(yīng)新結(jié)坐標(biāo)蠢的原丹點(diǎn)在醋點(diǎn)作普泰勒害級數(shù)綢展開棉得（8）其中將右湯端高你次項(xiàng)阿略去甲，得鞭一次害近似（9）在一揪般情桿況下唇用下隸面的稈定理梳：定理1：對于恩非線追性系里統(tǒng)（5），貴若有（即鍋我們裕討論皆的奇弄點(diǎn)是歷初等砌奇點(diǎn)鍬，也兔就是滑線性某系統(tǒng)蕉的系虹統(tǒng)矩偽陣懇的鼓特征萬值非啊零）商，且夜為系浸統(tǒng)（7）的能結(jié)點(diǎn)損（不偷包括努退化暮結(jié)點(diǎn)碰及臨仁界結(jié)蹤蝶點(diǎn)）鵲、鞍晌點(diǎn)或腿焦點(diǎn).又曬在淡的鄰神域連典續(xù)可金微，隊(duì)且滿銜足則非沫線性樸系統(tǒng)氏（5）的為奇點(diǎn)蛙類型疾與其旗近似栗線性踐系統(tǒng)禍（7）的脾奇點(diǎn)告類型跪完全鈴相同.第二諒節(jié)陳微撞分方仍程模寄型應(yīng)用課微分鵲方程外建立憑數(shù)學(xué)晝模型效通常愈要運(yùn)考用如渾下兩勤種方共法：1、所謂平衡侵原理是指逐自然售界的詢?nèi)魏涡治镔|(zhì)支在其宗變化耗的過誰程中矛一定精受到攝某種槳平衡嗽關(guān)系薯的支狗配.注意溫發(fā)掘癢實(shí)際淘問題條中的濃平衡幫原理禾是從常物質(zhì)出運(yùn)動醬機(jī)理蛋的角率度組堂建數(shù)芬學(xué)模筋型的陡一個吧關(guān)鍵繞問題.就象留中學(xué)狹的數(shù)慶學(xué)應(yīng)傘用題毫中等啟量關(guān)豬系的桂發(fā)現(xiàn)受是建謀立方引程的撲關(guān)鍵趨一樣.2、微蘇元法是指幫在組兔建對誕象隨允著時蛇間或馬空間摘連續(xù)描變化認(rèn)的動倍態(tài)模套型時道，經(jīng)氏常考虹慮它刊在時踢間或列空間帆的微法小單供元變友化情銜況，祝這是飽因?yàn)槠⒃谶@臣些微盈元上支的平射衡關(guān)辣系比迫較簡名單，刷而且午容易蟲使用秧微分變學(xué)的禽手段球進(jìn)行毫處理殺．這翻類模錘型基吉本上快是以暮微分躬方程地的形殺式給顯出的全．這里衫介紹蜻幾個披典型平的用巨微分巨方程疊建立腎數(shù)學(xué)荒模型浸的例清子.一、住人口支預(yù)測旱模型由于或資源拿的有食限性,當(dāng)今畫世界披各國寇都注研意有態(tài)計(jì)劃價地控難制人平口的談增長,為了固得到薪人口浙預(yù)測荷模型,必須畝首先座搞清廚影響此人口浴增長憤的因蔬素,而影栽響人皮口增洋長的敘因素渾很多,如人齡口的囑自然襖出生滔率、零人口留的自符然死承亡率皂、人勵口的森遷移憲、自毒然災(zāi)放害、捏戰(zhàn)爭室等諸際多因擠素,如果葛一開負(fù)始就粉把所斯有因狡素都米考慮脹進(jìn)去蠟，則心無從葬下手.因此,先把耳問題農(nóng)簡化,建立哨比較絕粗糙災(zāi)的模推型,再逐革步修鑄改,得到諒較完筑善的詞模型.例1（馬爾疏薩斯葬（Ma沫lt曠hu捕s）人示口模摩型或稱指數(shù)逗增長銷模型）英國認(rèn)人口歲統(tǒng)計(jì)志學(xué)家罩馬爾絮薩斯砍（17債66勤—1駁83緒4）在打擔(dān)任櫻牧師弦期間,查看驗(yàn)了教顫堂10服0多年膨人口例出生眠統(tǒng)計(jì)葬資料,發(fā)現(xiàn)沒人口戴出生育率是希一個梁常數(shù),于17竿89年在《人口穴原理》一書墻中提斧出了雨聞名銅于世狡的馬釘爾薩奪斯人除口模退型,他的儉基本切假設(shè)脅是：湊在人挪口自侍然增階長過走程中,凈相挖對增干長（莫出生疤率與浴死亡并率之吹差）桂是?；饠?shù),即單薦位時塘間內(nèi)妻人口下的增惜長量筑與人蜘口成陽正比,比例共系數(shù)止設(shè)為,在此另假設(shè)歲下,推導(dǎo)榮并求租解人忌口隨蓄時間清變化慣的數(shù)掘?qū)W模腹型.解設(shè)音時痰刻的綱人口貫為,把憂當(dāng)災(zāi)作連霸續(xù)、注可微尋函數(shù)戴處理栗（因俯人口咸總數(shù)手很大,可近籠似地尸這樣諒處理,此乃前離散嘗變量洗連續(xù)謊化處砌理）,據(jù)馬困爾薩條斯的拉假設(shè),在胳到型時間妻段內(nèi),人口溫的增刮長量歲為并設(shè)時刻精的人議口為,于是這就饅是馬艦爾薩州斯人繼口模辰型,用分棒離變不量法錢易求碑出其耽解為此式餃表明綿人口尖以指廳數(shù)規(guī)巾律隨預(yù)時間忠無限抽增長.模型隱檢驗(yàn)葵：據(jù)屆估計(jì)19訓(xùn)61年地惠球上輕的人府口總滑數(shù)為,而在編以后7年中,人口誓總數(shù)爪以每寄年2%的速乳度增矩長,這樣,下,床,于是這個宇公式臨非常境準(zhǔn)確姑地反益映了椒在17液00倆—1堪96市1年間偽世界曠人口災(zāi)總數(shù).因?yàn)?這期宅間地升球上奴的人薯口大遼約每35年翻蕩一番,而上襯式斷鉗定34套.6年增領(lǐng)加一亂倍（剪請讀拾者證候明這橡一點(diǎn)贊）．但是,后來襖人們寇以美持國人駱口為淚例,用馬習(xí)爾薩匙斯模礙型計(jì)錫算結(jié)沙果與舞人口王資料彈比較,卻發(fā)巨現(xiàn)有曉很大犬的差快異,尤其孕是在鄙用此艷模型淹預(yù)測癥較遙把遠(yuǎn)的霞未來頓地球甘人口且總數(shù)就時,發(fā)現(xiàn)噴更令墊人不皺可思朵議的繳問題,如按鏡此模控型計(jì)濕算,到26籮70年,地球鐘上將撕有36壩0蠶00億人自口.如果救地球喂表面兵全是適陸地衣（事銷實(shí)上,地球撕表面淹還有80毅%被水睡覆蓋辨）,我們障也只司得互炭相踩冤著肩搬膀站怨成兩糾層了,這是龜非常箱荒謬揮的,因此,這一側(cè)模型強(qiáng)應(yīng)該鄙修改.例2（Lo說gi勻st男ic模型或稱阻滯上增長謠模型）馬爾混薩斯金模型胖為什裝么不媽能預(yù)躺測未盈來的河人口錢呢？臉這主挖要是肉地球桌上的濫各種麗資源胃只能憲供一巡壽定數(shù)吐量的伙人生伴活,隨著呆人口癢的增晉加,自然撓資源客環(huán)境栽條件敗等因繪素對萬人口套增長更的限蛾制作厲用越產(chǎn)來越附顯著,如果部當(dāng)人史口較延少時,人口收的自遮然增飯長率火可以盈看作寫常數(shù)臥的話,那么覺當(dāng)人受口增嘆加到棕一定告數(shù)量攀以后,這個斗增長領(lǐng)率就黃要隨獵人口次的增閣加而懶減小.因此,應(yīng)對其馬爾咐薩斯匆模型閣中關(guān)筒于凈祝增長精率為康常數(shù)爬的假哄設(shè)進(jìn)感行修緞改.18俯38年,荷蘭掃生物蹦數(shù)學(xué)停家韋濾爾侯殿斯特(Ve壤rh痕ul雖st)引入庸常數(shù)鄭（甜最大嘗人口丘容量騰）,用來濃表示宏自然言環(huán)境枯條件哨所能父容許左的最閑大人拋口數(shù)事（一百般說忙來,一個槐國家屈工業(yè)異化程留度越完高,它的件生活泥空間覆就越醒大,食物等就越合多,從而睡就辛越大葡）,并假腹設(shè)將湊增長霧率等矮于,即凈舞增長懼率隨庫著還的增倦加而劣減小,當(dāng)卵時,凈增葉長率臂趨于婚零,按此悟假定豆建立羅人口惠預(yù)測潔模型.解由韋正爾侯狡斯特綿假定,馬爾暢薩斯魔模型傻應(yīng)改歸為上式蟻就是Lo腳gi利st男ic模型,該方柴程可蹲分離那變量,其解國為下面,我們跟對模毛型作句一簡球要分勵析.（1）當(dāng),貧,即無股論人警口的死初值主如何,人口梯總數(shù)龍趨向畝于極碎限值專；（2）當(dāng)飽時,腹,這說瞎明鈴是時洲間酒的單稠調(diào)遞徐增函騰數(shù)；（3）由卻于,所以啟當(dāng)萄時,帽,單增默；當(dāng)倆時,橡,單減,即人座口增肅長率種由增丈變減,在夢處最汁大,也就跌是說圾在人思口總不數(shù)達(dá)悔到極悄限值障一半橫以前扯是加摧速生推長期,過這赤一點(diǎn)遵后,生長乓的速批率逐嚷漸變蛙小,并且目遲早捆會達(dá)格到零,這是僵減速蟻生長圍期；（4）用袍該模部型檢懼驗(yàn)美前國從17尸90年到19東50年的怠人口,發(fā)現(xiàn)核模型俊計(jì)算傲的結(jié)燦果與溝實(shí)際砌人口丹在19噸30年以育前都愧非常蜓吻合,自從19植30年以姜后,誤差真愈來熄愈大,一個忙明顯債的原亞因是譜在20世紀(jì)60年代丈美國寶的實(shí)傻際人建口數(shù)聲已經(jīng)駐突破境了20世紀(jì)棒初所案設(shè)的姨極限芒人口.由此護(hù)可見付該模護(hù)型的輛缺點(diǎn)雙之一蹤蝶是泛不駐易確宰定,事實(shí)彎上,隨著愧一個乎國家疫經(jīng)濟(jì)補(bǔ)的騰險飛,它所凡擁有傭的食榴物就薦越豐倘富,的值井也就甜越大才；(5）用Lo驅(qū)gi訴st體ic模型榴來預(yù)伐測世教界未救來人季口總浩數(shù).某生勇物學(xué)膝家估憂計(jì),或,又當(dāng)般人口巡壽總數(shù)柔為突時,人口泡每年勿以2%的速鬼率增窗長,由Lo爬gi柄st燈ic模型戰(zhàn)得即值得啄說明模的是生：人知也是照一種揀生物,因此,上面段關(guān)于圍人口推模型眉的討戰(zhàn)論,原則傍上也泳可以幼用于楚在自衣然環(huán)給境下哀單一邀物種子生存穿著的軌其他環(huán)生物,如森男林中嘆的樹樸木、街池塘使中的辟魚等,Lo償gi各st顏ic模型賞有著芳廣泛聞的應(yīng)竊用.從而身得即世穿界人稀口總奮數(shù)極補(bǔ)限值參近10爭0億.二、絞市場責(zé)價格搬模型對于升純粹謠的市舍場經(jīng)劃濟(jì)來慨說,商品斥市場贈價格宿取決樣于市博場供典需之肝間的岸關(guān)系,市場譯價格優(yōu)能促冶使商升品的棒供給塑與需斤求相糊等(這樣耕的價權(quán)格稱舍為(靜態(tài))均衡視價格).也就雀是說,如果節(jié)不考菊慮商承品價仆格形關(guān)成的巨動態(tài)處過程,那么待商品凈的市奴場價旦格應(yīng)的能保敲證市根場的蓄供需臂平衡,但是,實(shí)際漲的市銀場價嗓格不捉會恰夫好等府于均尤衡價討格,而且神價格筍也不質(zhì)會是堤靜態(tài)切的,應(yīng)是蛙隨時都間不缸斷變蘭化的幻玉動態(tài)殿過程.例3試建樸立描系述市啄場價共格形代成的調(diào)動態(tài)會過程訪的數(shù)啞學(xué)模迫型解假設(shè)弟在某榮一時稻刻,商品治的價漁格為,它與徒該商奶品的吸均衡殼價格湯間有爐差別,此時,存在萬供需鏟差,此供背需差悄促使回價格插變動.對新栽的價奏格,又有居新的曠供需聚差,如此冊不斷約調(diào)節(jié),就構(gòu)柔成市絡(luò)場價衡格形幣成的廚動態(tài)歲過程,假設(shè)向價格久的變盒化率事與寺需求眾和供乒給之師差成賠正比,并記扔為使需求扁函數(shù),為輸供給棋函數(shù)夠（幣為四參數(shù)匙）,于是其中居為技商品捉在時殺刻員的獲價格,為正清常數(shù).若設(shè),,則上報式變蔑為①其中劫均為說正常菜數(shù).其解糠為下面萬對所益得結(jié)抬果進(jìn)丙行討唯論:（1）設(shè)先為足靜態(tài)返均衡鳳價格,則其繡應(yīng)滿宣足即于是縱得從而高價格展函數(shù)含可表寫為令,取極山限得這說捧明,市場退價格獅逐步搜趨于手均衡忽價格.又若園初始姻價格,則動圍態(tài)價墊格就餓維持密在均這衡價險格整個測動態(tài)糧過程也就化絹為靜瞎態(tài)過賤程；上,（2）由姜于所以,當(dāng)時,單調(diào)蛛下降婚向當(dāng)時,單調(diào)效增加倉向靠攏.靠攏張；這說立明：鳥初始柜價格持高于腐均衡謎價格骨時,動態(tài)茫價格取就要折逐步懶降低,且逐映步靠疲近均求衡價稱格;否則,動態(tài)匹價格厲就要刑逐步榆升高.因此,式①者在一襯定程護(hù)度上禁反映威了價林格影賤響需怠求與巴供給,而需廣求與歲供給鮮反過滅來又漸影響胖價格遣的動穴態(tài)過債程,并指租出了行動態(tài)音價格電逐步臺向均闊衡價扁格靠縫攏的拴變化盼趨勢.三、秒混合繭溶液腐的數(shù)醫(yī)學(xué)模圍型例4設(shè)一違容器紅內(nèi)原你有10假0L鹽,內(nèi)含索有鹽10駕kg醉,現(xiàn)以3L魔/m樸in的速悲度注囑入質(zhì)威量濃漢度為0.捎01霜kg捐/L的淡腳鹽水,同時廣以2L伐/m頁in的速語度抽脅出混希合均陽勻的翻鹽水,求容冷器內(nèi)突鹽量陪變化鑄的數(shù)即學(xué)模鎖型.解設(shè)時哥刻容辛器內(nèi)農(nóng)的鹽針量為kg克,考慮惑到飄時吃間內(nèi)腸容器皂中鹽景的變坦化情靠況,在口時間朽內(nèi)容器纖中鹽底的改信變量=注入備的鹽倘水中恩所含航鹽量奮－悲抽出許的鹽予水中遍所含探鹽量容器脂內(nèi)鹽銹的改裕變量睬為,注入持的鹽狂水中齒所含皆鹽量姐為,時刻壞容器狹內(nèi)溶粉液的聾質(zhì)量屈濃度伙為,假設(shè)以到言時貓間內(nèi)傻容器渣內(nèi)溶斧液的違質(zhì)量救濃度并不變催（事枝實(shí)上,容器肥內(nèi)的劍溶液帶質(zhì)量佳濃度潮時刻派在變,由于迅時間真很短,可以蟻這樣利看）.于是怠抽出土的鹽紡水中碰所含得鹽量齒為即又因波為時,容器蔽內(nèi)有落鹽10kg李,于是來得該障問題種的數(shù)學(xué)峰模型屆為這是金一階叼非齊塊次線哀性方款程的土初值難問題,其解耍為下面躲對該券問題西進(jìn)行頭一下鋤簡單集的討被論,由上蔽式不貞難發(fā)括現(xiàn):時刻脆容器館內(nèi)溶王液的海質(zhì)量存濃度侄為且當(dāng)時,容器自內(nèi)鹽裙水的道質(zhì)量湖濃度禾將趨舉于注汪入溶同液的麥質(zhì)量管濃度.,即長竄時間銀地進(jìn)銀行上艷述稀坊釋過問程,溶液繡混合漆問題卷的更絕一般目的提釣法是譜：設(shè)撓有一幸容器法裝有均某種筍質(zhì)量獲濃度涌的溶杰液,以流更量競注祥入質(zhì)證量濃虛度為槽的溶倡液很（指如同一析種類設(shè)溶液,只是經(jīng)質(zhì)量急濃度所不同獸）,假定極溶液寄立即縫被攪油勻,并以篇的流車量流典出這掉種混圖合溶蓬液,試建鳴立容野器中揀質(zhì)量企濃度映與時鐮間的搞數(shù)學(xué)抗模型.首先躲設(shè)容被器中唐溶質(zhì)烏的質(zhì)談量為,原來村的初狐始質(zhì)欠量為=0時溶悄液的畝體積泉為,在d其中是流訪入溶像液的連質(zhì)量欠濃度,為中溶潤液的賤質(zhì)量號濃度,于是,有混外合溶作液的填數(shù)學(xué)儀模型該模隊(duì)型不餡僅適瞇用于腐液體集的混全合,而且傷還適批用于資討論致氣體的混乎合.改變曲量等捏于流種入溶啟質(zhì)的扭數(shù)量看減去爆流出蛛溶質(zhì)悄的數(shù)羽量,即時刻喚容器時間婚內(nèi),容器慎內(nèi)溶謠質(zhì)的傳染艘病模碗型建立瘦傳染減病的頭數(shù)學(xué)潛模型膠來描兇述傳牌染病蜂的傳倍播過到程，己分析胖受感鄉(xiāng)豐染人牙數(shù)的煤變化膀規(guī)律罩，探淡索制鍬止傳賠染病灶蔓延親的手貢段等寸，一庭直是兇關(guān)注證的課氧題。不同嗓類型可的傳騎染病侮的傳工播過謊程有與其各釣自不甩同的斃特點(diǎn)字，從莊一般梢的傳航播機(jī)飛理分逐析建錢立各茄種模督型，拴如簡罰單模艱型（I模型石），SI模型您，SI察S模型盈，SI夕R模型聽等、SI留S傳染替病模另型SI凱S傳染鏈病模盒型是巖指易怪感者質(zhì)（Su郵sc佛ep緞ti漿bl孕e）被持傳染文后變罩為染血病者初（In圈fe幻玉ct喘iv架e），下染病超者可偏以被合治愈辮，但轉(zhuǎn)不會掩產(chǎn)生姨免疫脂力，命所以庸仍為番易感綠者，致人員村流動轟圖為鎖：S→莊I→遞S。已感宮染人獲數(shù)(病人)i(t)每個封病人萌每天固有效盾接觸(足以盈使人柳致病)人數(shù)岡為模型1假設(shè)若有紗效接初觸的互是病置人，半則不告能使南病人慨?dāng)?shù)增考加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分惱已感扯染者(病人)和未癥感染全者(健康固人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每傾個病框人每栗天有盾效接壟觸人盼數(shù)為,且使接香觸的姿健康啟人致醬病建模~日接觸耳率SI模型模型21/2tmii010ttm~傳染問病高誰潮到榮來時荒刻(日接沾觸率)蓄tmLogistic模型病人恨可以茅治愈數(shù)！?t=低tm,di/dt最大模型3傳染肯病無咳免疫銀性——病人馬治愈立成為燒健康晴人，楚健康漿人可納再次符被感渣染增加客假設(shè)SI冠S模型3）病炊人每泛天治替愈的趕比例無為~日治愈余率建模~日接畝觸率1/~感染肆期~一個癢感染景期內(nèi)每個燥病人肺的有惱效接圍觸人泡數(shù)，眨稱為接觸注數(shù)。模型3i0i0接觸恒數(shù)=1~閾值感染飄期內(nèi)有效財(cái)接觸沫感染飼的健耐康者敬人數(shù)烏不超球過病楚人數(shù)1-1/i0模型2(名SI模型)如何哀看作個模型3(凍SI險S模型)的特杏例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0模型4傳染搏病有史免疫租性——病人甲治愈患后即半移出粘感染造系統(tǒng)仰，稱移出理者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病研人的抗日接打觸率,日治愈妥率,接觸督數(shù)=境原/棚建模需建立的兩個方程模型4SI成R模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)模型4消去dtSI熄R模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析si101D模型4SI痰R模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)宇減相軌代線的釋方向P1s0imP1:s0>1榆/i(t)先升徑后降梅至0P2:s0<1屬/i(t)單調(diào)把降至候01/~閾值P3P4P2S0模型4SI簡R模型預(yù)防怠傳染狠病蔓陜延的窗手段(日接得觸率)臺衛(wèi)生傘水平恢(日治愈茅率)也醫(yī)療金水平腎傳染教病不輩蔓延辦的條耀件——s0<1問/的估練計(jì)降低s0提高r0提高唯閾值1/降低(=/),群體免疫模型4SI微R模型被傳蛋染人使數(shù)的側(cè)估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高學(xué)閾值1/降低被傳庸染人善數(shù)比脊例xs0-1/=模型5傳染諸病有裹潛伏托期SE線IR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人、潛伏者和移出者的比例分別為2）病音人的懶日接礎(chǔ)觸率,日治愈催率,接觸理數(shù)=搬托/冷建模建立方程3）單位時間內(nèi)潛伏者以比例常數(shù)轉(zhuǎn)為染病者模型5SEIR模型參動考性文競獻(xiàn)1.數(shù)學(xué)妙模型炊姜啟遺源（女第二擔(dān)版）P1善10媽-2懂21高等脾教育煤出版痛社2.數(shù)學(xué)問建模浴沈繼猾紅等P3殃8-終81哈爾債濱工俊程大皆學(xué)出腎版社3.數(shù)學(xué)物模型純引論箏唐煥吃文尋、賀民明峰襪（第柏二版餓）P2親08傾-2崇39高等灰教育件出版洋社4.常微償分方誰程及奪其應(yīng)識用—方法紙、理績論、茄建模縱、計(jì)隊(duì)算機(jī)周義堅(jiān)倉突靳禎濫秦芬軍林就科枯學(xué)出欺版社5.常微輪分方撿程奪王松高雄舊等下高票等教餡育出泥版社第二儉部分夕應(yīng)用家差分千方程勿建立掉數(shù)學(xué)頸模型引言1、差畝分方介程：磁差辛分方喪程反遲映的弓是關(guān)在于離爛散變致量的食取值曉與變躬化規(guī)齊律.通過亡建立晌一個勸或幾度個離勒散變碰量取菠值所考滿足亞的平非衡關(guān)軍系，往從而恭建立季差分忙方程.差分沈方程茂就是代針對企要解關(guān)決的剩目標(biāo)南，引株入系嶼統(tǒng)或戀過程博中的膛離散珍變量容，根柔據(jù)實(shí)片際背盤景的讀規(guī)律嬌、性各質(zhì)、融平衡柱關(guān)系主，建摧立離妄散變端量所仙滿足小的平粉衡關(guān)霉系等巨式，斷從而順建立病差分獸方程.通過驚求出掉和分鈔析方粱程的衣解，君或者宏分析拾得到箏方程截解的才特別儲性質(zhì)?。ㄆ接『庑运?、穩(wěn)待定性暗、漸股近性稈、振商動性趁、周朋期性鐘等）盡，從爽而把脈握這瀉個離嫁散變道量的賓變化醋過程汁的規(guī)巨律，斤進(jìn)一便步再升結(jié)合稿其他中分析之，得忍到原章問題支的解.2、應(yīng)檢用：泡差分貫方程囑模型第有著詳廣泛臉的應(yīng)踩用.實(shí)際草上，僅連續(xù)奇變量除可以潤用離精散變辣量來頃近似烘和逼扯近，駝從而旬微分場方程嗚模型汁就可腫以近唱似于翁某個慕差分欠方程眉模型.差分怖方程洪模型罪有著株非常惹廣泛濟(jì)的實(shí)飾際背巧景.在經(jīng)描濟(jì)金槐融保妨險領(lǐng)掩域、閥生物挑種群糾的數(shù)淹量結(jié)萍構(gòu)規(guī)隔律分沫析、肢疾病障和病旦蟲害綢的控萬制與僚防治述、遺微傳規(guī)紙律的劍研究蛙等許待許多擠多的礦方面選都有齡著非金常重要要的丑作用.可以噸這樣邀講，易只要滅牽涉羨到關(guān)跌于變會量的綁規(guī)律久、性揮質(zhì)，澡就可齊以適唇當(dāng)?shù)厝河貌钅X分方藥程模摩型來籃表現(xiàn)扇與分餐析求兆解.3、差墻分方累程建水模：黨在問實(shí)際賽建立炸差分延方程宴模型作時，知往往欠要將悠變化漠過程緞進(jìn)行黨劃分爪，劃蹲分成齒若干費(fèi)時段些，根君據(jù)要均解決鐘問題稼的目央標(biāo)，它對每鉗個時餡段引途入相祝應(yīng)的請變量肯或向蓮量，劃然后掀通過尼適當(dāng)葡假設(shè)艇，根權(quán)據(jù)事組物系徐統(tǒng)的奶實(shí)際翼變化輔規(guī)律詞和數(shù)料量相勝互關(guān)糖系，鉤建立枝每兩各個相逼鄰時聰段或稼幾個秩相鄰適時段退或者座相隔鳥某幾渡個時弊段的姓量之貝間的鏟變化雀規(guī)律爽和運(yùn)畢算關(guān)緒系（舟即用卸相應(yīng)佛設(shè)定旨的變志量進(jìn)扣行四彩則運(yùn)江算或芬基本棉初等讀函數(shù)毒運(yùn)算監(jiān)或取拿最運(yùn)呆算等災(zāi)）等侄式（照可以鬧多個值并且叛應(yīng)當(dāng)訪充分絡(luò)全面光反映盤所有究可能脈的關(guān)收系）業(yè)，從床而建魔立起監(jiān)差分勝方程.或者傍對事講物系穿統(tǒng)進(jìn)妙行劃羅分，灰劃分確成若父干子蝕系統(tǒng)超，在男每個吸子系慌統(tǒng)中佩引入耍恰當(dāng)呼的變紹量或雞向量掀，然隊(duì)后分?jǐn)_析建誰立起拾子過箱程間仍的這踢種量奸的關(guān)冬系等薯式，各從而蒼建立言起差浸分方酷程.在這廟里，坊過程劃時段下或子敏系統(tǒng)鎮(zhèn)的劃毯分方唇式是箱非常孩非常偵重要乳的，率應(yīng)當(dāng)浸結(jié)合父已有斗的信迅息和隙分析墾條件跨，從繩多種斃可選苗方式煌中挑果選易單于分像析、勵針對確性強(qiáng)嬸的劃校分，影同時爽，對鉆劃分汗后的幣時段坐或子豪過程醒，引皮入哪爛些變橫量或億向量漫都是祝至關(guān)柱重要步的，殃要仔號細(xì)分敞析、呼選擇懇，盡化量擴(kuò)撿大對的過程跌或系微統(tǒng)的步數(shù)量燭感知規(guī)范圍丙，包損括對蜓已有歡的、膛已知房誠的若推干量有進(jìn)行是結(jié)合寸運(yùn)算惑、取低最運(yùn)盟算等幫處理頃方式稍，目索的是狗建立尚起簡韻潔、仿深刻屈、易偉于求瓣解分鄭析的摘差分慕方程.在后顧面我群們所隔舉的瘋實(shí)際嫂例子粗中，充這方惱面的冊內(nèi)容尺應(yīng)當(dāng)綠重點(diǎn)粒體會.差分秒方程業(yè)模型抽作為夜一種甩重要鐵的數(shù)省學(xué)模肌型，般對它貞的應(yīng)費(fèi)用也雞應(yīng)當(dāng)番遵從潤一般悲的數(shù)肚學(xué)建胞模的乓理論暢與方歇法原施則.同時侍注意貨與其交它數(shù)弱學(xué)模僻型方稀法結(jié)偏合起址來使津用，完因?yàn)檫兑环郊裁娼惲⒉罱鸱址侥瓿棠＼浶退哂玫膸鷶?shù)量只、等聚式關(guān)筐系的怪建立版都需夢要其寶他的徐數(shù)學(xué)乳分析孕方式拜來進(jìn)蓋行；服另一副方面纏，由段差分跌方程蔥獲得識的結(jié)切果有賤可以僑進(jìn)一督步進(jìn)協(xié)行優(yōu)淺化分扯析、粒滿意款度分禍析、清分類沾分析爪、相所關(guān)分薦析等阻等.第一翻節(jié)激差寒分方旋程的顧基本旱知識一、踐基本愛概念1、差懼分設(shè)數(shù)紙列，定凝義差氣分算錢子為在處的紫向前槍差分.而為在以后繭我們寬都是獵指向?qū)幥安钆浞?可見是的函旨數(shù).處的獄向后鎖差分.從而炸可以鋼進(jìn)一國步定澆義的差圖分：，稱迎之為識在處的糠二階稍差分里，它鞋反映丟的是罰的增位量的柜增量.類似衰可定茂義在處的階差幅分為漁：2、差嫌分算頌子歌、不叼變算和子、偷平移銹算子，稱為平餐移算禾子，為不乎變算搬子.由上游述關(guān)排系可獲得：這表壟明在處的階差烈分由在所線賠性決蜘定.記則有嬌：（1），處通的取扶值反之故，由得，得聲：這個撒關(guān)系瘦表明低：第n+蛋2項(xiàng)可左以用紋前兩候項(xiàng)以泉及相鹿鄰三群項(xiàng)增議量的介增量來表李現(xiàn)和咽計(jì)算.即一味個數(shù)顫列的靜任意計(jì)一項(xiàng)瞞都可漫以用大其前館面的k項(xiàng)和包括傾這項(xiàng)般在內(nèi)他的k+朋1項(xiàng)增唯量的梢增量鼻的增啞量……洽..第k層增駁量所構(gòu)成.得：可以憑看出岡：可以陶由的線拌性組筆合表律示出書來（2）3、差壯分方朽程以及支它的架差分速所構(gòu)湖成的退方程稱之逝為k階差繁分方尼程.由（1）式香可知境（3）式套可化唐為故（4）也吳稱為k階差鵲分方集程（辭反映謎的是蜓未知扛數(shù)列前面k項(xiàng)之料間的披關(guān)系郵）.由（1）和擾（2）可們知，薦（3）和錘（4）是等詳價的.我們朝經(jīng)常螞用的燭差分崇方程嬌的形魔式是腎（4）式.由（3）（4）任意史一項(xiàng)何與其貞前，4、差腳分方腥程的肥解與搏有關(guān)渴概念使階差億分方婆程（4）對起所有爹的成立狼，則購稱為方登程（4）的惱解.（為常匙數(shù)）象是（4）的苗解，駛即則稱為（4）的攝平衡濟(jì)解或女叫平慚衡點(diǎn).平衡搜解可尼能不授只一是個.是（4）的贈解，?？紤]的變?；允瑧B(tài)，，則趣方程?。?）兩系邊取脆極限野（就存咸在在捏這里藥面）唱，應(yīng)午當(dāng)有（1）如引果（2）如亮果平衡蘭解的遇基本忽意義舊是：裕設(shè)其中責(zé)之一喝是極溉限狀蹤蝶況，宣如果（3）如苗果（4）的吉解使得既不捧是最熱終正柿的，為關(guān)梁于平娘衡點(diǎn)是振始動解.，則嫌方程襪（4）會錯變成（5）成為耽（5）的透平衡角點(diǎn).也不怨是最玻終負(fù)涉的，槍則稱（4）如拖果令便：則（5）如輸果（5）的勤所有舒解是宮關(guān)于振動微的，搬則稱（5）是捧振動草方程.如果敬（5）的都所有雖解是棉關(guān)于非振竭動的搜，階差雖分方陳程（5）是仰非振痛動方孤程.，使趁得對爽任意耐大的有則稱為正召則解.（即繼不會溫從某黑項(xiàng)后綁全為嘴零）使得，則獲稱為穩(wěn)遞定解.階差參分方亡程則稱（6）如估果（5）有恩解（7）如愉果方壞程（4）的勺解5、差旅分算甲子的洞若干玻性質(zhì)（2）（3）（4）（5）（1）6、Z變換定義撤：對毛于數(shù)遠(yuǎn)列，定政義復(fù)襪數(shù)級柴數(shù)這是娛關(guān)于洛朗進(jìn)級數(shù).它的撥收斂矛域是虧：其中可以叛為可以刃為0.稱為的-變換.從而鎖有逆牧變換至，記溉為：（7）（6）由復(fù)坡變函買數(shù)展錘開成躺洛朗態(tài)級數(shù)腥的唯慶一性有可知瓜：變換傾是一篩一對補(bǔ)應(yīng)的肅，變換是是研麻究數(shù)漆列的白有效貢工具.變換粥的若側(cè)干重創(chuàng)要性趕質(zhì)：（2）平渾移性伯質(zhì)（1）線嚼性性變換懂舉例左：（1）,則（2），則（3）設(shè)則（4）設(shè)則第二棵節(jié)差分對方程壯常用插解法相與性貫質(zhì)分莖析1、常線系數(shù)黎線性德差分共方程墨的解其中為?；驍?shù)，暗稱方澇程（8）為泊常系扛數(shù)線攻性方谷程.為方腰程（8）對濫應(yīng)的答齊次山方程.方程（8）又稱湯方程（9）如果肯（9）有狼形如的解促，代需入方兄程中采可得輸：稱方有程（10）為疏方程籍（8）、耗（9）的秩特征倦方程.顯然收，如鎖果能名求出岸（10）的戲根，勿則可國以得屬到（9）的互解.（10）基本結(jié)結(jié)果釀如下繪：（1）若丑（10）有k個不伸同的剩實(shí)根殺，則越（9）有疾通解粒：（2）若滑（10）有m重根，則臣通解廚中有咬構(gòu)成騰項(xiàng)：（3）若滋（10）有棕一對脾單復(fù)閑根，令饒：，，則橫（9）的描通解柳中有襪構(gòu)成蛾項(xiàng)：（4）若會有m重復(fù)通根：，則（9）的匪通項(xiàng)鍋中有琴構(gòu)成倒項(xiàng)：綜上土所述鑼，由調(diào)于方滔程（10）恰趨有k個根亮，從而銳構(gòu)成洲方程饅（9）的筆通解擾中必潑有k個獨(dú)腔立的彎任意醫(yī)常數(shù).通解正可記精為：如果懂能得腹到方館程（8）的士一個均特解吼：，則累（8）必剛有通熔解：+（8）的僚特解托可通商過待防定系助數(shù)法薯來確罷定.為n的多稿項(xiàng)式店，形式修的特猾解，為m次多害項(xiàng)式度；如血果b是r重根亮?xí)r，蘆可設(shè)覺特解探：，將也其代拔入（8）中金確定莖出系市數(shù)即聚可.（11）例如將：如吩果則當(dāng)b不是睛特征幫根時皆，可約設(shè)成稱形如其中2、差納分方疾程的z變換下解法取Z變換奶，利丘用的Z變換F（z）的Z變換匙，然楚后通花過解福代數(shù)診方程滴求出F（z），對差畜分方卷程兩蘿邊關(guān)皂于來表醋示出并把F(重z)在z=濃0的解閱析圓借環(huán)域可中展哲開成盡洛朗逃級數(shù)扶，其佛系數(shù)棉就是妨所要法求的例1、設(shè)姻差分舒方程求解法1：特傷征方陡程為有根敏：故：為方檔程的帖解.由條按件得：解法2：設(shè)F（z）=Z白(),方程雁兩邊濁取變狠換可凳得：由條么件得由F（z）撇在中解復(fù)析，俯有所以失，3、二蓮階線魄性差茂分方安程組設(shè)，，形吩成向躺量方勵程組則（13）即繡為（12）的川解.（12）（13）為了翅具體撫求出飾解（13），虜需要水求出這可巧以用稠高等旬代數(shù)坦的方料法計(jì)圓算.常用堆的方館法有刷：（1）如爬果A為正走規(guī)矩鋒陣，葉則A必可光相似滋于對測角矩綠陣，對角毛線上國的元破素就灰是A的特刑征值昏，相罵似變弄換矩狡陣由A的特獨(dú)征向漸量構(gòu)崗成：（2）將A分解偵成為列仙向量躺，則雞有從而柄，4、關(guān)鮮于差的分方是程穩(wěn)壟定性霞的幾器個結(jié)孤果（1）k階常揀系數(shù)傅線性飽差分振方程便（8）的步解穩(wěn)定村的充報分必藥要條溜件是海它對籃應(yīng)的需特征末方程潑（10）所駐有的轎特近征根滿足（2）一腦階非傲線性填差分肆方程（14）的先平衡蝴點(diǎn)由方佛程決定絕，（14）將在點(diǎn)處展攀開為之泰勒播形式榴：故有惱：時，益（14）的邪解是穩(wěn)項(xiàng)定的并，時，秘方程問（14）的伙平衡斯點(diǎn)是不秤穩(wěn)定重的.（15）第三融節(jié)肚差分顆方程判建模練舉例差分柳方程暗建模霞方法帖的思慮想與綿與一初般數(shù)贈學(xué)建嘩模的藍(lán)思想正是一裁致的弊，也訴需要涼經(jīng)歷庸背碧景分伏析、遞確定殃目標(biāo)庫、預(yù)檔想結(jié)讀果、麗引入咽必要脅的數(shù)融值表摩示（粗變量搖、常倡量、莊函數(shù)響、積緊分、串導(dǎo)數(shù)怠、差瞧分、障取最拌等）姿概念灰和記穴號、顛幾何潔形式貢（事拍物形甜狀、膝過程羞軌跡膠、坐軋標(biāo)系仿統(tǒng)等血），筒也就默是說暖要把壞事物悼的性錫態(tài)、扶結(jié)構(gòu)裂、過抬程、束成分徐等用堅(jiān)數(shù)學(xué)傻概念牢、原垃理、氏方法叼來表情現(xiàn)、寸分析曾、求協(xié)解.當(dāng)然餓，由稻于差俗分方虧程的村特殊岡性，夏首先吧應(yīng)當(dāng)菊把系足統(tǒng)或意過程在進(jìn)行浴特別煎分解括，形錫成表班現(xiàn)整輕個系小統(tǒng)的陶各個灰部分故的離銜散取怠值形敢式，板或形圍成變腳化運(yùn)頓動過隔程的歉時間藍(lán)或距筍離的彎分化歐而得護(hù)到離拍散變訊量.然后貸通過異內(nèi)在手的機(jī)后理分避析，往找出榆變量吐所能排滿足嫂的平能衡關(guān)瀉系、郵增量稅或減勤量關(guān)梨系及干規(guī)律著，從噸而得抗到差膜分方童程.另外煙，有被時有康可能販通燈過多誓個離早散變下量的豬關(guān)系格得到懼我們短關(guān)心康的變跡量的刪關(guān)系恰，這秤實(shí)際秩上建侵立的幻玉是離愛散向料量方膨程，軟它有語著非許常重嶼要的臥意義.有時鈔還需廣要找城出決刻定變醉量的愚初始波條件.有時米還需陰要將榜問題扶適當(dāng)繞分成麗幾個裳子部豎分，禾分別域求解.一、攻種群禍生態(tài)瞎學(xué)中羽的蟲值口模棕型：在種形群生踐態(tài)學(xué)勢中，虜考慮恨像蠶帆、蟬賄這種跪類型殲的昆晝蟲數(shù)字目的艱變化曬，川它的凍變化拌規(guī)律牽是：獵每年劇夏季傘這種汽昆蟲賢成蟲瓜產(chǎn)卵歡后全綠部死步亡，烈第二嚼年春采天每湯個蟲鮮卵孵伯化成俘一個好蟲子.建立霸數(shù)學(xué)饑模型丑來表議現(xiàn)蟲瞞子數(shù)順目的辮變化歪規(guī)律.模型灶假設(shè)臥與模催型建佳立：假偵設(shè)第n年的悉蟲口購數(shù)目系為成蟲濟(jì)平均槳產(chǎn)卵c個（斜這個養(yǎng)假設(shè)文有點(diǎn)兵粗糙危，應(yīng)底當(dāng)考圾慮更顏具體脾的產(chǎn)屆卵分布壁狀況耽），宋則有沖：如果殘進(jìn)一斧步分傭析，賄由于辦成蟲砌之間卻會有海爭斗恩以及河傳染勺病、女天敵塑等的威茫脅，斷第n+族1年的糊成蟲辨數(shù)會喬減少夸，如涉果考女慮減障少的掛主要鉤原因是蟲透子之估間的咸兩兩腳爭斗帖，由飾于蟲曉子配宣對數(shù)唯為，故粘減少丹數(shù)應(yīng)崗當(dāng)與筋它成沖正比歉，從店而有良：，每須年一經(jīng)個，這豈是一澤種簡樹單模料型；如果饑還考侄慮其酬它的帆影響移成蟲奶孵卵豪及成漿活的才因素盈的定東量關(guān)嶄系，夾這個患模型宗在此窮基礎(chǔ)貧上仍盜可進(jìn)他一步唯改進(jìn)變，更爹加符元合實(shí)蜻際情蛙形.這種探關(guān)系兵一方扶面可絨以通俊過機(jī)農(nóng)理分境析，鴨確定昆減少密量與懇影響假因素忌的定雅量關(guān)州系，斧另一馬方面獸也可細(xì)以用填統(tǒng)計(jì)襯的方耳法來喚線性汁估計(jì)貓影響修程度.或者票還可眨以用挑影響翻曲線沿的方許法來次直觀蔽表現(xiàn)恭影響劈燕的比膝例關(guān)協(xié)系、街周期幣關(guān)系妄、增汪量關(guān)繭系等著等.這個浪模型仗可化繩成：這是那一階趕非線言性差釣分方略程.這個在模型勺的解翁的穩(wěn)初定性可以儉用相屑應(yīng)一蝴階差槐分方疑程的株判斷桃方法弟，即且（14）式蹦來獲閉得.二、孩具周駐期性愚的運(yùn)酸動過趟程的皮差分佛方程雹模型建立旬差分造方程誰描述畢振動右臺上束的乒閃乓球到垂直蘭運(yùn)動茂的方史程，恩即把賄運(yùn)動刪過程細(xì)中的蜜某些哄離散敏變化濤取值南的變服量的袋變化搖規(guī)律頌表現(xiàn)沸出來.假設(shè)錦：乒亮乓球舌與振淘動臺宮之間刪的振機(jī)動恢片復(fù)系修數(shù)為振動攪臺臺堂面的附上下懸位移版是在離常臺面位垂直匠距離次為H處為間自由際落體噴運(yùn)動又假容設(shè)為第j次碰顏?zhàn)矔r悲刻，帳第j次碰銅撞前稅的速銷度為，碰路撞后奸的速胳度為，乒咸乓球經(jīng)初始溪時刻假設(shè).振動袍臺臺獄面的堡運(yùn)動劇速度阿為又記則有攀：（3.妹1）另外焰，由夏碰撞恨規(guī)律章分析籮可知鄰：該式敗經(jīng)簡青化處豬理后阻可得迫：由（3.看1）和羊（3.陡2）式拿聯(lián)立穩(wěn)可得寇二階佛差分腎非線月性方刑程組（3.書2）三、聽蛛網(wǎng)菊模型（1）經(jīng)劣濟(jì)背櫻景與東問題先：在自坑由擔(dān)市場勉經(jīng)濟(jì)遭中，麥有些炮商品奪的生崖產(chǎn)、厚銷售極呈現(xiàn)菊明顯逆的周些期性.農(nóng)業(yè)豈產(chǎn)品怕往往端如此刷，在滴工業(yè)趙生產(chǎn)漢中，仿許多盼商品演的生身產(chǎn)銷示售是惹有周蹦期性肆的，溫表現(xiàn)丘在：砌商品顧的投前資、脹銷售臭價格訂、產(chǎn)爬量、犁銷售灑量在供一定坦時期抵內(nèi)是援穩(wěn)定勾的，搶因而咐整個求某個城較長趟的時漏期內(nèi)園這些迎經(jīng)濟(jì)籠數(shù)據(jù)翅表現(xiàn)堤為離宗散變蠅量的艷形式.在這乏些因冶素中晴，我股們更妄關(guān)心穗的是禽商品家的銷皺售價奏格與頂生產(chǎn)嚴(yán)產(chǎn)量清這兩添個指雀標(biāo)，分它們婚是整烈個經(jīng)隨營過登程中物的核蔽心因帖素，資要想攏搞好獄經(jīng)營純，取垃得良極好的存經(jīng)濟(jì)控效益牲，就印必須識把握榴好這孟兩個勞因素疼的規(guī)撲律，飄作好攻計(jì)劃.試分栽析市劑場經(jīng)條濟(jì)中移經(jīng)營配者根浮據(jù)市虧場經(jīng)頸濟(jì)的芳規(guī)律尋，如摩何建矮立數(shù)辜學(xué)模蠟型來銳表現(xiàn)朱和分險析市蛛場趨例勢的.（2）模砌型假土設(shè)與遙模型舞建立將市書場演嫩變模串式劃塌分為模若干碌段，囑用自拿然數(shù)n來表得示；設(shè)第n個時寬段商莖品的翻數(shù)量韻為，價臺格為由于耗價格狼與產(chǎn)勞量緊蓋密相儲關(guān)，爺因此油可以蟲用一俗個確誕定的您關(guān)系來表橋現(xiàn)：歉即設(shè)角有這就修是需遙求函峰數(shù)，f是單被調(diào)減就少的丟對應(yīng)列關(guān)系;，n=補(bǔ)1,淋2…休.;（3.巷3）又假菜設(shè)下恨一期詠的產(chǎn)聲量是決山策者那根據(jù)童這期廳的價繭格決陡定的郊，，h是單括調(diào)增裹加的浙對應(yīng)弱關(guān)系常，g也是顧單調(diào)匙增加欠的對勿應(yīng)關(guān)勤系.因此方可以趟建立澆差分縫方程蛛：（3.執(zhí)5）這就膚是兩背個差氧分方突程.屬一昏階非邪線性冬差分的方程.即：腳設(shè)從而中，有填關(guān)系役：（3.湖4）（3.待6）（3）模山型的持幾何送表現(xiàn)知與分影析.和借助雷已有敲的函份數(shù)f和g勿,通過擔(dān)對應(yīng)伴關(guān)系遍的幾曠何表環(huán)現(xiàn)把蔑點(diǎn)列，和在坐河標(biāo)系遠(yuǎn)中描頂繪出研來，韻進(jìn)而旨分析染它們驢的變蝦化規(guī)雪律、管趨勢霜、找穩(wěn)恩定點(diǎn)厭等等.其中為了些表現(xiàn)佛出兩索個變環(huán)量的變蕩化過薯程，蓬我們澇可以點(diǎn)列連接為起來膝，就會含形成撞象蛛兩網(wǎng)一罷樣的滲折線遼，這剛個圖革形被白稱作列為蛛玻網(wǎng)模難型.可以場設(shè)想歲，這欠種形注式可妖作為塌差分辣方程不分析掙與求桿解的鋪重要細(xì)手段跪，它揀的主禮要數(shù)廳學(xué)技師術(shù)是道：圖僻形的榮描繪纏，曲蚊線上嚴(yán)點(diǎn)列沉的描橋繪（寨設(shè)法待由前吸一個謎點(diǎn)的令一個潮坐標(biāo)穿分量柱來算拒出下南一個秩點(diǎn)的坦一個著坐標(biāo)貧分量映，并茫確認(rèn)軋它在護(hù)哪條矩曲線貞上，配就可膊以畫宋出這意個點(diǎn)袍；有搖時或析者可鼻由前斑兩個懸點(diǎn)決閣定下愿一個頸點(diǎn)的臘一個凱坐標(biāo)虎分量廚），龜也就虎是通低過直身觀、顛幾何扇形式楚，把種我們距關(guān)心茶的變挪量的怎所有虧可能溫取值舍表示商出來.這里陪采用碼的方繭法是賄，引尚入兩據(jù)條曲烏線，冶因?yàn)樽镌谇尘€上些如果送知道當(dāng)了一牢個分麥量，費(fèi)就可隆以作受出另運(yùn)一個沿分量.可見輔幾何基形式投表示終有關(guān)跟系的趨變量局是既泳方便僻又有示意義挺的.易見閑：如幟果點(diǎn)庫列最后釣收斂擺于點(diǎn)，則，并魚且就是走兩條埋曲線旦的交盒點(diǎn)，括從而莫穩(wěn)定貴的.這也萄表明貿(mào)，市法場在長組期運(yùn)螞行之庸后會暈保持友一種辟穩(wěn)定子的狀慰態(tài)，爐說明著市場棄處于乓飽和周狀態(tài).要想焰進(jìn)一蛾步發(fā)翁展就綁必須能打破宮這種虧平衡已，在凈決策按機(jī)制夾和方根法上留有所生改進(jìn).幾何謊上的笛進(jìn)一子步分和析表誤明，診如果除曲線和在交由點(diǎn)處切尾線的茂斜率御的絕板對值谷記為性：則當(dāng)時，是穩(wěn)亡定的急；時，是不鏡穩(wěn)定爬的.當(dāng)以一柱種簡瓣單的齊情形解為例波來說姥明，堂先做濃如下督假設(shè)姿：商品陷的本娛期產(chǎn)針量咱決處定于膝前一越期的溜價格條，即供名給函辰數(shù)為蕉，商嚇品本鑼期的伸需求屈量收決謙定于本期愚的價層格錯，及再需求換函數(shù)處為則蛛親網(wǎng)模抽型可姥以用娛以下爐三式獎聯(lián)立宗來表堂示：--朽--焦--余-（1）--皆--校--殖-（2）--脊--隔--列-（3）其中攀，代均為武大于設(shè)零的曠常數(shù).將（1）的腰（2）代圍入（3）得填：由此代可得籌第t期的開產(chǎn)品捧價格攤為--歌--此--藏-（4）--驗(yàn)--熊--窗-（5）又因默為在肚市場搶均衡便是，隨均衡波價格撇，憐則由孝（4）可皆得將（6）代案入爆（4）得均衡居價格笨為--聽--物--解-（6）--剃--遺--輩-（7）分三成種情膚況討校論：--木--繪--洗-（7）（1）：倍若荒則渾，頌此為獵收斂站型蛛住網(wǎng)；（2）：艱若過則膝，除此為倡發(fā)散梳型蛛鋸網(wǎng)；（3）：壇若葡則吊為刻常數(shù)膚，此菠為封瀉閉型視蛛網(wǎng).（4）模凝型的沃差分蘋方程問分析滿足督：，在點(diǎn)附漏近取攏函數(shù)的一偉階近衫似：合并充兩式鹿可得敞：設(shè)點(diǎn)這是優(yōu)關(guān)于作為科數(shù)學(xué)遷模型市，本協(xié)來就參是客企觀實(shí)卵際問垮題的禁近似喘模擬芹，現(xiàn)厲在為辯了處愚理方物便，衣適當(dāng)計(jì)取用艙其近荷似形遠(yuǎn)式是腰合理聞的.為f在點(diǎn)處項(xiàng)的切租線斜安率；為g(王x)在點(diǎn)處拒切線喇的斜凍率.的一落階線疲性差怒分方亦程.當(dāng)然從它是勾原來謝方程慨的近屋似模鎮(zhèn)型.其中憑，方程漏（3.然9）遞醫(yī)推可奏得：所以哈，點(diǎn)穩(wěn)候定的問充要妖條件摸是：即：這個紗結(jié)論疼與蛛滴網(wǎng)模桌型的腔分析喇結(jié)果摧是一擦致的.（5）模處型推豈廣如果朱決策決時考鄰慮到與都有發(fā)關(guān)系秤，這時肚數(shù)學(xué)殘模型院為：則可躁假設(shè)對此關(guān)模型稠仍用現(xiàn)線性欄近似程關(guān)系歇可得瀉：首便先求著出平紐奉衡點(diǎn)囑，即云解方朵程則有證：再結(jié)燈合（3.膀7）可羊得：即特征少方程眾為：特征枝根為超：所以帝：時，，此舊時解癥不穩(wěn)藏定.時，，時，從而義解是耍穩(wěn)定糾的.則這個黃條件醫(yī)比原摔來的宿模型遞解的銹穩(wěn)定艱性條黎件放指寬了.說明席決策水平季提高寇了.進(jìn)一諷步來梁看，博對這離個模鹽型還舊可以炎進(jìn)行裳進(jìn)一勾步的攔分析畏：考慮露下一縣年的躬產(chǎn)量漫時，益還可高以近曠三年食的價駁格來窄決定揮，另外吹還可魔以考做慮引畏入投旺資額，并心建立厭有關(guān)糊的離錢散方蔬程關(guān)差系.例如證：設(shè)四、備人口越的控槽制與番預(yù)測械模型背景癢分析達(dá)：人口任數(shù)量暮的發(fā)紙展變唱化規(guī)專律及省特性顧可以勒用偏透微分御方程列的理槳論形縣式來緊表現(xiàn)輸和模幣擬.但在扛實(shí)際青應(yīng)用悟中不前是很螺方便巷，需膊要建去立離慮散化贈的模找型，規(guī)以便冬于分躍析、博應(yīng)用.人口僵數(shù)量避的變晃化取炊決于四諸多頸因素滴，比已如：飲女性浸生育昏率、困死亡聽率、熱性別跨比、虛人口督基數(shù)街等.試建融立離疊散數(shù)聞學(xué)模臟型來稻表現(xiàn)動人口出數(shù)量槽的變悼化規(guī)鵲律.模型女假設(shè)需：以年流為時碑間單木位記均錄人壩口數(shù)而量，蓋年齡羊取周令歲.1.設(shè)這侮個地畫區(qū)最吵大年體齡為m歲2.第t年為i歲的溉人數(shù)掙為這個薯數(shù)量構(gòu)指標(biāo)旱是整鳳個問錢題分濱析、挨表現(xiàn)位的目隸標(biāo)和盛載體攪，我們咸的目石的就皆是找烘出這此些變涼量的息變化辜規(guī)律肥、內(nèi)創(chuàng)在的他普遍宜聯(lián)系.3.設(shè)第t年為i歲的頭人口樓平均灣死亡孔率為i歲人安口中犁死亡劫數(shù)與韻基數(shù)銜之比娘：即：4.設(shè)第t年i歲女繞性的今生育矩率：配即每潔位女亞性平圖均生哈育嬰斧兒吊數(shù)為為生格育區(qū)陷間.（占已全部i歲人稈口數(shù)環(huán)），項(xiàng)由此含可知噴：第t年出記生的遼人數(shù)遇為：，即凍這一藥年中為第t年i歲人骨口的疼女性趴比5.記第t年嬰羊兒的角死亡哪率為，則6.設(shè)，它敗表示i歲女必性總默生育均率，離則，如移果假蠅設(shè)年后鬧女性噸出生泳率保斬持不瘡變，蹦則可見鋒，表示均每位謠婦女旺一生繡中平搶均生妻育的挎嬰兒夢數(shù)，稱之稀為總桿和生殲育率.它反淡映了尾人口枕變化賴的基才本因煮素.模型昌建立：根據(jù)子上面糊的假娛設(shè)……我……犁……悶……襯……供……活..為了泳全面嫂系統(tǒng)堂地反滅映一糟個時泳期內(nèi)侮人口愛數(shù)量晶的狀匠況，令則此斧向量滿足賢方程獸：即：這是序一階政差分穿方程惹，其敲中是可真控變邁量，是狀蜂態(tài)變理量，和都是活線性納的，豪故稱亮其為挖雙線鵝性方悄程.并且擁關(guān)于模型帖分析婆：在穩(wěn)熱定的瞞社會胃環(huán)境乓下，負(fù)死亡控率廣、生連育模碎式、譽(yù)女性形比例某、嬰兒蛇存活棉率是紫可以乏假設(shè)夜為不賽變的芝，故為常形數(shù)矩幻玉陣.從而蘿，只要捎總生首育率則人醫(yī)口的置變化桃規(guī)律坡就可享以確去定下?lián)醽?確定儲下來趨，為了縮慧更全制面地犬反映年人口秋的有懸關(guān)信歸息，戀下面霉再引館入一模些重允要的鋒指標(biāo)煤：B、人賴口平午均年推齡：C、平僚均壽躬命：這里叢假定倦從第t年分云析，殖如果櫻以后柏每年盛的死狀亡率壺是不蟲變的助，即覽：則表示t年出六生的高人活忍到第j+餅1年期省間的爪死亡拖率，評這也啊表明員其壽辭命為j歲，j=互1,巴2…笛m.而表示謊壽命.A、人艷口總較數(shù)：通過才求出的3個指論標(biāo)進(jìn)考行更劇具體館的分眠析，撕從而茄對人嬌口的克分布在狀況觀、變化集趨勢垂、總鼻體特稍征等孫有科碗學(xué)的債認(rèn)識桃和把路握.具體攤求解丸分析貪這里熊不再霸進(jìn)行.的變哲化規(guī)垃律，今就可搜以對況上面綠引入五、享線性嘗時間吹離散科彌漫石網(wǎng)絡(luò)房誠模型引言臥：一個競國家古在一充定時摸間段量內(nèi)的庫財(cái)富馳依賴輪于許蛾多因毒素，午不同磨國家移的相州互交影流是厭重要擺的方端面.建立情數(shù)學(xué)燥模型貪