第七章能帶理論一

第七章能帶Ⅰ

EnergyBandsⅠ1固體中電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)其力學(xué)、熱學(xué)、電磁學(xué)、光學(xué)等物理性質(zhì)具有非常重要的影響，因此，研究固體電子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的理論（固體電子理論）是固體物理學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。引言固體電子理論包括經(jīng)典自由電子理論、量子自由電子理論和能帶理論。特魯?shù)?P.Drude)在1900年提出的經(jīng)典自由電子氣體模型。它將在當(dāng)時(shí)已非常成功的氣體分子運(yùn)動(dòng)理論運(yùn)用于金屬，用以解釋金屬電導(dǎo)和熱導(dǎo)的行為。1928年索末菲(A.Sommerfeld)又進(jìn)一步將費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)理論用于自由電子氣體，在經(jīng)典自由電子氣體模型的基礎(chǔ)上建立了量子的自由電子氣模型，解決了經(jīng)典自由電子氣模型在金屬電子熱容、磁化率等問(wèn)題上遇到的困難。2回顧自由電子模型的假設(shè)，再對(duì)照上述與自由電子模型不相符合的試驗(yàn)現(xiàn)象，自由電子模型的主要問(wèn)題出在對(duì)于固定離子與電子的相互作用的處理上。特魯?shù)碌哪Ｐ图僭O(shè)電子除碰撞瞬間外，與離子晶格無(wú)關(guān)，也即假定晶體中的勢(shì)能為零，因而在其中運(yùn)動(dòng)的電子不受束縛而是自由的(自由電子假設(shè))；碰撞后的狀態(tài)與碰撞前無(wú)關(guān)(碰撞自由時(shí)間假設(shè))。這是一個(gè)大的簡(jiǎn)化，進(jìn)一步固體理論的發(fā)展就從這里入手。實(shí)際上，晶體中的離子是有規(guī)律地排列的，電子也并不完全自由，它們的運(yùn)動(dòng)要受到組成晶體的離子和電子共同產(chǎn)生的晶格周期性勢(shì)場(chǎng)的影響。因此，1928年，跟索末菲提出他的自由電子氣模型的同一年，布洛赫(FBloch)首先運(yùn)用量子力學(xué)原理來(lái)分析晶體中外層電子的運(yùn)動(dòng)，闡明了周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子所具有的基本特征，為固體能帶理論奠定了基礎(chǔ)。但是：索末菲量子的自由電子氣理論仍有對(duì)不少物理性質(zhì)無(wú)法解釋。如：有些金屬霍爾系數(shù)為正；固體分為導(dǎo)體、半導(dǎo)體和絕緣體的物理本質(zhì)等。3自由電子氣真實(shí)晶體中的電子4電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中并不像自由電子那樣完全不受任

何力的作用，電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到晶格中原子周期勢(shì)場(chǎng)的作用。能帶理論的基本出發(fā)點(diǎn):固體中的電子不是完全被束縛在某個(gè)原子周圍，

而是可以在整個(gè)固體中運(yùn)動(dòng)，稱為共有化電子。能帶理論的基本假設(shè)5是什么原因決定了固體是導(dǎo)體，絕緣體，或者半導(dǎo)體?固體的能帶結(jié)構(gòu)！

自由電子理論忽略了電子與原子實(shí)和其它電子的相互作用，有局限性。能帶理論認(rèn)為電子要受到一個(gè)周期性勢(shì)場(chǎng)的作用。6電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中要受晶格原子勢(shì)場(chǎng)的作用能帶論的基本出發(fā)點(diǎn):固體中的電子可以在整個(gè)固體中運(yùn)動(dòng)

能帶論是單電子近似的理論。用這種方法求出的電子能量狀態(tài)將不再是分立的能級(jí)，而是由能量的允帶和禁帶相間組成的能帶，故稱為能帶論。能帶論是用量子力學(xué)研究固體中電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。7能帶理論——研究固體中電子運(yùn)動(dòng)的主要理論基礎(chǔ)能帶理論——定性闡明了晶體中電子運(yùn)動(dòng)的普遍性的特點(diǎn)——晶體中電子的平均自由程為什么遠(yuǎn)大于原子的間距——說(shuō)明了導(dǎo)體、非導(dǎo)體的區(qū)別8物理學(xué)前沿之一材料的性質(zhì)大規(guī)模集成電路半導(dǎo)體激光器超導(dǎo)人工微結(jié)構(gòu)能帶理論是固體物理學(xué)的核心部分之一，具有極重要的意義。能帶理論促進(jìn)了半導(dǎo)體科學(xué)的發(fā)展，并對(duì)當(dāng)代高度發(fā)展的微電子工業(yè)作出了奠基性的貢獻(xiàn)。9§7.1近自由電子模型101.近自由電子模型近自由電子模型認(rèn)為：電子在晶體中要受周圍勢(shì)場(chǎng)的作用，但這個(gè)勢(shì)場(chǎng)的平均勢(shì)場(chǎng)是一個(gè)很微弱的勢(shì)場(chǎng)，平均勢(shì)場(chǎng)是周期勢(shì),由于很弱，可以用量子力學(xué)中的微擾論來(lái)處理，這時(shí)Shodinger方程中的哈密頓量既有動(dòng)能又有勢(shì)能。11

這里，這樣可用自由電子的波函數(shù)代替電子的零級(jí)波函數(shù)，用微擾論求解Shodinger方程，這樣一種物理模型稱之為近自由電子模型或準(zhǔn)自由電子模型，這也就是Sommuefeld的自由電子模型再加上弱周期勢(shì)的修正。1213

對(duì)于一維點(diǎn)陣（點(diǎn)陣常數(shù)為a），電子的波函數(shù)若k遠(yuǎn)離BZ邊界時(shí)（即時(shí)），電子波不受Bragg反射，從各原子散射的波沒(méi)有確定的位相關(guān)系，對(duì)入射波的傳播無(wú)什么影響，與x-ray在晶體中的傳播是相同的。2、能隙的起因14但當(dāng)時(shí)，如，此時(shí)平面波滿足Bragg條件，波程差為2a，相位差為2π，從相鄰的原子反射的波有相同的位相，發(fā)生相長(zhǎng)干涉，產(chǎn)生向反方向傳播的波，這個(gè)波同樣受到其近鄰原子的Bragg反射，再一次反向，這樣就形成了向相反方向傳播的兩列行進(jìn)波，平衡時(shí)兩波疊加形成駐波。15有兩喜種形嘩態(tài)的貝駐波謙：炊這鼻是由翠自由莊電子要的行是波在Bz邊界論上的Br搞ag氧g反射限而形貍成的紫，兩掀個(gè)駐稀波使雖電子躲聚積拖在不符同的譽(yù)區(qū)域池內(nèi)。1617下面盤我們椒分別站計(jì)算廈一下溪這兩聯(lián)種情份況下記電子愿的平翅均能媽量。肢∵ρ（+）這種搭分布僅時(shí)的助能量雀低，ρ（-）分布紀(jì)時(shí)能掀量高腦，電望子的搖平均炮能量蛛是不尚同的旗，沒(méi)扮有周飄期勢(shì)湯場(chǎng)的井Ｅ-k曲線笑是一零條拋棵物線啄，在血有周迷期勢(shì)搬場(chǎng)存定在時(shí)價(jià)，在Bz邊界養(yǎng)上分央裂成李兩個(gè)殲波函濁數(shù)，幸相應(yīng)再的能從量也爭(zhēng)分成灘兩個(gè)瓦，一頂個(gè)E+、一個(gè)E-，可以華證明壩，對(duì)熔的電熄子的猴能量菜與畝的塵電子倡的能掏量是雞不同洽的，毒這個(gè)蜘能量套差就爛是能仍隙，破這個(gè)糕能隙壇就是治所謂啊的禁置帶。18為簡(jiǎn)賴單起死見，殖我們脹考慮班勢(shì)場(chǎng)競(jìng)是諧工和勢(shì)妥（簡(jiǎn)校諧勢(shì)著）疏對(duì)冶于L=姜1的單難位晶斜體：=喇=為歸謹(jǐn)一化篇因子修，對(duì)ρ（+）.載ρ（-）計(jì)算康平均增能量ρ（+）:聲ρ（+）ρ（-）:謙ρ（-）ρ（+）-駕ρ（-）19=膽(蜓-行)桐=20實(shí)際候的勢(shì)摟場(chǎng)并卵非是帝上面繩的簡(jiǎn)瘦單形棕式，板而是單一個(gè)蠢復(fù)雜愉函數(shù)巨，但逢可用閉倒易需點(diǎn)陣滅矢量悟展成堅(jiān)付氏慎級(jí)數(shù)暢，展茅成余牢弦勢(shì)墓的疊壇加，臨在一決級(jí)近池似下磁，在Bz邊界氏都有記能量肥間隙介。=能隙懼的大牽小等箭于相董應(yīng)的掠傅立毯葉分代量，Un是收舟斂的瓦，能犯隙的爆寬度鄰越來(lái)斥越小章。21電子鏟在運(yùn)叢動(dòng)過(guò)站程中副并不小像自盞由電叮子那慘樣完蘆全不地受任階何群力的唐作用咳，電槐子在蘋運(yùn)動(dòng)驢過(guò)程頂中受跳到晶蓄格中性原子陰周期勢(shì)慘場(chǎng)的旱作用將。能帶件理論辨的基忌本出娛發(fā)點(diǎn):固體甲中的構(gòu)電子打不是最完全光被束沃縛在圖某個(gè)梯原子雷周圍骨，警而墓是可戴以在姜整個(gè)搭固體糾中運(yùn)貸動(dòng)，綠稱為臺(tái)共有夢(mèng)化電繁子。能帶理論畏的量壘子力坑學(xué)講填法初霜步22利用揭上式壘可以萬(wàn)得到占多粒剃子體榜系的看能量六本征驗(yàn)值及錯(cuò)其相販應(yīng)的死電子畜本征磚態(tài)，埋但是認(rèn)嚴(yán)格秀求解增這樣鉤一個(gè)租多?？芋w耳系的芝薛定進(jìn)諤方協(xié)程顯賓然是偏不可踏能的掃，必長(zhǎng)須對(duì)吸方程遇式進(jìn)列行簡(jiǎn)井化。實(shí)際雕晶體鏈?zhǔn)怯审@大量吸電子蠟和原夕子核漸組成發(fā)的多狐粒子冬體系寒。由檢于電墨子與辜電子批、電糾子與兩原子狡核、敬原子美核與序原子學(xué)核之濕間存欣在著腰相互慢作用索，因茄此，湊一個(gè)撇嚴(yán)格遭的固顫體電熄子理城論必故須求鞭解多盡粒子售體系角的薛音定諤燈方程送，即i——電子積系統(tǒng)竹；a——原子上系統(tǒng)23（1）波探恩-奧本繞海默(B太or塊n－Op設(shè)pe瘋nh擔(dān)ei稻me縱r)絕熱稠近似泳：所有航原子租核(或離煮子)都周跟期性躁地靜蜓止排眨列在壯其格霉點(diǎn)位桂置上燈，因隙而忽憤略了攀電子憶與聲重子的明碰撞房誠(chéng)。電子名質(zhì)量m遠(yuǎn)遠(yuǎn)紹小于臣原子惕質(zhì)量M→電子仍速度vi遠(yuǎn)遠(yuǎn)評(píng)大于嘉原子咸核速望度va→原子醋核(離子)不動(dòng)電子竭可看狂作是乞在由艱原子舊核產(chǎn)限生的脾、固鞭定不雄動(dòng)的絡(luò)勢(shì)場(chǎng)嘩中運(yùn)宣動(dòng)。能帶惠理論蜜的三旨個(gè)基倒本假游設(shè)（避近似類）：因?yàn)殚w價(jià)電堪子對(duì)議晶體縣性能迫的影襲響最福大，譜并且顧在結(jié)跡合成括晶體究時(shí)原學(xué)子中燒的價(jià)中電子伙狀態(tài)呆變化抬也最政大，檢而原慶子內(nèi)裹層電獵子狀碌態(tài)變哭化較這小，膜所以執(zhí)，可異以把友內(nèi)層馳電子缺和原侵子核優(yōu)看成搖是一唯個(gè)離亮子實(shí)準(zhǔn)。一券般溫元度下跟，離劈燕子實(shí)貿(mào)總是皆圍繞老其平騰衡位員置做殊微小厚振動(dòng)(晶格嚷振動(dòng))。但墊在零頭級(jí)近俯似下前，晶烤格振物動(dòng)的特影響躬可以行忽略船，價(jià)避電子啞可以記看作欄是在鐵固定什不變濟(jì)的離疫子實(shí)鋸勢(shì)場(chǎng)抄中運(yùn)吸動(dòng)?！粋€(gè)惡多種穿粒子乳的多轉(zhuǎn)體問(wèn)謀題就雄簡(jiǎn)化援成多為電子筆問(wèn)題缺。24于是瘋，多突電子蠅系統(tǒng)特的薛襯定諤圈方程明可簡(jiǎn)脊化為25（2）昆哈特鼓里-?？?Ha穴tr鑒ee－Fo謠ck)平均頃場(chǎng)近市似：多電狐子系荷統(tǒng)的袋薛定瘋諤方乖程仍古不能駱精確杏求解曠。這嘉是因租為任禿何一移個(gè)電管子的屬運(yùn)動(dòng)柄不僅板與它卻自己溜的位群置有慢關(guān)，襯而且撫還與田所有吉其他妖電子漆的位遍置有獵關(guān)；僻同時(shí)僵，這味個(gè)電驗(yàn)子自截身也劫影響壯其他舊電子嗚的運(yùn)應(yīng)動(dòng)，根即所瀉有電擔(dān)子的汁運(yùn)動(dòng)守都是繭關(guān)聯(lián)極的。為了賊進(jìn)一充步簡(jiǎn)盜化，糟可以引利用嶄一種平均欄場(chǎng)來(lái)代漂替價(jià)豆電子猜之間鵲的相鎖互作鎖用：——假定預(yù)每一敗個(gè)電桌子所滴處的局勢(shì)能斥均相夠同，輸從而烏使每艇個(gè)電激子與冰其他網(wǎng)電子迅之間會(huì)的相匪互作撈用勢(shì)序能僅照與該羽電子株所處搭的位夢(mèng)置有氏關(guān)，判而與他其他芬電子蒜的位沸置無(wú)須關(guān)。這樣長(zhǎng)，就乳把一術(shù)個(gè)多非電子桑問(wèn)題心簡(jiǎn)化禍為單掙電子寄問(wèn)題毒。電子i與所擴(kuò)有其甘他電耍子的慕相互奶作用全勢(shì)能電子i與原窩子核臣之間夕的相色互作胖用勢(shì)謀能26（3）水周期護(hù)勢(shì)場(chǎng)險(xiǎn)近似奪：假定墓是理濕想完就整晶鎮(zhèn)體，制每一覺(jué)個(gè)電灘子都鍵處在醒除其政自身脈外其喘他電潮子的獵平均覽勢(shì)場(chǎng)亮和離匆子實(shí)搜產(chǎn)生恒的周已期勢(shì)趣場(chǎng)中泡運(yùn)動(dòng)飽，其得周期警為晶乖格所侄具有厲的周旨期。U(r)寨+u(r)腰=V(r)U(r)—桶—平均敲勢(shì)場(chǎng)施，是事一衡吧量u(r)—犁—離子順實(shí)產(chǎn)蓋生的桿周期界勢(shì)場(chǎng)壺。因此齊，V(r)具有哨晶格僑周期厘性：Rl——晶格藏晶格希平移肚矢量富?！芷跀r勢(shì)場(chǎng)蝕假設(shè)27由體防系的革薛定行諤方朱程導(dǎo)只出單麥電子俱的薛為定諤哲方程蝴：28§7陽(yáng).2車B呈lo乖ch定理29存在賢周期礙性勢(shì)覆場(chǎng)時(shí)季，電指子滿弟足的Sh飾od堤in膠ge底r方程紅為:其中=忘(窮+藍(lán))榴B錯(cuò)lo逮ch定理蟲是關(guān)嘴于周姐期勢(shì)根場(chǎng)中否單電嘉子Sh喚od隙in議ge通r方程蔥的本謀征解圾的形塞式的絮問(wèn)題姨。30Bl短oc挺h定理臨：庸對(duì)方于一藥個(gè)周輝期勢(shì)踢場(chǎng)，形單電繼子Sh鼓od院in吊ge貿(mào)r方程帖的解捎必定工具有刮形式坊：=即波麥函數(shù)稱為一羊個(gè)周群期性蜜函數(shù)玻與一傘個(gè)平屠面波莖相乘贊的形管式，抽其中嫂是一深個(gè)具絞有晶呀體點(diǎn)絮陣周燙期性拖的函彼數(shù)。=（+）慎為點(diǎn)漠陣平嚴(yán)移矢浪量。31把波置函數(shù)走平移工點(diǎn)陣云平移李矢量惡可得根：=波=瓣=這也川是Bl勾oc間h定理見的另廚一種臨表達(dá)州式，預(yù)利用記這種鎮(zhèn)表達(dá)靜式Bl歡oc縮慧h定理譜可敘因述為昂：周期南勢(shì)場(chǎng)號(hào)中單滾電子Sh評(píng)od弟in盲ge湖r方程路的本石征函搶數(shù)牢可拒以這鮮樣來(lái)現(xiàn)選取頓，使浴得與赤每個(gè)抵相考聯(lián)系斤的有舊一個(gè)做波矢等滿獅足：=32它表餅明在跟不同襲原胞弓的對(duì)婚應(yīng)點(diǎn)獵上，襯波函趨數(shù)相泰差一鐵個(gè)位吸相因子哲，但傷由下閣式可難知，助位相漂因子為不影抹響波懶函數(shù)受模的呢大小踩：這說(shuō)錢明：捆晶格悲周期占勢(shì)場(chǎng)豎中的榆電子飲在各鞋原胞俯的對(duì)鋤應(yīng)點(diǎn)螺上出抖現(xiàn)的拍幾率右均相村同，驗(yàn)電子示可以就看作戀是在哄整個(gè)優(yōu)晶體毫中自恐由運(yùn)缸動(dòng)的鋸，這撓種運(yùn)藥動(dòng)稱蛋為電子亭的共播有化勾運(yùn)動(dòng)。=33由Bl忙oc竿h定理彩可得逃兩個(gè)剝重要晚結(jié)論押：〈1舅〉B蔑lo尸ch定理狐表明兼周期掠勢(shì)場(chǎng)惑中電先子的懼本征遼函數(shù)著有Bl蹈oc飼h函數(shù)揚(yáng)的形螺式，苗是一照個(gè)被期周期革場(chǎng)調(diào)弦幅了夢(mèng)的平撥面波使，平掠面波驅(qū)的振險(xiǎn)幅具產(chǎn)有周愈期勢(shì)啊場(chǎng)的兩周期書性，尖這與掛自由喘電子悠的波悼函數(shù)蓋不同針，自炎由電利子的嗽波函頌數(shù)是犬一個(gè)南平面投波。34〈2勻〉B石lo列ch波函這數(shù)是鮮周期巡壽勢(shì)場(chǎng)童中電內(nèi)子的旅本征咳函數(shù)范，這須個(gè)波奶在晶蹦體空豪間是壘自由猾（均癢勻）綢傳播徒的，天既不月隨時(shí)遺間和針空間沫而衰朱減，帶也不蹲會(huì)在血傳播副過(guò)程魔中突沉然改憤變形參態(tài)，訓(xùn)即不杜會(huì)由火一個(gè)Bl俊oc秋h波變佛成另裂一個(gè)Bl博oc里h波。35布洛蟻赫定括理的廁證明——引入平移近算符，證談明平憑移算轎符與我哈密獸頓算輩符對(duì)倒易，兩者佛具有揚(yáng)相同烈的本書征函長(zhǎng)數(shù)——利用周期夫性邊海界條步件確坡定平鼓移算苗符的再本征歲值，最后林給出格電子飛波函獄數(shù)的榮形式36因?yàn)閒(r)是任意育函數(shù)竟，所濫以，TT－TT=0，即T和T可對(duì)巾易定義洞一個(gè)平移昏算符T，使得挪對(duì)于藏任意重函數(shù)f(r)有證明吳：（

＝1,2,3）

：晶格的三個(gè)基矢37因?yàn)閒(r)是任乳意函招數(shù)，著所以峰，T與H也可研對(duì)易友。{＝連1,國(guó)2惠,劣3設(shè)N是晶餐體沿化基矢a（從＝1，2，3）方毫向的犬原胞脅數(shù)，（設(shè)為非簡(jiǎn)家并）T和H有共于同本約征態(tài)設(shè)(r凈)為T和H的共壤同本需征態(tài)：平室移算搭符T的本甜征值朵。引入童周期殺性邊羽界條沫件：晶體睬的總鍵原胞岡數(shù)：N＝N1N2N338周期貝性邊太界條逼件：引入洽矢量h＝整數(shù)花，＝1,學(xué)2泥,眼3怎樣江引入K？39定義個(gè)一個(gè)取新函蛇數(shù)：這表明uk(r)是以格矢Rl為周潤(rùn)期的旅周期棕函數(shù)帖。證畢40二、熄幾點(diǎn)醒討論1.關(guān)于膀波矢k的取紙值與石物理柔意義波矢煌量k是對(duì)涼應(yīng)于靜平移蠢算符詳本征熱值的舍量子衣數(shù)，問(wèn)其物理遭意義臟表示率不同撇原胞老間電呢子波峽函數(shù)庭的位因相變震化。不同知的波看矢量k表示廳原胞岔間的狗位相黑差不港同，死即描饑述晶錢體中駕電子態(tài)不同逢的運(yùn)敘動(dòng)狀償態(tài)。41如果老兩個(gè)編波矢寸量k和k’相差盜一個(gè)覺(jué)倒格區(qū)矢Gn，這銜兩個(gè)疼波矢伏所對(duì)絡(luò)應(yīng)的楊平移柴算符槐本征竿值相仆同。＝1,鋼2蹈,義3為使k的取賭值范淹圍同延平移保算符侍的本街征值碧一一閘對(duì)應(yīng)起，與住討論寧晶格胸振動(dòng)另的情歐況相咬似，敞通常值將k取在亞由各個(gè)姨倒格己矢的同垂直腐平分勿面所圍龜成的這包含冷原點(diǎn)撞在內(nèi)尤的最黃小封帶閉體紡積，鵲即第產(chǎn)一布臉里淵魯區(qū)或第簡(jiǎn)約簽區(qū)中當(dāng)。對(duì)于：對(duì)于：波矢崗量和所描碎述的拖電子忘在晶栽體中宵的運(yùn)蟻動(dòng)狀體態(tài)相歷同。這也粥就是派說(shuō)，江平移漠算符Ta對(duì)這滅兩個(gè)隱波矢橡相差冒一個(gè)岸倒格暗矢Gn的波懇函數(shù)側(cè)有相澡同的端本征盞值。42我們以為三個(gè)直角坐標(biāo)軸，建立一個(gè)假想的空間。這個(gè)空間稱為波矢空間、空間，或動(dòng)量空間*。kx、ky、

kz由于德布洛意關(guān)系，即，所以空間也稱為動(dòng)量空間。注：在空間中，電子的每個(gè)狀態(tài)可以用一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)來(lái)表示，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是2.空間43上式告訴我們，沿空間的每個(gè)坐標(biāo)軸方向，電子的相鄰兩個(gè)狀態(tài)點(diǎn)之間的距離都是。下圖表示二維空間每個(gè)點(diǎn)所占的面積是。因此，空間中每個(gè)狀態(tài)點(diǎn)所占的體積為。

kykx0-112-23-31-12-2-33二維空間示意圖44簡(jiǎn)約季波矢賞：k限制宗在第次一布拆里淵洋區(qū)中斯取值在k空間姨中，波疼矢k的分怪布密狂度：廣延嶺波矢形：k在整觸個(gè)k空間籠中取宵值在簡(jiǎn)約拾布里錄淵區(qū)迫中，德波矢k的取火值總昨數(shù)為每一個(gè)量子態(tài)k在k空間中所占的空間大小:N=N1N2N345現(xiàn)在梢就一維勒情況來(lái)證魂明Bl凱oc疲h定理：佳考慮摸長(zhǎng)為L(zhǎng)的一災(zāi)維晶超體，丈有N個(gè)初貿(mào)基晶華胞，L=噴Na，固體促物理靠考慮增的都挪是理衡想晶袋體，斗不考爆慮邊資界，恭為排薪除晶瓦體的動(dòng)有限役尺寸蒼對(duì)問(wèn)越題的規(guī)限制襖，采錦用周叮期性通邊界什條件馳，即慣把晶直體首旱尾相償接成躺一個(gè)堡環(huán)型列晶體。46Sh梅od暗in架ge挖r方程泡的解如以晶漠體長(zhǎng)史度為察周期蹲重復(fù)惡：籮是蘋周期扒場(chǎng)中岸哈密越頓算矮符的驚本征洪函數(shù)組，豆也店是平奧移算遵符的納本征槐函數(shù):低c為旱算符紀(jì)的本盾征值披。47當(dāng)用幣平移挖算符溜重復(fù)澤作用越時(shí)，耐將肚平移蝕算符瀉在波賊函數(shù)模上作精用N次，悅則：48按周制期性難邊界嬸條件祥：運(yùn)這是編由平喪移對(duì)猜稱性半得到胃的。湖于戶是皺則=令濃（姜周期糞性邊霧界條遼件下k的允賠許值刊）循這正綿是一集維點(diǎn)廢陣中Bl糧oc爺h定理埋的表縫達(dá)式嚷。49對(duì)三笨維晶腥體在x、y、z方向點(diǎn)都用降周期劇性邊暖界條床件和監(jiān)平移端算符廳，同閥樣可晝得：50在以所上的口證明禿中，卷我們漸沒(méi)有社用到頑周期帝勢(shì)的吸性質(zhì)閉和波月函數(shù)攝的具殊體形頁(yè)式，異只用暢了平待移對(duì)井稱性徑，Bl碗oc泳h定理賄是晶擾體平秩移對(duì)采稱性柱的直欺接結(jié)穩(wěn)果，昆不僅登適用居于周陣期場(chǎng)梢中的攔電子士的本涉征態(tài)簽，而吧且適表用于膊嚴(yán)格使具有坦完全翁的平傾移對(duì)旅稱性概的體理系，古它的欺所有緣瑞本征星函數(shù)桌都具態(tài)有Bl宰o(hù)c紫h函數(shù)藏的形姓式。51§7償.3電子超在周精期勢(shì)療場(chǎng)中的壤波動(dòng)包方程52周期技勢(shì)場(chǎng)眠中的Sh濟(jì)od吹in歇ge貿(mào)r方程躁為：=現(xiàn)在嗚我們擠要把Sh扒od極in嗎ge換r方程宵和解珠的形哲式在功波矢鳥空間均中表遵示出畝來(lái)（量子殺力學(xué)慌：表傅象變?cè)頁(yè)Q）53<1雹>勢(shì)函幅數(shù)和桌波函悶數(shù)的旬傅立濤葉分權(quán)析勢(shì)函予數(shù)有囑平移斗對(duì)稱范性，藝總可河以用艇倒易水點(diǎn)陣真矢量抬展成導(dǎo)傅氏廊級(jí)數(shù)1.中心葡方程(久期訴方程討）5455若勢(shì)塔函數(shù)妨具有嬌中心憂反演先對(duì)稱潤(rùn)性：若勢(shì)歪函數(shù)候既是插實(shí)函幫數(shù)又寄具有眠中心垮反演止對(duì)稱叢性:56波函帥數(shù)：需一晝個(gè)波涉函數(shù)趁可對(duì)生波矢k展開慈成傅輸氏級(jí)今數(shù)，板在周伙期性爸邊界源條件漢下：糊（n為整降數(shù)）姻在棚波矢忽空間隊(duì)中關(guān)內(nèi)鍵就云是c（k），只要c（k）已知伏，則混在K空間駝的形腫式就蜻知道創(chuàng)了，很此時(shí)扯就唯撓一確繞定了詞。57一維堡空間泳的Sh援od咳in克ge盛r方程：〈2蒜〉中心愈方程外的推靠導(dǎo)把波抗函數(shù)瘦和勢(shì)兵函數(shù)津展成危傅氏燒級(jí)數(shù)綱：58則一笨維情俯況下的Sh辣od榮in瘦ge僑r方程不變?yōu)槟荆?9任意危指定景一個(gè)質(zhì)傅立織葉分兩量K0（一息個(gè)波首矢代劈燕表一借個(gè)分箏量）攝，這散是邊諷界條滴件允身許的K值，株我們頭看一衣看各嫂項(xiàng)的塵系數(shù)晚：于是鞭：60任何愛一個(gè)摸傅立翅葉分喉量的蠻系數(shù)遷都應(yīng)位滿足車這個(gè)綠關(guān)系播：式中匙的K是邊緣瑞界條藍(lán)件允涂許的剝?nèi)我庹乱粋€(gè)K值.于是映得到窯中心屋方程物：61①中乎心方碌程是餓一個(gè)傾代數(shù)元方程謹(jǐn)。由真弊實(shí)空悉間中鵲的Sh已od發(fā)in瞞ge柳r方程堅(jiān)（微位分方尖程）脅演變餐來(lái)的頌，是駱周期住勢(shì)場(chǎng)覆中單勒電子Sh被od涉in驗(yàn)ge響r方程毅在波矛矢空冶間的裂表現(xiàn)云形式承。中心方程贈(zèng)實(shí)際錦上是蔥一個(gè)寒包含把無(wú)窮左多項(xiàng)埋和（G）無(wú)濫窮多演個(gè)方潛程（K）的疤代數(shù)挽方程嫂組。矛求皮解中伍心方箏程的娛目的丘是求詢各傅加立葉為分量氧的系孫數(shù)。自在一服些近屑似條用件下滴，取灶一些半有限料項(xiàng)和般有限早的方巴程，耀可說(shuō)位明許勿多問(wèn)天題。〈3周〉中心傷方程銹說(shuō)明銳的問(wèn)停題62②中匯心方吸程把夜波函分?jǐn)?shù)的謎傅立匆葉分擊量C（K）及C（K-犬G）聯(lián)系肥了起汪來(lái)。認(rèn)在跌中心箭方程尼中對(duì)K不求模和，垂只對(duì)G求和故，G要取其所有征的倒禁易點(diǎn)叛陣矢鮮量，汪中心刃方程晶把乖聯(lián)基系起年來(lái)了態(tài)。63如在痕一維綢情況屬下，飄令最尺短的廊，所俗有倒摘易點(diǎn)師陣矢辟量G可寫巡壽成n取所度有的劑整數(shù)掘，因煙此中稍心方絞程包蓮含這蜻樣一訊些傅規(guī)立葉瓜分量機(jī)：在方航程中諷出現(xiàn)辮的只語(yǔ)是64我們攪可以罵在波液矢空啦間中閱標(biāo)出愿這些伯分量國(guó)：65在中來(lái)心方潛程中蓬出現(xiàn)喉的只倒有與煌指定鞏的K相差萄一個(gè)G的傅手立葉踏分量猶，統(tǒng)茫稱之防為C(賞K)、C(踢K-挖G)唉,鍋G取所委有倒灰易點(diǎn)虎陣矢活量。風(fēng)也弟就是掀說(shuō)當(dāng)令用中貨心方碎程求趁解波拒函數(shù)信的本幻玉征函絮數(shù)的諸傅立粥葉分幟量時(shí)給，只危能求職出C(及K)與C(墓K-槳G)這樣殃一些糟系數(shù)部的分龜量，盾而與K相差混不是危一個(gè)G的那扁些分戲量是姐不出糧現(xiàn)的。66+糖+雷+·允··汗+純+醒+過(guò)··遼·式中其的K值是漠邊界剛條件絡(luò)的任更意一振個(gè)K值。誰(shuí)可以謝簡(jiǎn)寫涉為：錘式片中的G值取寧所有胡的倒扔易點(diǎn)畜陣矢航量。民這處就是朵由中炮心方飯程得車到的把單電凝子在四周期妻勢(shì)場(chǎng)計(jì)中電促子波繼函數(shù)迅的本愛征函飯數(shù)的否形式。67③把表含有殼分量K的波每函數(shù)階（本短征函概數(shù)）鞭給一舊個(gè)下誘標(biāo)，袋表示席波矢甩為K的傅潤(rùn)立葉男分量只要忙知道醫(yī)了K分量皮，其明它的乘分量循可用毀找余出來(lái)去，波蔑函數(shù)火就唯脹一地乒確定垮了，醒即=礦=售=它們幟都是免由相并同的技傅立線葉分訊量組緣瑞成，朋因此呆它們?cè)L都是工相同躲的，工與每表失示相許同的巾波函除數(shù)。68④既喉然食與備是同決一個(gè)異波函劫數(shù)，慢通常羽我們荒就把K限制要在第1B持Z之內(nèi)懶，用k表示猾，稱海簡(jiǎn)約瘡波矢頁(yè)。它虹所表窮示的神本征訊函數(shù)粒都可閘以通您過(guò)加障減適嫩當(dāng)?shù)腉用第1B寶Z以內(nèi)倦的本鳳征函糕數(shù)來(lái)州表示論，第1B粒Z以外恐的波共函數(shù)諸只不甘過(guò)是硬第1B動(dòng)Z以內(nèi)搬的波應(yīng)函數(shù)喬的重吼復(fù)和夏再現(xiàn)杜而已鈔。69另外誓要注恢意的船是，邪格波犯不存瀉在比2a更短恰的波霸長(zhǎng)，胖即波脈矢超儲(chǔ)出第1B衡Z是沒(méi)曾有物綁理意彼義的瘦。然搬而電飯子波遞則不蘆同，五電子螺波是揪幾率黑波，霸代表斜在胸處逗電子翅出現(xiàn)獎(jiǎng)的幾候率，攔在陣輛點(diǎn)以尚外的壺空間耍仍有捉物理漿意義勢(shì)。也墨就是箱說(shuō)，穗對(duì)電橡子波窯，波報(bào)矢可咱超出殺第1B籃Z，在第1B閥Z以外態(tài)，它臘是有滴物理失意義冤的，嬸只不緒過(guò)與肌第1B盾Z以內(nèi)翼的是寄重復(fù)唐的，庭這是脂與格學(xué)波不彈同的廁地方還。波函竄數(shù)在嫁真實(shí)誦空間搶沒(méi)有蝴平移亮對(duì)稱恭性，次在波斯矢空朝間有墓平移跟對(duì)稱速性。70〈4催〉B際lo往ch定理攔重述麗由譽(yù)中心首方程抄再看Bl矛oc純h定理服。制用簡(jiǎn)看約波徑矢：=我們盾現(xiàn)在謹(jǐn)證明乘這樣芽一個(gè)恒傅氏批級(jí)數(shù)巴就是Bl態(tài)oc抄h(huán)函數(shù)=團(tuán)[幅]71令=現(xiàn)在長(zhǎng)只要肢證明=具有鞏點(diǎn)陣降周期餐性即從可證檢明宿為Bl室oc成h函數(shù)貓。72=突=是Bl臂oc境h函數(shù)接，即=73以前知我們臨講過(guò)關(guān)一個(gè)愿具有紀(jì)晶體為點(diǎn)陣伏周期文性的舍函數(shù)擺可用廉倒易蝦點(diǎn)陣滔矢量遮展開艇成傅氏級(jí)錘數(shù)，橡現(xiàn)在么我們蘿證明廈了它膨的逆醬定理踩，即濤若一陽(yáng)個(gè)函誘數(shù)可到用倒趨易點(diǎn)畏陣矢朱量展越成傅氏級(jí)注數(shù)，窩那么初這個(gè)成函數(shù)差必定船有點(diǎn)蜜陣周枝期性鼠質(zhì)。74由Bl保oc凳h函數(shù)味的傅氏級(jí)丟數(shù)形磚式三維頌波函鄙數(shù)：75據(jù)La抖ue衍射彩條件第：=，在爆方負(fù)向有務(wù)一個(gè)墨反射潑波=米-，除帥第一額項(xiàng)外朝，其狗它分榜量的撤波矢作都有-的形溫式，巷因此恒它們滔都是校各級(jí)Br銳ag扎g反射刻波，保取所沫有倒域易點(diǎn)戚陣矢租量，計(jì)即得柴各級(jí)蠶平面辛的所賀有反戰(zhàn)射，波就是典把所盆有的莖反射毫波加差起來(lái)味，Bl慈oc面h波實(shí)乓際是才一個(gè)徒平面清波與和它的菊各級(jí)Br詢ag箱g反射吵波的絕疊加恢。76〈1煙〉B劃lo掙ch函數(shù)景的下背標(biāo)k是表坐征本蜜征函蒸數(shù)本頂征態(tài)楚的量蓋子數(shù)貨，描錦寫函殺數(shù)的永量子莫態(tài)需李要兩左個(gè)量沃子數(shù)典，波商矢敗和逝自旋蔬量子兆數(shù)鞏。2.電子蘆的晶宅體動(dòng)薯量77〈2誓〉如果惡周期窗勢(shì)=0，則=0，此信時(shí)中席心方弱程為仔：=0要使漆有淘非零勇解，殊則必或須=0即=輕=這正巷是自敲由電細(xì)子的頑能量炒，此殿時(shí)的詞波函健數(shù)為=，相睡當(dāng)于睛自由廳電子忍的波膝函數(shù)。78這時(shí)滴的波日矢孟表斃示這議樣的君物理誤意義昏：找代表瓣電子座動(dòng)量蘆的本侄征值行。但箭≠0，則育不代刑表電毯子動(dòng)噸量的啊本征惠值，Bl悲oc格h波是斬由許罪多平薯面波夸疊加綿起來(lái)皂的，Bl鐮oc派h函數(shù)擁不是鋤動(dòng)量款算符滋的本煉征函撫數(shù)，多而是能能量挎算符落的本攜征函焰數(shù)。僅我們筑把動(dòng)僚量算疲符作在用到Bl建oc批h函數(shù)捆上得擺：紹＝防＝+啊≠不是鑒電子助動(dòng)量普的本椒征值削。79〈3木〉凡是守有Bl純oc持h電子咸參與負(fù)的碰導(dǎo)撞過(guò)附程中某，滅這色個(gè)量改要出匪現(xiàn)在促守恒被定律險(xiǎn)中，襲它的奮作用帥與一黃個(gè)動(dòng)算量的致作用蔽一樣疤，所掃以我盒們把雖叫做才電子擋的晶奧體動(dòng)錫量。80用量山子力決學(xué)的末方法擇來(lái)計(jì)批算有Bl坑oc聽h電子贊參與饞的過(guò)飛程的多躍遷攤幾率棚，可席得到屆波矢匆的選皮擇定脫則。對(duì)于雞電子屆與聲眠子的虎碰撞肺：81若對(duì)遺波矢投選擇泛定則客兩邊升乘以并，相隸當(dāng)于他動(dòng)量爛守恒米定律車：=通+式中垮代嫩表電旋子躍寸遷后安的動(dòng)也量。82出現(xiàn)壤在動(dòng)與量守述恒定匠律中窮，相箭當(dāng)于糾一個(gè)暴動(dòng)量廟，稱吹為電典子的晶體辟動(dòng)量，它派即非墓電子扁動(dòng)量予的本捕征值繩，又福不是爪電子并動(dòng)量裙的平貨均值摩，只練是它爪的性盯質(zhì)相雀于一舅個(gè)動(dòng)乖量。晴電子支在外吵場(chǎng)作脹用下滅，摟的變之化服控從牛肺頓定撫律。833.中心辜方程妨的解84現(xiàn)在醬我們界考慮香最簡(jiǎn)欺單的布情況京，假稱定勢(shì)班函數(shù)唉只包務(wù)含有駝兩個(gè)噴傅立牲葉分稻量：=斑+并設(shè)=垮=則G=為整該數(shù)般于是憐可攪寫成怨余弦悉函數(shù)舟的形鍋式：=85在波瞇矢空燭間任癢意指證定一滋個(gè)k值，并則中腳心方晃程為療：+床+盒+未+亦+您…=億0由于款方程雨中只哨有：=部=，而=換…追=0中心誰(shuí)方程吸簡(jiǎn)化勤為：+遍+稀=阻0座……理①86對(duì)輕寫出絲式中心紡方程厲：[把是散式(1帝)中的k換成]由+吧+撤=沒(méi)0測(cè)……崖②對(duì)共寫童出中腐心方瘦程來(lái)諷：+塊+壞=0月……河③87對(duì)上狹面勢(shì)鬧函數(shù)蘋只有竭兩個(gè)豆分量春的情紛況下胸，我染們?nèi)A：食即波酬函數(shù)然只有裝五個(gè)疫分量非、幫、旬、為時(shí)餃，中僅心方拿程只再有5個(gè)。88對(duì)幸寫涂出中久心方漸程為買：……燭④對(duì)冠寫帆出中暈心方穗程為鋤：……送⑤89把上蒙述方吐程組貢按一怠定順干序排倘列，遼如裝排列貸，要厲使關(guān)溫于有公非零可解，欺則其泳系數(shù)超行列晶式須糕滿足秀：90中心腸方程督的解殖說(shuō)明天的問(wèn)非題：〈1甩〉對(duì)每腸一個(gè)艘給定塑的k值，獵是多袖值的插。有刻多少穴個(gè)賽值驗(yàn)，取蠅決于聾波函篇數(shù)傅軟立葉犧分量經(jīng)的個(gè)垃數(shù)，罰每一消個(gè)將值裂對(duì)應(yīng)暈一個(gè)脾能帶揚(yáng)。所哪以標(biāo)夾志電鞠子的秩一個(gè)逗能量臥狀態(tài)卵，需狠要兩韻個(gè)指膊標(biāo)蛾，捐即一喇個(gè)是疲波矢汁指標(biāo)耽，一燒個(gè)是佩能帶抬指標(biāo)泛。同醒樣標(biāo)全志一陜個(gè)波立函數(shù)替也需清要兩敗個(gè)指席標(biāo)。9192〈2忘〉將中拍心方財(cái)程中扣的k平移興一個(gè)主任意發(fā)倒易肌點(diǎn)陣略矢量六，中晚心方撈程所逼代表服的方墊程組存不變跟，解役也是蝕不變鬼的。93與格吼波的鈔色散傭關(guān)系呈相對(duì)出應(yīng)，秀這些喜性質(zhì)貓都是脅由周拌期勢(shì)桐場(chǎng)引余起的亞，所柱以我壘們只飼在第1B剛Z內(nèi)解掀出所冷有的限能帶秋和軌肯道就祝全部麻解決哥了電累子的濱能帶何和軌裹道問(wèn)逮題。同一腔個(gè)能慌帶中鑰的能丙量和慈波矢捐都是沫是G的周奪期函騾數(shù)，劣這是液能帶穩(wěn)在周怨期勢(shì)民場(chǎng)中拳的性趟質(zhì)。94特別細(xì)要注涌意的芬是：認(rèn)在正搬空間皇有正疲點(diǎn)陣腸的平虛移不永變性烏，月，成而波擋函數(shù)悔沒(méi)有底平移作不變逗性。錯(cuò)但在食波矢半空間珠，即元倒易澡空間甚，鉤和綱都欲對(duì)倒疊易點(diǎn)薪陣矢菊量怪有碼平移幫不變帥性。954.弱周嶄期勢(shì)覺(jué)下BZ邊界礦附近嘉的近者似解設(shè)勢(shì)母函數(shù)丟為二驚分量蝴近似煉：U比電演子在BZ邊界弦的動(dòng)肌能要磚小得建多：96（波幼矢為K的自由笑電子林的能如量或睛波矢統(tǒng)為K的平勇面波內(nèi)分量巷的動(dòng)頓能）97（波峽矢為卵與扛的呢自由靠電子次的動(dòng)山能是尸相同濕的）波函僅數(shù)的度兩分曲量近遷似：哲粗略塘近似有，略銅去高碼階分所量：98勢(shì)函都數(shù)和拜波函課數(shù)均量取二周分量離，對(duì)K在BZ邊界芒，寫染出中假心方將程：99這方亭程組著要有天非零羞解，速須：10宿0由中盯心方摩程在踐兩個(gè)綢分量擠近似擇下，肆得到壩了電懼子的功能帶今為治，若紋無(wú)周梳期勢(shì)盡場(chǎng)電霞子的敲能帶致應(yīng)為臂自由腐電子圖能帶迎，但洽由于箭弱周饒期勢(shì)攝場(chǎng)的續(xù)作用倦，使駕能帶城分成向兩個(gè)泉，這扇兩個(gè)出能量渣差為引：10店110蠶2將青代吵回中筋心方稿程可文得波惡函數(shù)孕的兩斥個(gè)解水：筒若逗不考失慮歸胞一化叛因子粉，歌就瓣有上貿(mào)述形孟式，井此時(shí)找：10勇3∵k與k-巖G這兩逼個(gè)分殖量有鹿大約獎(jiǎng)相似忘的動(dòng)改能，津其它冊(cè)的G可略移去（二脂分量失近似繼）此時(shí)作電子攔的本止征函摔數(shù)10帳4對(duì)k、k-竟G分別充寫出中心立方程城：10退5要使伶上述徹方程奮組有嗎非零蜘解，后須10棉6由此悠可得僻：成為了旅能清劈燕楚看夢(mèng)出ε和k的關(guān)若系，爽我們背引入尼：護(hù)即從獸布里即淵區(qū)潮邊界燥算起餓的波漫矢差遇。10窄7則10舟8代入當(dāng)能量肯關(guān)系留式中殃得：譜或10猜9當(dāng)波錄矢k足夠輔靠近BZ邊界時(shí)，舅即百足艦夠小銜時(shí)，次使得勻就可愚把后兆項(xiàng)（賽方括柴號(hào)內(nèi)傅的項(xiàng)漆）用覺(jué)二項(xiàng)乞式定猶理展捆開，切取一膝級(jí)近外似得六：11破0于是其式中λ是波拴矢觀時(shí)自捎由電烏子的拔動(dòng)能霧，能模量ε對(duì)BZ邊界去對(duì)稱11皮1ε～是拋胸物線花函數(shù)雪，拋封物線韻的頂菊點(diǎn)分義別在ε（+）和ε（-）兩點(diǎn)鉆，若U＜0，則勢(shì)奪是吸烏引勢(shì)碧，ε（+）、ε（-）如圖廈所示11剝2由中墨心方蕩程可項(xiàng)得：補(bǔ)把中標(biāo)心方鬧程得鉛到的覆的兩韻個(gè)根架分別多代入代，可霞求出屬的宜關(guān)系片，得且到如冷上面幣右圖討的關(guān)費(fèi)系。11據(jù)3②當(dāng)墊波矢k取在BZ邊界軟時(shí)，童波函保數(shù)的綠兩個(gè)朗分量?jī)?nèi)都是掌主要少的，抵兩個(gè)噸分量猶缺一錯(cuò)不可示，即蠢周期死勢(shì)場(chǎng)刃對(duì)電批子的詢影響冷主要禮在BZ邊界皺，遠(yuǎn)那離BZ邊界省的對(duì)碑方用薪自由啟電子灘模型籮就夠氣了。①當(dāng)k遠(yuǎn)離BZ邊界頂時(shí)，議波函乒數(shù)的處兩個(gè)哨分量散，只姓有一舅個(gè)是肢主要夠的，擁也就婦是說(shuō)須用一帝個(gè)分叢量表冬示電棄子的姜波函福數(shù)就碌足夠銅了。11弟4克勒茶尼希-彭尼比模型剝能帶蟻中的魂能級(jí)走數(shù)目一.克勒呀尼希-彭尼剃模型能帶雁理論繁是單蔑電子裁近似葉理論案。布洛覺(jué)赫定艱理指芽出，板一個(gè)爛在周璃期場(chǎng)蝕中運(yùn)王動(dòng)的胃電子炮，其波擦函數(shù)沉一定世是布探洛赫勵(lì)函數(shù)吩。下面執(zhí)我們沿通過(guò)纖一個(gè)肉最簡(jiǎn)頑單的哄一維菊周期倚場(chǎng)--團(tuán)--西--縱-克朗概尼格-朋奈輸（Kr鏡on床in解g-P掠en嫂ne翁y）模型宿來(lái)說(shuō)趁明晶體喇中電道子的貝能量淡特點(diǎn)且。周期藥性邊好界條責(zé)件的引入,說(shuō)明獲了電支子的惹狀態(tài)糟是分歷立的挑。它把障每個(gè)油電子巴的運(yùn)動(dòng)濟(jì)看成埋是獨(dú)捷立地君在一率個(gè)等約效勢(shì)料場(chǎng)中冠的運(yùn)論動(dòng)?，F(xiàn)在艙再來(lái)傅說(shuō)明饒電子澤的能喘量有販?zhǔn)裁磧?cè)特點(diǎn)蘇？回顧：11劫5克勒帥尼希-彭尼怪模型劑是把老前面然圖的浴周期島場(chǎng)簡(jiǎn)連化為成圖1所示猶的周恢期性輪方勢(shì)準(zhǔn)阱。姻假設(shè)炮電子湊是在長(zhǎng)這樣飛的周期日勢(shì)場(chǎng)厘中運(yùn)荒動(dòng)。在0鐮<沙x循<a一個(gè)周籠期的哄區(qū)域童中，奴電子沒(méi)的勢(shì)儲(chǔ)能為0caU0U(x)xb圖1克勒尼希-彭尼模型11多6按照顏布洛活赫定畝理，筐波函蹦數(shù)應(yīng)江有以被下形惠式式中即可準(zhǔn)得到暮滿絲式足的腐方程將波禮函數(shù)歇代射入定籍態(tài)薛脖定諤怖方程11沈7利用貧波函色數(shù)應(yīng)果滿足妹的有胞限、楚單值縫、連律續(xù)等乳物理（自山然）德條件機(jī)，進(jìn)乞行一白些必功要的顧推導(dǎo)多和簡(jiǎn)弊化，最后倍可以創(chuàng)得出擠下式（黑秋板上耗進(jìn)行帆）式中而大是電胃子波晃的波餅矢*孝。（4）式癢就是犧電子敘的能連量E應(yīng)滿武足的摧方程,也是從電子能量E與波這矢k之間再的關(guān)奸系式味。11圾8(4蒙)式的獅左邊細(xì)是押能量E的一籠個(gè)較嘩復(fù)雜大的函棗數(shù)，判記作f(E)；由于嘴，所以副使漆的E值都不結(jié)滿足莊方程駐。下圖2為勿給肺出了喜一定溫的a、b、U0數(shù)值橋后的治發(fā)f(E)：右邊虧是波冊(cè)矢k的函策數(shù)。11眨9由圖摸看出僻，在營(yíng)允許貫取的E值（南暫且秀稱為而能級(jí)叉）之辦間，有一侍些不跡允許尿取的E值（增暫且仍稱為渣能隙塞）。下面帽的攜圖3為E愧~罰k曲線蔑的某氧種表炊達(dá)圖批式。圖2f(E)函數(shù)圖式f(E)E12仿0E2E3E5E4E6E7E10E圖3E~k曲線的表達(dá)圖式12道1兩個(gè)減相鄰塘能帶部之間的托能量耍區(qū)域隔稱為禁帶。晶體矛中電嘆子的稱能量只能璃取能六帶中姥的數(shù)值，就而不轟能取地禁帶中的仍數(shù)值坦。圖中為“許可的能量”，稱為能帶*。E2E3E5E4E6E7E10E圖4E~k曲線的表達(dá)圖式12追2E存~膊k曲線磚與a有關(guān)、與U0b乘積組有關(guān)殿。乘積U0b反映宗了勢(shì)睡壘的慘強(qiáng)弱場(chǎng)。由于狀原子紗的內(nèi)段層電嫌子受丘到原里子核蔽的束酬縛較流大，與外你層電己子相忍比，胞它們釘?shù)膭?shì)撞壘強(qiáng)亦度較程大。計(jì)算規(guī)表明攪：U0b的數(shù)趁值越跪大所帆得到覺(jué)的能故帶越頁(yè)窄。所以疤，內(nèi)您層電敢子的逃能帶助較窄賀。外層梅電子豎的能墓帶較銜寬。12壞3從E耽~劈燕k曲線絕還可矩以看出融：k值越唉大，相應(yīng)陣的能掩帶越朽寬。由于膜晶體鍵點(diǎn)陣曠常數(shù)a越小振，相敘應(yīng)于k值越鵲大。因此播，晶共體點(diǎn)獎(jiǎng)陣常貝數(shù)a越小升，能攔帶的遵寬度棵就越成大。有的利能帶抬甚至依可能貫出現(xiàn)潤(rùn)重疊絲式的現(xiàn)豈象。E2E3E5E4E6E7E10E圖5E~k曲線的表達(dá)圖式12艙4§7郵.4能帶液圖示牽法12防5前面隙我們承由中局心方窯程得母到了脊重要沃的結(jié)彈論：青即對(duì)提于同頂一個(gè)叔能帶干，能吊量和墨波函測(cè)數(shù)都段是倒績(jī)易矢聽量G的周赴期函四數(shù)：1.簡(jiǎn)約潤(rùn)區(qū)圖月、周圣期區(qū)孔圖和得擴(kuò)展義區(qū)圖三種行區(qū)圖完是等快價(jià)的刑，周薪期區(qū)羅圖最垃完整捆，常溪用的渠是簡(jiǎn)伸約區(qū)楚圖。12諒6〈1貸〉簡(jiǎn)約住區(qū)圖把K限制找在第1B礙Z之中12炮7〈2〉周期逆區(qū)圖把第1B謎Z中的襲曲線舟平移咳移血到波輛矢空扯間其兼它區(qū)丈域，迎這樣冊(cè)得到筑的圖伙叫周兼期區(qū)匪圖或截重復(fù)工區(qū)圖槽。12飛8〈3拿〉擴(kuò)展徒區(qū)圖約定急在第1B憂Z中畫罪第一艇帶（n=墳1），在第2B楚Z中畫魂第二說(shuō)帶（n=秘2），在第3B秋Z畫第足三帶……，以露此類們推，飄由此授得到舌的曲唱線稱豆之為羞擴(kuò)展冤區(qū)圖宴。12間92.空點(diǎn)耳陣近敢似所謂盾空點(diǎn)票陣近紋似就助是點(diǎn)義陣依綠然存哄在，痛周期爪性也脹存在肅，但劍勢(shì)場(chǎng)拍為零母。競(jìng)當(dāng)警周期壩勢(shì)場(chǎng)暫非常古弱盤→0，對(duì)=0的極有限情榜況，筆稱為蒸空點(diǎn)誦陣近排似。掃空點(diǎn)梅陣近纖似就衣是周迎期結(jié)暮構(gòu)中煎的自非由電辭子近辦似。13永0在一嘆維情罪況下脖，自至由電爐子的晃函數(shù)籌為帖，（爬，活為整統(tǒng)數(shù)）歸，空錄點(diǎn)陣懇近似丈的是圖績(jī)與自僵由電惑子的呢圖相襲同，屋但有這三種貍圖示怒法，消我們們采用培簡(jiǎn)約組區(qū)圖墳。掩我們襲從自撕由電朽子的亭圖互畫出票空點(diǎn)甚陣近度似下展的呢圖的夕簡(jiǎn)約半?yún)^(qū)圖萄，只祝要把k平移蒼適當(dāng)?shù)醯镍B移玩入第1B服Z就得鍋到空萬(wàn)點(diǎn)陣處近似爭(zhēng)下宮的創(chuàng)簡(jiǎn)約薦區(qū)圖理。13視113勿2〈1唱〉G=判0，青，把第1B其Z邊界的能烈量寫叛成譽(yù)作為唐度量兼其它維能量速的單垂位。13舟3〈2工〉在BZ中心屑，k=帆0，刻在BZ邊界肝上，款即弱時(shí)巧，互，獨(dú)這蹲樣就羅畫出未了空乳點(diǎn)陣拳近似嶼下一騙維的妙簡(jiǎn)街約區(qū)慣圖。13僵4在弱琴周期濱勢(shì)下茫，在揪第1B很Z邊界掀是，鞠能帶蜘都要拋一分快為二穴，出暢現(xiàn)能洗隙，說(shuō)這樣裕就得償?shù)搅艘痪S渠情況讀下弱父勢(shì)場(chǎng)椅的簡(jiǎn)騾約區(qū)塊圖。13飄5三維俊情況辦下，K沿不煩同方輛向，炕曲線企可能鳥不同雅，（稼這是駕因?yàn)閯【w六本身謎就是糠各向初異性瞇的）毅，畫偵圖桐就要想指定K的方菠向，功如K沿[1頓00逼]方向莫，就噴表示[1辱00檔]方向賣的K值。13勸6三維秩情況款下空狠點(diǎn)陣道近似狗的能前帶的求簡(jiǎn)約反區(qū)圖成，即鐘把自容由電赤子的披關(guān)系饒曲線次，躺平拆移到臂第1B哥Z之中獸，本令,則簡(jiǎn)忍約區(qū)摧中=教=這就錘是簡(jiǎn)畝約區(qū)扁中的艇函數(shù)煤。13俘7三維樣空間講的日曲榴線圖輪都是圣要在百波矢扎空間菠給定病的方您向畫政出，鉤如SC點(diǎn)陣?yán)w的[1競(jìng)00董]方向群，為叔簡(jiǎn)便型起見帥，令=1，即做以飛為草能量驢的度喊量單席位，粘則簡(jiǎn)游約區(qū)鑄中的盲函數(shù)扯為：=13森8SC點(diǎn)陣管的倒灶易點(diǎn)坦陣矢僵量是濤表示膝倒易闖點(diǎn)陣皺矢量床的，贊給征定h,參k,終l，就給榨定了閣。13短9§7罩.5金屬她和絕俱緣體14飲0能帶笛中的父能級(jí)擋數(shù)晶體林中電溝子的咳能量意不能遣取禁返帶中狗的數(shù)震值，只能朱取能鳳帶中冠的數(shù)貫值。菜而且巧：第一能帶k的取值范圍為第二能帶k的取值范圍為第三能帶k的取值范圍為每個(gè)能帶所對(duì)應(yīng)的k的取值范圍都是*。注*絮：給我們奶把以帆原點(diǎn)逼為中悲心的備第一靜能帶鹿所處咽的k值范圍等稱為序第一謠布里餃淵區(qū)濫;第二潛、第信三能努帶所怨處的k值范洞圍稱遠(yuǎn)為第仙二、箱第三擔(dān)布里紛淵區(qū)狠，并給以此攏類推沫。14槳1能帶批中電鼓子的榜排布晶體陽(yáng)中的沿一個(gè)喉電子塵只能驢處在莖某個(gè)忌能帶煙中的某一鳴能級(jí)創(chuàng)上。排布施原則葡：1.服從伙泡里顯不相漢容原托理（呢費(fèi)米留子）2.服從絨能量冤最小潑原理設(shè)孤島立原歇子的舌一個(gè)誼能級(jí)Enl，它最多友能容塌納2流(2到+弊1)個(gè)電月子。這一猜能級(jí)悉分裂叨成由N條能得級(jí)組撕成的疊能帶拿后，能帶暗最多俱能容陣納2N液(2l+1產(chǎn))個(gè)電野子。14虛2——晶體衛(wèi)中的存電子滿帶——電子尋占據(jù)倒了一協(xié)個(gè)能賭帶中端所有艙的狀退態(tài)空帶——沒(méi)有責(zé)任何貴電子蔬占據(jù)奸（填剝充）鞭的能逗帶導(dǎo)帶——一個(gè)嫩能帶潛中所濕有的束狀態(tài)嚇并沒(méi)痛有都姻被電匆子占姨滿即不告滿帶我，或隱說(shuō)最刑下面瓦的一餅個(gè)空努帶價(jià)帶——導(dǎo)帶威以下局的第竄一個(gè)晴滿帶架，或魔最上燦面的害一個(gè)恭滿帶禁帶——兩個(gè)旱能帶謀之間華，不沫允許啦存在浴的能華級(jí)寬躲度，也稱窗為帶日隙不滿帶，導(dǎo)帶滿帶，價(jià)帶滿帶空帶禁帶14豬3孤立詳原子袍的最謠外層苗電子司能級(jí)會(huì)可能榆填滿倍了電冰子也虜可能痕未填瓜滿電禮子。莊若原僵來(lái)填每滿電果子的研，在形使成固語(yǔ)體時(shí)登，其角相應(yīng)紗的能衛(wèi)帶也您填滿協(xié)電子邀。若孤鐵立原屈子中辦較高藏的電挖子能紡級(jí)上冤沒(méi)有逗電子搬，在形城成固微體時(shí)齒，其外相應(yīng)伶的能膀帶上致也沒(méi)加有電啦子。若原攤來(lái)未砍填滿色電子脅的，在形午成固炭體時(shí)獄，其守相應(yīng)蔥的能究帶也浮未填情滿電犁子。孤立取原子粥的內(nèi)繩層電稻子能渡級(jí)一行般都存是填通滿的手，在形江成固零體時(shí)躺，其揉相應(yīng)辟的能梅帶也凳填滿坡了電溜子。一般品填充效規(guī)律斃：14竟4能帶郊的寬景度記識(shí)作E，數(shù)量看級(jí)為E～eV。若N~1鑰023,則能矛帶中握兩能安級(jí)的姜間距睛約10-2盒3eV。一般虛規(guī)律花：1.越是港外層顫電子繁，能剝帶越敬寬，E越大銳。2.點(diǎn)陣開間距瘋越小緩，能率帶越擦寬，E越大辮。3.兩個(gè)凍能帶面有可賞能重趣疊。14假5離子茶間距a2P2S1SE0能帶貪重疊字示意廣圖同一覽個(gè)ｋ蹈方向功，能勺量不恩同原威子殼釋層能努級(jí)形懂成的蛇能帶目之間胳的重幣疊14撓6同一本原子寺能級(jí)鉛，沿譯不同k方向泡其能線帶寬倦度不亂同引咬起的寶重疊在一胃維情仍況下挖，布廈里淵順區(qū)邊超界上耐能量捧的突鵝變?yōu)檠停篍＝E＋－E－＝2Un從—能—禁帶麗寬度喜（能慕隙）在三販維情派況下宮，在偽布里錯(cuò)淵區(qū)街邊界搜上沿館不同腎的k方向走上貫，電將子能天量的慨不連舉續(xù)可侄能出盯現(xiàn)在賺不同麥的能沉量范掌圍。ECⅠ>這EBⅡ能帶瓶重疊ECⅠ<悼EBⅡ有能犧隙14趕7問(wèn)題蹈的提蜓出導(dǎo)體講的電獻(xiàn)阻率半導(dǎo)顧體的功電阻環(huán)率絕緣璃體的都電阻抖率——所有灰固體遮都包款含大劍量的隔電子板，但列電子百的導(dǎo)匪電性牲卻相差廚非常鹽大導(dǎo)體餅、半測(cè)導(dǎo)體班和絕楚緣體駐的能帶身理論圈解釋——導(dǎo)體場(chǎng)、半己導(dǎo)體價(jià)和絕雞緣體勇的區(qū)國(guó)別在日哪里造？——電子判的能平帶理雜論解談釋了嗎導(dǎo)體陳與絕咱緣體14蓬8——晶體患中的隱電子滿帶——電子江占據(jù)洽了一誤個(gè)能頭帶中悶所有心的狀俯態(tài)空帶——沒(méi)有純?nèi)魏无D(zhuǎn)電子覺(jué)占據(jù)也（填票充）奇的能宰帶導(dǎo)帶——一個(gè)蚊能帶猛中所鋒有的挽狀態(tài)存并沒(méi)狂有都咐被電床子占校滿即不傲滿帶漸，或利說(shuō)最缺下面往的一盞個(gè)空岔帶價(jià)帶——導(dǎo)帶蠟以下突的第洞一個(gè)蘋滿帶招，或幸最上宵面的平一個(gè)菠滿帶禁帶——兩個(gè)頭能帶陪之間緊，不土允許蕉存在庸的能冊(cè)級(jí)寬納度，也稱攔為帶廚隙不滿帶，導(dǎo)帶滿帶，價(jià)帶滿帶空帶禁帶14暮9采用利能帶腎理論縣可以峰解釋咳固體姨的導(dǎo)航電本撐質(zhì)基本杏觀點(diǎn)悄：滿拆帶中呼的電栽子不獵導(dǎo)電促；不滿沃帶中萍的電群子才冠參與持導(dǎo)電一、言滿帶——狀態(tài)襪和窄狀湯態(tài)中以電子暑的速片度大鋼小相稠等、方向潤(rùn)相反kvkv-15偵01)在無(wú)橡外場(chǎng)井時(shí)——晶體化中的他滿帶刷在無(wú)外場(chǎng)甜時(shí)，豈不產(chǎn)下生電蔬流每個(gè)電子產(chǎn)生的電流——對(duì)電流的貢獻(xiàn)相互抵消vqv-——狀態(tài)和狀態(tài)中電子的速度大小相等、方向相反

kvkv-熱平衡狀態(tài)下，電子占據(jù)波矢為的狀態(tài)和占據(jù)波矢為的狀態(tài)的幾率相等kvkv-15寸12)在有爆外場(chǎng)勺作用苦時(shí)電子曬受到秧的作椅用力電子誓動(dòng)量扶的變尚化——所有碎電子找狀態(tài)號(hào)以相喪同的定速度沿翠著電則場(chǎng)的定反方惑向運(yùn)考動(dòng)——滿帶認(rèn)的情堂形中根，電培子的憤運(yùn)動(dòng)以不改小變布贏里淵袋區(qū)中卵電子的分嫂布,滿帶陳中的戒電子胡不產(chǎn)悲生宏且觀的雜電流EqFvv-=Ev因?yàn)槲眨篈’與A是兩轎個(gè)相莖同的艱狀態(tài)15母2二、束不滿炒能帶1)無(wú)外稅場(chǎng)存拆在時(shí)——熱平在衡狀在態(tài)下嚴(yán)，電者子占活據(jù)兩雜個(gè)狀末態(tài)的突幾率輸相等——不滿誦能帶繩在無(wú)深外場(chǎng)窩作用狠時(shí)，秒不產(chǎn)逼生電嗽流——雖然只有部分狀態(tài)被電子填充，但波矢為的狀態(tài)和波矢為的狀態(tài)中電子的速度大小相等、方向相反，對(duì)電流的貢獻(xiàn)相互抵消kvkv-15彼32)在有波外場(chǎng)呢作用頸時(shí)——由于其能帶鍋中只避有部艘分狀挽態(tài)被斯電子加填充凍，外低場(chǎng)的壺作用皇會(huì)使布比里淵借區(qū)的揚(yáng)狀態(tài)報(bào)分布恩發(fā)生質(zhì)變化——所有壘的電含子狀者態(tài)以砍相同層的速半度沿辰著電細(xì)場(chǎng)的覽反方常向運(yùn)動(dòng)，絞但霞由于笨能帶聰是不酸滿帶集，逆逆電場(chǎng)禍方向謝上運(yùn)牽動(dòng)的肚電子較查多——在外灘場(chǎng)作坐用下弟，導(dǎo)帶抬中的哭電子吸產(chǎn)生電俱流Eqdtkdvhv1-=26芳-f15近4三、裂導(dǎo)體星，絕課緣體志和半患導(dǎo)體能帶旋理論廢解釋惕固體重的導(dǎo)售電本宏質(zhì)：值滿帶演不導(dǎo)懼電，妹不滿明帶才苗導(dǎo)電導(dǎo)體——在一憂系列納能帶踏中除僑了電厚子填誰(shuí)充滿緒的能無(wú)帶以些外，繁還有腸部分蹤蝶被電錫子填香充的照能帶踐（不舌滿帶遙），壟后者廉起著餓導(dǎo)電月作用--凱--牙--時(shí)--顫-起導(dǎo)捧電作懸用的避不滿挑帶稱笑為導(dǎo)帶絕緣掛體——原子風(fēng)中的常電子吐是滿追殼層葛分布蔬的，駝價(jià)電允子剛繳好填酒滿了匯許可強(qiáng)的能欲帶，架形成絲式滿帶款，滿給帶和笨空帶口之間獸之間摔存在毒一個(gè)立很寬和的禁重帶，鉛在一加般情增況下帽，空輪帶中茅沒(méi)有播電子半導(dǎo)姿體——能帶吉結(jié)構(gòu)襯與絕爆緣體漿類似拐，但兼是禁瞎帶寬襲度比續(xù)較小膀（3e基V以下糟）。騙滿帶雀中的域部分露電子悶會(huì)被殿熱激睛發(fā)到轟空