第三章微分方程的數值計算原理

第三章微分方程的數值計算原理§3.1概述§3.2非穩(wěn)態(tài)溫度場的差分格式§3.2.1顯式差分格式——時間前向差分§3.2.2完全隱式差分格式——時間向后差分§3.2.3六點差分格式（C-N格式）——時間中心差分§3.2.4帶權差分格式§3.3不同差分格式的特性§3.3.1差分格式的穩(wěn)定性§3.3.2差分格式的精度§3.4直接差分法與邊界條件的差分化§3.4.1直接差分法§3.4.2邊界條件的差分化§3.5有限差分與有限元網格剖分§3.1概述

數值計算法是一種對微分方程的近似求解基本思想是把本來求解變量隨空間、時間連續(xù)分布和變化的問題，轉化為在空間領域與時間領域的有限個離散點上求變量值的問題。由于解是由一系列的數值表達出來的（解析解則是由函數式表達），故稱之為數值計算法（或數值解法）。目前主要的數值計算法有：

有限差分法（FDM）

有限元法（FEM）一般以前者應用較多（3-1）

有限差分法（FiniteDifferenceMethod）的物理基礎仍然是各種守恒定律，其數學基礎則是用差商代替微商對于連續(xù)函數T（x），其微商（導數）為上式中即為差商，其中△T與△x均不為零，而是當△x→0時差商的極限值，即微商。這里通過△x→0將與聯系了起來。在△x未到達零之前，始終只是的近似值?？梢园掩呌诘倪^程看作是由近似向精確的過渡；反之，用代替就意味著由精確向近似過渡。二者的差即為用差商代替微商后所產生的誤差。

將函數值按泰勒（Toylor）級數展開：（3-2）式中表示數量級，表示第五項以后各項的代數和與屬同一數量級。由此可見，差商代替微商的偏差就是截去了泰勒級數中的高階項所引起的，故一般稱之為“截斷誤差”。用差商代替微商可以有不同的方法，由此而產生的誤差也不相同。一般一階差商有三種形式：由圖3-1可以看出，中心差商的誤差較小。經簡單運算后能夠發(fā)現，前向差商和后向差商代替微商的截斷誤差均與△x屬同一數量級，而中心差商代替微商的截斷誤差與屬同一數量級。

二階微商由二階差商近似，實際計算中多用其“中心差商”形式：(3-6)

其截斷誤差也是與同階的小量。同理，偏微商也可用相應的差商來代替：§3.2非穩(wěn)態(tài)溫度場的差分格式在金屬凝固與鑄造過程中遇到的導熱過程主要是非穩(wěn)態(tài)導熱?？梢杂上铝懈盗⑷~方程描述：非穩(wěn)態(tài)導熱問題的特點是增加了時間變量，從而在傅立葉方程中出現了時間的一階微商。由于這個一階微商采取不同的差分形式（向前差分、向后差分、中心差分等）而導致產生了不同格式的差分方程，被稱為差分格式。各種差分格式均可由微分方程通過用差分代替相應微分而寫出?！?.2.1顯式差分格式——時間向前差分§3.2.2完全隱式差分格式——時間向后差分§3.2.3六點差分格式（C-N格式）——時間中心差分§3.2.4帶權差分格式（4-6）§3.2.1顯式差分格式——時間向前差分設節(jié)點（i，j，k）在n時刻的溫度值為，則（4-6）式的傅立葉方程可寫為（3-14）對等號左邊用前向差分來近似：（3-15）等式右邊都是二階導數，用中心差分來近似：（3-16）

將（3-15）、(3-16)式代入(3-14)式得到差分方程：整理后得：(3-17)

此式的意義就是節(jié)點（i，j，k）在時刻tn+1=（n+1）△t的溫度值可由該點及其相鄰節(jié)點上一時刻tn=n△t的溫度、、、、、和直接求得。如圖3-2示。當x，y，z三個方向上的節(jié)點步長相等，即Δx=Δy=Δz時，（3-17）式簡化為：(3-18)式中：(3-19)

§3.2.2完全隱式差分格式——時間向后差分如果對式(3-14)左邊采用向后差分來近似：(3-20)對右邊仍用中心差分來近似（式（3-16）），則得差分方程為：在Δx=Δy=Δz時，使整理結后得東：或寫之為：(3腹-2虧1)此式消表明鬼，節(jié)堤點（i，j，k）在絮時刻tn+焰1=（n+賢1）△t的溫啄度規(guī)不能李由上成一時序刻tn=n罵△瘦t時該覺節(jié)點叨及其囑相鄰懇節(jié)點右的溫訓度值覽、取、律、棟、輝、距和徒直接倡求得圖，而渣是需絕要全鵝部節(jié)彩點差赴分方凱程組檔成方慨程組既聯立暈求解跑。因證此稱鳴這種足差分盯格式叛為“憂隱式奪差分瘦格式腿”。氣隱式泳差分潔格式客還有怕其它觀多種落形式俯，（3-露21）式丘是所脹謂的亂“完兆全隱逗式差制分格參式”佳?！?暫.2洗.3六點毫差分刪格式疤（C-指N格式煙）——時間股中心寒差分設節(jié)填點（i，j，k）在鏡時刻tn=n△受t的溫子度為調，胳在時螺刻tn+灣1=（n+則1）△t時刻研的溫駁度為晃，是在時漏刻偽的回溫度卡為億。測我們負對榜時刻妖節(jié)點壤（i，j，k）的域微分萬方程列差贏分方砍程。倆對等朵式兩書邊均鋪采用斤中心猶差分飄近似某：(3乒-2柄3)(3脫-2勇2)(3綿-2何4)將式參（3-噴23）和由式(3購-2自4)代入泰式（3-崖22）得賴：(3擊-2必5)又有(3娃-2作6)代入撈上式冊得：在Δx=Δy=Δz時，兄整理缸得：(3播-2玩7)該式口表明tn+報1時刻7個相琴鄰節(jié)利點的懇溫度樹值與渴上一糠時刻辨（tn）全獄部相取應節(jié)狐點的滾溫度直有關尾。在立一維獎空間開情況昏下是破一個婦有六孫個節(jié)龍點溫響度值訴的方稱程，債故稱簽為“潛六點庸差分鈔格式?！?，哀有時妻又稱慕為Cr暖an勇k-Ni援co長ls葵on差分抵格式鏡，或絡簡稱C-君N格式伯。它磨也是恨一種尺隱式輔差分丸格式楊，具逗有截要斷誤畢差小曾，穩(wěn)渠定性倉好等盼優(yōu)點謝，在月實際市計算煤中也瓣經常裁被采歷用?！?允.2饑.4帶權電差分秒格式由式(3沈-1何8)、(3蘆-2億1)和(3珍-2涂7)可以音看出級，上揉述三重種差論分格如式所哀對應嚴的微袍分方問程可于歸結錢為一筆個通邀用表掙達式貨：(3散-2另8)式中鄭采并用向生前差維分，μ為權銜系數燈，其由取值腫范圍興為0≤艱μ≤糕1。當μ=爆0時，含式（3-底28）與優(yōu)式（3-木18）相聞同，清得到宗顯式中差分涌格式出；當μ=軟0.呆5時，設式（3-旗28）與脆式(3孫-2本7)相同殲，得起到六邀點差督分格盜式；當μ=址1時，始式（3-呼28）與痕式(3杏-2繼1)相同棉，得惠到完聯全隱遼式差纖分格宏式。μ也可題取上羽述值柿以外杠的其百它值撕，即倡對當爸前時砍刻和馬下一粗時刻烏的二具階偏挑導數泉給以沫不同騾程度茫的重倘視，頭這時后便得妨到所聲謂“劑帶權姨差分百格式次”。由于苗除μ=硬0外所黑得到胃的差亦分格賣式都吐是隱叮式，些因此孤，式意（3-等28）也臉被稱格為“陡一般利隱式負差分核格式儉”，悟相應躬的差徑分方狹程為群：當△x=耗△y顏=△傻z時，卡經整律理得助：(3礎-2宣9)§3塑.3不同鏟差分神格式番的特位性差分姐方程梨的解巾是對存微分貿方程謎解的路近似貓。不蔑同的忙差分歪格式盈在計詞算中立表現嘆出不糟同的熔特性菊。例今如：第截斷乏誤差東不同鏟，即忙解的性精度干不同妖；求欲解方登法簡售易不飲同，傷即編泰程計惹算的鼓工作艦量不劃同；著穩(wěn)定戲性不雁同等騾等。澆在實代際計進算中耗應綜醒合考營慮各申方面相選用綠恰當謙的差滑分格菜式。引但首揀先要賢考慮虧的應儲是使偶有限獄差分茶法所年求得罩的解孫盡可摧能準局確地覆代表疫原來足微分歪方程騙定解聽問題適的真私實解搜，為將此差藏分格食式應息具備挎以下忍特性劫：①差化分格爬式必跑須滿皂足相容瘋性（正雅確性黎）。院所謂餅相容蔽性，售是指蓄當差謠分格沃式的碎步長澤△x，△y，△z，△t等趨橡近于舍零時千，內旺節(jié)點剪的差鍋分方育程應蕩趨近借于微妻分方矮程，見定解鹿條件橋的差屢分形小式亦拍應趨米近于嘗原定嗎解條堤件，騾這也鉆就是西說，蛋從微第分方猾程定及解問強題到侮差分咳格式懇的轉愁變應涼該是撇可逆添的，梨否則除即稱棕之為墨不滿所足相活容性蘋要求醋。②差找分格儀式的狼解必召須滿蹈足收斂原性。這嚷里所梁說的墻收斂硬性，超是指有差分南格式鵝的步座長趨派近于散零時驅，其炊代數耗方程浩組的受解應煩趨近莖于微向分方授程定針解問羞題精博確解帖的值巡壽。滿足體相容序性是運滿足橡收斂役性的暑必要邁條件釣，但堡不是嘗充分提條件妄。因草為要蘿滿足孟收斂纖性還脾與諸雙如差缺分格低式的性類型親及其譯求解勁過程塵等其腦它因曾素有巷關。③應槐盡量炸保證渴差分驅格式德解的準確刺性，這敗里所墊說的益準確界性，佳是指朗差分授格式炊中代條數方虛程組泰的解旺接近妨微分山方程枯定解辟問題跌解的會程度媽。前面緊介紹愁的各唯種差籌分格迫式都樹能滿滔足相潑容性僑的要伶求，但即當啄距離賊與時柿間步備長△x，△y，△z，△t等趨承近于肉零時笛，各權內節(jié)菜點的示差分勾方程遮趨近謝于微灑分方酒程。懷至于舒收斂鬼性，巡壽根據軌計算掛數學老的有申關論緣瑞述，樣象我傘們所竊討論中的傅冠立葉糊導熱硬微分徑方程喜這類婆拋物澡線型忘的偏依微分排方程呼，它賄所對兇應的升差分句方程殖的收匙斂性毀是以倡穩(wěn)定爪性形刑式表流現的翅。§3錢.3再.1差分搭格式梅的穩(wěn)妻定性§3涂.3摟.2差分理格式蠶的準該確性——精度§3躁.3總.1差分駛格式豪的穩(wěn)盡定性所謂榆差分節(jié)格式謊的穩(wěn)立定性演就是杯其解李對于給初始刃條件竄和邊浸界條鵲件的殖敏感蓬性。盒一般棉概念籍可描運述為鐵：如蹄果初曬始條慕件和必邊界害條件援有微導小變抱化，程最后良的解肚是否培也只刮有微延小的則變化?如果欲變化枕微小餐，則境稱解滔是穩(wěn)釣定的列，亦略即差轉分格琴式是行穩(wěn)定嘉的，拳否則財就是創(chuàng)不穩(wěn)榆定的右。保證辣求解啞結果付的穩(wěn)盼定性燈在實蘋際計康算中榮極其魔重要圾，這紡是因圍為：叮①初恩始條備件與待邊界記條件歇中有俊很多苗是實騙測數同據或油經驗雀數據棒，測錦量誤決差難乎以避蹄免，何如果羽這種篩測量油數據晨的分跑散性記會導擁致解拆的不妨穩(wěn)定陸，則部整個斤求解候過程席就失煎敗了倒。②憂對實股際問所題進殊行模沸型化犬的過尼程中矛，有們許多確簡化扒假設肢和近基似處張理，剛這些剖都與思實際蓋情況愿存在順著偏溉差，迫如果喉數值間解不問具備惑穩(wěn)定載性，好這些據偏差鍋就會類導致喜一個黑遠遠自偏離顧實際紫情況銅的計金算結隔果。爭③計瞇算機牢進行稱數值及計算僅過程旗中不狼可避丈免地朱會有干舍入泰誤差置（因犁為字鄭節(jié)長朝度有摧限）橋，如外果這治種舍息入誤柏差在靜計算駕過程閑中由身于被社不斷荷積累送放大啄而導昂致解魄的發(fā)處散，騰則最液后得雅到的誤結果繩是不輩可靠堅的，噸甚至偉是錯班誤的倉。由（3-上29）式捷可得書到對伙各種幅差分哲格式工的統(tǒng)獸一的班穩(wěn)定必性判添據：（3-用30）其中逼：茶；μ為加權權系灣數，笑。此式刑的物毯理意搖義基塔于這今樣一椅個事競實：頌某一像節(jié)點忠下一住時刻納的溫爬度值索受其捆當前新時刻嘩溫度詠值及屑其相卵鄰節(jié)品點溫爆度值爭（包慮括當譽前時臉刻和暈下一械時刻雖）的騰影響賀，這惑些影困響都降是“做正向儀”的述。即劍某一私節(jié)點緒當前骨時刻違的溫領度值禁越高港，相側鄰節(jié)故點的曬溫度米值越騙高，聯則該裹節(jié)點加下一濱時刻音的溫鞏度值席也越作高。據此雖式分茅析，后前述直各種吧差分拒格式恨的穩(wěn)崗定性法為：①顯絮式差錯分格綁式：μ=概0，穩(wěn)辟定性翁條件污為0＜1－6f村≤它1求解圍得：（3-赴31）由f的定胖義式磨可知閑，為艇了滿旗足穩(wěn)急定性俯條件窯，在段距離水步長氏△x、△y、△z和時爹間步里長△t之間和存在戲著相美互制參約的襲關系協。一患般在顛實際惱計算洗中，矮大都榆根據抱物體躍的具踩體尺宣寸和欣對結影果的滋精度擺要求士首先恩確定漠△x，此張時△t的選卸擇就逢受到某限制扔，即流必須斑滿足偷：②完扭全隱磁式差魯分格鐘式：μ=垂1，穩(wěn)桌定性椅條件穗為此時f取任鬧意值租都能娃滿足白要求華。因曠此，氣采用究完全樣隱式姑差分垮格式裹時對劣距離胸步長協△x、△y、△z和時調間步喚長△t的選貿擇是裝無條屬件約右束的昌。因副而這被種差算分格堅式又純稱為悶無條貓件穩(wěn)粘定格說式。（3-凱32）③六熱點差璃分格敬式：μ=來0.們5，穩(wěn)徑定性舉條件褲為求解曲得：（3-貌33）可見炕六點靈差分丟格式窄也是仔有條芒件穩(wěn)賽定的攤，但蔬其穩(wěn)驢定性再條件飽要比兇顯式需差分固格式慨寬一吧倍。④加盒權差熄分格搶式：0＜μ＜1，穩(wěn)睡定性納條件笑為1-察6（1-家μ）f＞0即：狹（3-妄34）分析掏上式夫可知懇，如μ＜1，則常差分抖格式朱是有痰條件層穩(wěn)定蘆的；仗如μ=成1，則誓差分潛格式瞞為無笑條件堡穩(wěn)定圓。由蠻此可壤見，艘上述耍差分疼格式漸中除點了完椒全隱寬式差桶分格啊式外桑，都婆是有綿條件猶穩(wěn)定板的。霞隨著μ值的激增大市，其蘋穩(wěn)定悶性條皆件逐填步變漏寬，亂即穩(wěn)演定性禍逐步棒增強逃。§3竟.3軌.2差分勸格式泉的準估確性——精度準確館性，炒即精徒度，啊主要圾指有倚限差對分這級種數倆值計蠟算方匆法本辮身所資具有拘的近繪似性猴，亦侍即不噸同差快分格離式所曬帶來撞的不貞同誤咳差。慚事實據上影詠響最室終求隆解結呼果精拿度的禮因素龜很多叫，包寨括代染數方掏程組轟的求軌解方南法，什計算用機運良算過龍程所油帶來句的誤勁差，帆以至最程序膨編制絕的技字巧等穴。這轟些因凡素在森實際你計算師中均搏須予春以考體慮，都但在墊這里成我們譯只討糟論差做分格盈式的斧準確廳性差分剛格式準的準鞠確性箏只有慕在其練穩(wěn)定桐性得含到保客證的女基礎呈上來上討論難才是胳有意造義的當以蘆差分萍來代嶺替微濾分時踩，是雀略去告了其繼泰勒汁展開盞式中酷的高鬧階項亦，從右而帶委來一蒼定的退截斷植誤差役。前鹿面討潑論的色幾種顏差分昆格式非，其奮主要場區(qū)別堪是對愿時間師偏導召數項葛的處撒理不類同，次而對克空間辦坐標盛偏導韻數的飛處理然并無腔不同年。由欠于向警前差敞分與倆向后介差分雷的截煉斷誤演差較移大，賊而中趣心差艘分的火截斷彩誤差乞較小孩，因秩此可恥以認鑰為顯彈式差稼分格南式與師完全南隱式澇差分觸格式貞的精合度都隔不如C-賽N格式宿。但念僅以白此為曠依據變就作塊出判費斷是鴉比較墓粗糙陰的嚴格傲地判炊斷各棍種差息分格茂式的吹準確襖性，且應通逼過將笨其結頃果與佛精確倆解進擁行對塑比。撫可用余如下侄方法宿進行侄一種撥定量稈分析考慮秋節(jié)點重（i，j，k），農在tn+算1時刻吹的溫用度為嚇，在tn時刻泡的溫百度為優(yōu)，起而其測相鄰揉節(jié)點戴的溫洞度保告持為0，即現在演我們瓜考察上一下滋與亮的關判系。陣將傅頌立葉幸方程散（4-造6）式添的右雙邊寫盛成差跨分形貧式，驅而左認邊仍萍保持替微分祥形式捏：當傲時，槽有（3-刷35）或寫謀為：（3-雪36）將上勝式分爹離變頃量后通積分蓄，并腔取積領分區(qū)廟間為味一個牢時間互步長附△t，則蛾有：(3尊-3泉7)(3該-3歉8)即式中式（3-軟38）為宜式（3-蓮36）的籌精確騙解，巴它表賀明，概在△x保持騾不變渴的情破況下協，隨飄著△t由0→聾∞，夸值峰由般值勻逐漸作衰減管為0。由（3-膝18）式皺，對推于顯經式差羨分格領式有軋：(3別-3礦9)由式攻（3-廟21）；壤對于聯完全章隱式掘差分病格式王有：(3嚼-4消0)由式部（3-湖27），砌對于蛾六點腎差分轉格式凍（即C-讓N格式療）有幣：(3匯-4鍵1)將（3-乞38）式盜、（3-戀39）式雷、(3練-4島0)式和(3牙-4廣1)式描改繪成長函數雁圖形嫩，如劃圖3-坦3所示泡?？赏┮钥纯食?，慌當f值很堂小時棉，各茫種差晴分格難式很宅接近底于精把確解廳；但覺當f值逐躲漸增迫大時院，不貢同差嚼分格個式的陰情況秩就大辟相徑料庭。括在f較大邀，如f=莖1/榮6時，C-昆N格式慕與精容確解憐最為員接近簽；當f繼續(xù)陽增大簡時，C-戴N格式喚與完烏全隱逝式格環(huán)式比狐較接覽近精侄確解皺。需要若指出梯的是橋，上父述分烤析只元能說睬明由胸于對望項采疏取不脖同的蝕差分暢近似解而導別致的過不同瞞差分啦方程劈燕的相呈對準呈確性膀，并許不能疫說明肥一個母具體鵝差分疤格式乏的絕艘對精別度。頸事實閥上，皆差分盲格式提的準瓶確性陣除取鄰決于販差分霧方程跨本身緣瑞外，率還可雨能受將到邊揀界條煌件差冷分化育的影變響。圖3-召3不同便差分投格式滾的精抗度和雪穩(wěn)定南性§3理.4直接固差分暗法與釣邊界練條件按的差號分化§3約.4徹.1直接殘差分夢法§3閣.4灑.2邊界粉條件書的差毫分化§3裹.4欺.1直接鐘差分粒法除了綁基于餅導熱潔微分爆方程搬用差捐分代勉替微訴分來截建立都差分裹方程畢外，詠還可籠將熱爺傳導浸定律滿直接葵應用挽于經齡網格穩(wěn)剖分被后的零單元糠體，覺通過端能量裙平衡脊列寫女差分巡壽方程蛙。這晝種方洲法就貢是所孝謂的絹直接島差分犁法，球有時貸又被域稱為獨單元都熱平殺衡法看。如副圖3-碑4所示狡的二獎維節(jié)佛點（i，j），州其能花量平紗衡為飼：當λx=λy，△x=攏△y時，脅整理雪得：這是蔥二維路顯式籠差分若方程濟，與南用差稠分代羊替微義分由找微分寒方程熟得到慎的結驢果相唉同，便同樣巾用這田種方么法也金可得尺到各虹種隱某式差殘分格商式。直接淘差分站法的艘優(yōu)點合有三稼：首先緒它不嘩涉及慢偏微鴿分方飲程等殿較為替復雜比的數液學概愧念及嗽處理孫，物億理意傾義直爺觀清猾晰，耐容易爐理解旱。其次川，它舊能夠堆用于趙不規(guī)鐵則網瀉格剖勒分，鑒在處扶理復狀雜幾叨何形荒狀方量面具孟有獨鴿特優(yōu)騎勢。此外曬，它序充許渣不同償單元牽采用醬不同渡的熱嘗物性鈴值，夢因而毒可方骨便地健處理倘不同蛾材料習組成容的系醬統(tǒng)問痰題?！?輔.4驕.2邊界肅條件簽的差累分化①給腳定溫月度的鉛邊界猛條件這種錫邊界憐條件刻的差每分方見程可能直接鑒寫出城：（n=控0,米1閘,動2,雖3凈,通…）凍（3-勝42）式中Tw為物央體表徑面或傭邊界飛處的愈溫度算，Tb為邊吃界節(jié)直點溫都度值輕。Tw可以跪是一丙個恒則定值富，也拆可以團是一脹個隨壤時間皮變化顧的函暖數，租但無造論如凝何，歷它都巾是已極知的僚。②對某流換盲熱的厲邊界戀條件如圖3-犬5所示奇，Tl，m，p為對機流換埋熱的妻邊界擇節(jié)點濕溫度水，Tl-嫁1，m，p為與灰其相觸鄰的珠內節(jié)沖點溫刺度，Tl,貧m,券p-星1，Tl,盲m,士p+漲1，Tl,向m+兆1,晌p，Tl,各m-乎1,纖p為其濱相鄰酷邊界更節(jié)點湖的溫戶度，拒環(huán)境士溫度粉為T∞，對否流換安熱系影數為h。單智元熱錄平衡傍式如相下：當λx=λy=λz=λ，△x=悠△y據=△賣z時，多整理值后得沫：（3-編43）此式涂是一五個顯絮式差獎分形雕式，辟其穩(wěn)優(yōu)定性當條件機為：求解哨得：（3-達44）與（3-固31）式此比較屆可見獵，該喬條件牙比內說節(jié)點熔穩(wěn)定冊性條滋件更筑苛刻姻。對流遇換熱膽邊界計單元慕的熱賣平衡壯也可染寫成代隱式夢格式亡：當λx=λy=λz=λ，△x=面△y寒=△爹z時，情整理營后得宴：（3-旨45）該式逐是無銅條件雜穩(wěn)定梨的。③輻爭射換啊熱邊悄界條完件對于充具有全強烈耐非線灰性函明數關銀系的大輻射載換熱引邊界漸條件棵，也稼常按情對流浩換熱弊那樣郊的線庭性關橋系進婦行簡遮化：式中hr為輻繞射對角流換偷熱系輔數。檔此這親種邊價界條揚件的堪差分綱方程應與對攻流換準熱邊絨界條該件的輕相同隆。但示在輻割射換敬熱起籃主導御作用盈的情強況下戶，一默般都魔有T∞＜＜Tw，常喇將T∞忽略鞭不計魄，于瘦是對子應于爬式（3-南43）和川（3-所45）輻慮射換輩熱邊詢界條茫件的灑顯式胖和隱賴式差狗分方論程分障別為翻：（3-健46）（3-駝47）④給石定熱家流的陳邊界常條件如圖3-矩6所示糞，邊原界節(jié)益點（l，m，p）處悔由環(huán)嚼境流腰入節(jié)茶點的踢熱流湖量為q。我藏們通擁過節(jié)督點（l，m，p）的荷單元流熱平蒜衡法弱來建布立其免差分樂方程秤。當λx=λy=λz=λ，△x=怖△y梨=△膝z時，討整理慢后得言：（3-示48）用單狐元熱沾平衡慕法也交可得巴到該滑邊界躍節(jié)點裙的隱常式差戴分方臣程：當λx=λy=λz=λ，△x=傷△y鬼=△謊z時，虹整理碧后得注：（3-從49）絕熱茶邊界竹條件摧是這究種情辣況的火特例曠：q=沿0。代徹入式倡（3-貫48）和賣（3-令49）就屢可得賞到相鑼應的巖顯式廈和隱徐式差拔分方凱程：（3-呆50）（3-壩51）邊界偵節(jié)點喉的情碰況是歉復雜乒多樣排的，爸實際亂應用等中需淚要根崗據其杠實際緩情況檔由能泡量平團衡寫鈔差分態(tài)方程友，不倘可能掠找到瓶一個睡適合爬于所姨有邊羅界節(jié)扔點的廟通用邊差分鉛方程拐。另乏外，雷在二花維或梅三維鉆問題撥中，趕物體襖不同澆邊界艇可能狡具有崇不同純的邊券界條轟件。華這時姥會遇廢到二普個邊錦界的勸端部策節(jié)點索究竟哥屬于脖哪種膜邊界拜條件貪的問賞題。笑例如瞧，一貞面是紀第一禾類邊紀界條岸件，艦一面毀第二蛛類邊集界條蔑件。跌此時修，可噴根據壯實際膏情況泰酌定邀其歸戒屬，媽但切饒記每嚷一個悶邊界欲節(jié)點但只應杏屬于閑一種疾邊界遵條件桑?！?包.5有限俱差分鎖與有宋限元較網格丑剖分數值潛計算笨作為青微分潮方程世的一負種近脊似求筋解方傳法，涌其本輪身并陰非源勿于計嗓算機鍬技術貞，但歉計算帝機技以術的宵發(fā)展宵為數扶值計搏算提乖供了們有力京的工飽具，躁使實抵際問匆題的岔數值禁計算大成為要可能壇。借助凝于計錦算機訓，我恩們不劇僅可牙以實協現計祖算過吃程的遇自動草化，叼還能呼夠實囑現計誘算結站果的敬可視歌化。為了廉實現胃這些此目的慣，需爆要對歪鑄件茂實體面幾何長模型副進行示離散稿化網適格剖宅分。搞雖然示網格宋剖分酬可以剃通過念程序修的編星寫與纖運行隊來自謊動完潛成，剪但同冊一個武實體醉的剖朱分結碌果不壓是唯底一的疤，可畫以多然種多生樣，推其中傳存在兄著很拜大的鹽靈活柏性與游技巧普性。對鑄四件實衣體進某行網猜格剖斑分的腰目的光是，訓將鑄銀件實亮體進前行空藍間離布散化堅，生脾成節(jié)汁點集喘和相主應的背單元窩（又訓叫節(jié)錄點領載域）繭集，牲并對發(fā)各個送節(jié)點歉（或巷單元冤）進視行編濕號，恭建立蠅各節(jié)盛點（甜或單掉元）倚的特坑征描忙述：運相鄰筍節(jié)點靠，ΔV培i，ΔS侵ij其,Δ虎Li敘j,血ρi，Ci，ki等。對于淋有限子差分艷法，掃常用才的網與格剖房誠分法神有：①等桂間距過直交舉剖分各節(jié)禾點構度成立新方點蟻陣，搞相應撥單元惹體均否為相茄同尺音寸的布立方嬸體（Δx=Δy=Δz），朗如圖3-錄7所示杰。這筆是最戴為簡諒便的聚處理飾方法洋，易好于實稀現網謹格自總動剖君分，南節(jié)點原方程克形式標簡單傍，單柿元特尺征描臟述簡亡單，僑占用缸內存列少，攪程序謠結構惹簡單勁，運薦算時猴間短鈔。②不庫等間招距直斑交剖橫分根據狼局部畢溫度乖梯度尊變化料劇烈示程度桑的不草同，弄在不盈同方臂向或泛不同套部分確的節(jié)鎮(zhèn)點間查距采循用不醫(yī)同尺汽寸，祖即Δx館≠Δ迎y≠莖Δz，或Δx缺1≠們Δx跟2≠罷Δx專3在溫夠度梯鬼度變礦化陡乏峭的勾部位堅或方捧向，梳節(jié)點向間距客小一飽些；涼在溫籍度梯柱度變謠化平隱緩的栽部位網或方盼向，班節(jié)點迎間距狹大一矮些。朱這種鳴剖分哲法不米論是滾節(jié)點啞（單罩元）項特征沙描述矩，節(jié)菜點方墓程形胡式還谷是程斤序結然構都圖要比廁前一緒種剖鴨分方塞法略砍微復押雜一拐些，惜但節(jié)溫點數伐目減毀少，符從而芒計算忽速度燙加快墳。a)等間傘距直器交剖晶分b)不等鮮間距微直交蘋剖分圖3-志7二維辯空間杰中的另直交伶剖分③隨艷形剖頸分直交積剖分族法共油同的歉優(yōu)點嗎是剖虎