第五章矩陣的特征值與特征向量定稿

第五章矩陣的特征值與特征向量§5.1

矩陣的特征值與特征向量§5.2相似矩陣與矩陣可對角化條件§5.3實對稱矩陣的對角化中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/20231一、特征值與特征向量定義三、矩陣的跡二、特征值與特征向量求法§5.1矩陣的特征值與特征向量中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/20232定義5.1若存在常數(shù)及非零向量一、特征值與特征向量定義中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/20233

說明中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/20234稱二、特征值與特征向量的計算方法中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/20235定理5.1設(shè)Ａ是n階矩陣，則是Ａ的特征值，是Ａ的屬于的特征向量證明中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/20236中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/20237求矩陣特征值與特征向量的步驟：中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/20238例1求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當(dāng)時,解方程由中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/20239得基礎(chǔ)解系全部特征向量為當(dāng)時,解方程由得基礎(chǔ)解系全部特征向量為二重根中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/202310例2求矩陣的特征值與特征向量.解得特征值當(dāng)時,解方程組得基礎(chǔ)解系全部特征向量為中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/202311當(dāng)時,解方程得基礎(chǔ)解系全部特征向量為注意在例1與例2中,特征根的重數(shù)與其對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量的個數(shù).二重根中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/202312例3如果矩陣則稱是冪等矩陣.試證冪等矩陣的特征值只能是0或1.證明設(shè)兩邊左乘矩陣,得由此可得因為所以有得中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/202313例４

證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于的特征向量，則證明再繼續(xù)施行上述步驟次，就得中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/202314中南財經(jīng)政法大學(xué)信息學(xué)院信息系

5/24/202315矩陣?yán)p的特覽征值仍與其延特征鬧多項假式的撇關(guān)系中南李財經(jīng)跌政法淡大學(xué)統(tǒng)信息肢學(xué)院辟信息激系5/討18傻/2籍02戚316中南府財經(jīng)悉政法銜大學(xué)葬信息董學(xué)院圓信息犯系5/襯18怕/2而02斧317特點則有購：中南絹財經(jīng)爺政法舟大學(xué)能信息糕學(xué)院服信息干系5/剪18心/2甚02旬318性質(zhì)農(nóng)：中南折財經(jīng)遠(yuǎn)政法割大學(xué)疊信息伏學(xué)院斧信息放系5/罷18剝/2順02居319中南齊財經(jīng)即政法車大學(xué)晚信息慢學(xué)院暖信息愉系5/培18右/2戚02乳320課堂項練習(xí)中南適財經(jīng)烘政法怒大學(xué)什信息歷學(xué)院脅信息犧系5/蜻18禍/2麗02瞧321（答貍：2，-2，0.）中南幅財經(jīng)飯政法盡大學(xué)從信息描學(xué)院察信息釘系5/仰18孫/2盲02蘇322一、曉相似千矩陣世概念二、劈燕相似需矩陣陷基本駛性質(zhì)三、畢矩陣巨可對斑角化稈的條創(chuàng)件§5.光2相似舊矩陣黑與矩貞陣可蛙對角吳化條績件中南默財經(jīng)評政法花大學(xué)由信息玻學(xué)院午信息舊系5/季18盡/2縱02明323設(shè)都是階方陣,若有可逆矩陣使則稱與是相箏似的,或說一、糞相似球矩陣介概念中南帝財經(jīng)搭政法著大學(xué)負(fù)信息訓(xùn)學(xué)院鋤信息北系5/辜18宜/2效02撓324中南效財經(jīng)壞政法閃大學(xué)峽信息你學(xué)院建信息著系5/徑18染/2壘02地325相似吸是一鉗種等顛價關(guān)淘系中南搶財經(jīng)鴿政法熔大學(xué)解信息叫學(xué)院辣信息甚系5/蒜18德/2拋02朵326(1)相似矩陣有相同的行列式.(2)相似矩陣有相同的跡.(3)相似矩陣有相同的秩.(4)相似矩陣有相同的特征多項式.(5)相似矩陣有相同的特征值.二、踩相似嗓矩陣鑄基本擇性質(zhì)(6仿)相似慨矩陣貸的逆鐵矩陣欺仍相子似(設(shè)兩收者都辟可逆).(7蠶)相似傘矩陣渴的冪匹仍相花似.中南加財經(jīng)捐政法基大學(xué)榆信息倡學(xué)院稱信息代系5/芒18仁/2核02支327證明設(shè)矩脾陣A與B相似,即有P-1AP謀=B(1)(2順)顯然.(3)(4洪)由(3炎)即得.(5糖)由(4畫)及特趁征值色與跡望的關(guān)裝系可嫌得.(6沾)(扔7)由相晌似的網(wǎng)定義曬可得.中南奏財經(jīng)葡政法圈大學(xué)再信息簽學(xué)院錄信息割系5/帳18血/2裂02吩328例1已知與相似,求x,y.解因為相似矩陣有相同的特征值,故A與B有相同的特征值2,y,-1.根據(jù)古特征墾方程凈根與仿系數(shù)臉的關(guān)泄系,有：而故x=0,y=1.中南迅財經(jīng)恐政法翻大學(xué)雁信息喝學(xué)院霸信息擴(kuò)系5/含18察/2屆02埋329課堂倡練習(xí)中南姐財經(jīng)方政法漸大學(xué)狀信息懼學(xué)院代信息哀系5/恥18障/2軍02濤330所謂方陣可以對角化,是指即存在可逆矩陣使成立.定理5.2階方陣可對角化有個線性無關(guān)的特征向量.三、捏矩陣鵝可對傲角化旅的條勾件中南劍財經(jīng)替政法疫大學(xué)福信息倉學(xué)院戴信息似系5/贈18夠/2淹02悄331證明設(shè)即是的對應(yīng)于特征值的特征向量.又因可逆,故線性無關(guān).得到中南慶財經(jīng)陳政法幸大學(xué)夏信息捐學(xué)院蒙信息革系5/繡18番/2膜02察332設(shè)線性無關(guān).記則因線性無關(guān),故可逆,即可對角化.中南紗財經(jīng)兼政法瘡大學(xué)沿信息涌學(xué)院墾信息消系5/時18趴/2尋02生333定理5.遵3中南肺財經(jīng)晃政法哨大學(xué)扔信息招學(xué)院珍信息匆系5/椅18攤/2乞02借334中南山財經(jīng)和政法劇大學(xué)味信息講學(xué)院邪信息激系5/荷18食/2圓02額335中南保財經(jīng)尤政法杏大學(xué)慎信息躁學(xué)院辟信息堆系5/銹18沉/2沾02潑336證明則即類推日之，廁有中南蓬財經(jīng)葡政法裙大學(xué)堵信息壓學(xué)院蠢信息踩系5/輪18擱/2閃02癢337把上零列各冊式合兼寫成掃矩陣挨形式針，得中南劈燕財經(jīng)塔政法另大學(xué)蠢信息往學(xué)院僵信息毛系5/投18更/2嘆02補(bǔ)338定理5.默4對一糖重特視征值舞來說,相應(yīng)源地只夜有一豎個線梳性無排關(guān)的窮特征駁向量對k重特傘征值提來說,相應(yīng)初地線槐性無說關(guān)的擇特征井向量逝不會耗超過k個中南剖財經(jīng)豆政法襲大學(xué)依信息濫學(xué)院忍信息肺系5/臭18湊/2研02壤339(證明滾略)定理5.排5推論茂屬散于不枕同特叉征值鹿的特摩征向泰量是咸線性填無關(guān)煌的中南牌財經(jīng)辰政法北大學(xué)膀信息舒學(xué)院勸信息砌系5/除18煉/2質(zhì)02射340定理5.6(充分條件)若A的n個特征值互不相等,則A與對角陣相似(可對角化).如教奇材§5杰.1例3，P16摟9注意降：逆絹不成霜立,即與住對角白陣相蝴似的潮矩陣,特征仔值不慰一定誓互不元相等.中南坊財經(jīng)鐵政法臭大學(xué)袋信息蟻學(xué)院漂信息母系5/戰(zhàn)18陣/2屈02彼341例1判斷下列實矩陣能否化為對角陣？解中南聞財經(jīng)計政法繞大學(xué)慶信息次學(xué)院尤信息埋系5/雪18高/2旨02嫌342解之圾得基謀礎(chǔ)解劍系中南查財經(jīng)旋政法臥大學(xué)逐信息尤學(xué)院越信息尖系5/關(guān)18緊/2幅02錄343求得委基礎(chǔ)花解系中南想財經(jīng)翅政法狐大學(xué)嘉信息胳學(xué)院翠信息嘉系5/抵18洗/2端02詞344解之潔得基冠礎(chǔ)解靠系故不能化為對角矩陣.中南慶財經(jīng)鞏政法依大學(xué)漠信息候?qū)W院梯信息鄉(xiāng)豐系5/哭18遞/2晴02狡345A能否海對角茄化？吼若能裁對角吩化,試求禽出可濕逆矩擦陣P例2解中南殼財經(jīng)姐政法辣大學(xué)益信息洽學(xué)院外信息隊系5/蒸18刑/2買02援346解之灘得基姐礎(chǔ)解半系中南磁財經(jīng)豪政法刊大學(xué)疫信息卻學(xué)院憐信息者系5/歸18于/2片02獄347所以可對角化.中南蔽財經(jīng)撇政法蕩大學(xué)益信息移學(xué)院罩信息寧系5/陣18占/2虧02億348注意即矩陣的列向量和對角矩陣中特征值的位置要相互對應(yīng)．中南捎財經(jīng)甜政法鑒大學(xué)圖信息憤學(xué)院粥信息莫系5/疾18似/2青02廟349例：蒸對教材§5欠.1例2、例3的矩即陣A，求益可逆步陣P，使P-1AP為對渴角陣.中南癥財經(jīng)芝政法硬大學(xué)夏信息頂學(xué)院相信息恨系5/鐘18項/2蕩02螺350例3有三個不同的特征值對應(yīng)的特征向量分別為已知求(1)(2)解又所以中南兄財經(jīng)直政法散大學(xué)粒信息戀學(xué)院喬信息幅系5/格18昆/2陷02碌351(2英)若令則有故中南值財經(jīng)丘政法懼大學(xué)群信息遵學(xué)院羊信息便系5/罵18械/2栽02皆352課堂酸練習(xí)中南笨財經(jīng)貢政法征大學(xué)膨信息找學(xué)院晨信息灣系5/閥18機(jī)/2片02申353一、尸實對擱稱矩扔陣的宿特征弟值與北特征給向量§5.3實對抄稱矩獻(xiàn)陣的陳對角席化二、實對掛稱矩組陣的閃對角素化中南況財經(jīng)放政法回大學(xué)往信息榆學(xué)院折信息佛系5/舅18朗/2案02擺354定理5.體7實對另稱矩披陣的籌特征情值為莫實數(shù).證明一、填實對寇稱矩給陣的映特征瓜值與蝴特征夕向量中南細(xì)財經(jīng)慮政法詳大學(xué)訊信息色學(xué)院呼信息愉系5/唉18透/2淺02愛355于是壓有兩式館相減卸，得中南持財經(jīng)鉛政法清大學(xué)凝信息洪學(xué)院咐信息統(tǒng)系5/條18劍/2企02晚356定理睬５.７的芝意義中南青財經(jīng)鄭政法姑大學(xué)私信息芹學(xué)院膨信息課系5/幅18叉/2盯02剪357證明于是定理5.鍬8實對叛稱矩攀陣的膛屬于盆不同田特征失值的惜特征濕向量妄是正輛交的中南耕財經(jīng)昏政法覺大學(xué)慌信息碎學(xué)院崇信息鞭系5/耽18莫/2制02苦358證明它們的重數(shù)依次為根據(jù)但定理1（對稱寫矩陣商的特共征值滴為實閣數(shù)）和鞠定理3(如上)可得筋：設(shè)的互不相等的特征值為中南展財經(jīng)缸政法牛大學(xué)仆信息痰學(xué)院宋信息巷系5/宏18屠/2蔥02順359即：任一實對稱矩陣一定可以對角化.與之相似的對角陣的對角元素就是的全部特征值,而正交陣是由它們對應(yīng)的單位特征向量組成的.為階實對稱矩陣,則必存在正交矩陣使其中是以的個特征值為對角元的對角陣.定理5.９二、迅實對禁稱矩成陣的雪對角倒化由上破面結(jié)環(huán)論(3稈)得：中南串財經(jīng)刪政法俯大學(xué)殿信息航學(xué)院辟信息離系5/劑18蚊/2庫02差360根據(jù)避上述察結(jié)論叢，利羨用正把交矩妙陣將斬對稱念矩陣釀化為對肯角矩樂陣，碰其具之體步休驟為：二、盆利用扎正交象矩陣傘將對匯稱矩誰陣對騰角化污的方臉法將特征向量正交化，單位化，;3.寫出正交矩陣.4.2.1.中南擁財經(jīng)欠政法拜大學(xué)氧信息存學(xué)院父信息步系5/杏18凳/2沙02滑361例1求一個正交陣解(1)求特征值:特征協(xié)值為中南運財經(jīng)示政法演大學(xué)剩信息醉學(xué)院儉信息共系5/掛18步/2襯02疫362(2瀉)求特辨征向彈量:對于解得線傳性無衰關(guān)的第特征嚷向量書為對于解得線侍性無喜關(guān)的缸特征鈔向量展為(3)特征向量正交化、單位化：用施密特正交化方法中南拍財經(jīng)賠政法叼大學(xué)減信息對學(xué)院北信息微系5/攔18鬼/2沒02舟363正交臣化取單位化取(4)寫出所求正交矩陣:中南嗓財經(jīng)偵政法抵大學(xué)啟信息旋學(xué)院近信息株系5/鎖18祝/2皇02池364令則P是正交陣.并且要特蹄別注儲意本嬌題的裙解題普方法渾和步夠驟.在后緣瑞面的皂用正流交變鉆換化息二次選型為殿標(biāo)準(zhǔn)眾形中蝦還要吧用到旺類似若的方束法.中南割財經(jīng)節(jié)政法鴨大學(xué)岔信息內(nèi)學(xué)院霸信息道系5/亞18典/2夫02拍365解例

對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對角陣.(1)第一步求的特征值中南璃財經(jīng)之