平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度

平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度一、平穩(wěn)過程的功率譜密度二、譜密度的性質(zhì)三、互譜密度及其性質(zhì)假如x(t)滿足狄利克雷(Dirichlet)

條件,且絕對(duì)可積,即

那么x(t)

的傅里葉變換存在或者說具有頻譜且同時(shí)有傅里葉逆變換一、平穩(wěn)過程的功率譜密度設(shè)有時(shí)間函數(shù)一般是復(fù)數(shù)量,其共軛函數(shù)1.平均功率和能量譜密度等式:稱為x(t)的能量譜密度帕塞瓦爾等式又可理解為總能量的譜表示式.平均功率上的平均功率.平均功率的譜表示式由給定的x(t)構(gòu)造一個(gè)截尾函數(shù)絕對(duì)可積它的帕塞瓦爾等式變形得稱為x(t)

的平均功率譜密度2.平穩(wěn)過程的平均功率和能量譜密度交換定義式中積分與均值的運(yùn)算順序,并注意到平穩(wěn)過程的均方值是常數(shù),于是平穩(wěn)過程的平均功率該過程的均方值平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度,即稱為平穩(wěn)過程X(t)的平均功率的譜表示式.也簡稱為自譜密度或譜密度,它是從頻率這個(gè)角度描述X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的最主要的數(shù)字特征.物理意義:表示X(t)的平均功率關(guān)于頻率的分布.二、譜密度的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2它們統(tǒng)稱為維納-辛欽(Wiener-Khintchine)公式.說明1.平穩(wěn)過程在自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積的條件下,維納-辛欽公式成立.都是偶函數(shù),所以維納-辛欽公式還可以寫成如下的形式:的譜表示式.它揭示了從時(shí)間角度描述平穩(wěn)過程X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律和從頻率角度描述X(t)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律之間的聯(lián)系.在應(yīng)用上我們可以根據(jù)實(shí)際情形選擇時(shí)間域方法或等價(jià)的頻率域方法去解決實(shí)際問題.3.維納-辛欽公式又稱為平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)例1已知譜密度求平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)和均方值.解由公式知自相關(guān)函數(shù)利用留數(shù)定理,可算得均方值為說明有理譜密度在實(shí)際問題中常常碰到這樣一些平穩(wěn)過程,它們的自相關(guān)函數(shù)或譜密度在常義情形下的傅立葉變換或逆變換不存在,此時(shí)如果允許譜密度和自相關(guān)函數(shù)含有δ函數(shù),有關(guān)實(shí)際問題仍能得到圓滿解決.

在這種情況下,自相關(guān)函數(shù)為常數(shù)或正弦型函數(shù)的平穩(wěn)過程,其譜密度都是離散的.求自相關(guān)函數(shù)所對(duì)應(yīng)譜密度解

所要求的譜密度為相應(yīng)的譜密度如圖所示:此圖說明了譜密度是如何表明噪聲以外的周期信號(hào)的.例2白噪聲均值為零而譜密度為正常數(shù),即的平穩(wěn)過程X(t)

稱為白噪聲過程,簡稱白噪聲.其名出于白光具有均勻光譜的緣故.2.白噪聲的自相關(guān)函數(shù)1.定義是不駕相關(guān)最的.(1敞)白噪狗聲也禁可定殘義為橫均值概為零蘭、自忘相關(guān)恥函數(shù)搭為說明(2茂)白噪背聲是減一種吸理想緊化的賺數(shù)學(xué)鎖模型計(jì).兔它甘的平擊均功率是州無限吼的.牲白噪渣聲在顯數(shù)學(xué)密處理鮮上具材有簡冷單、方便吹優(yōu)點(diǎn)丘.精如果脹某種勻噪聲卻(或錦干擾等)在挖比實(shí)果際考犧慮的簽有用霧頻帶刺寬得躍多的灶范圍洋內(nèi),京具正有比填較楊“平抽坦”慌的微譜密段度,胃那殼就可燈把它渠近似趕地當(dāng)爬作白忠噪聲嚷來處頑理.三、帝互譜炒密度相及其傅性質(zhì)互譜始密度系的定財(cái)義設(shè)X(t)和Y(t)是兩誕個(gè)平繞穩(wěn)相篩關(guān)的退隨機(jī)思過程權(quán).稱為平歉穩(wěn)過晉程X(t)和Y(t)的互譜委密度.說明互譜膨密度槐的性關(guān)質(zhì)2.改在浩互相些關(guān)函養(yǎng)數(shù)絕對(duì)其可積煎的條禿件下失,貪有如下維換納-蓄辛欽噸公式4.互譜足密度爪與自栽譜密吐度之親間成埋立有錘不等鬧式注意(1云)在應(yīng)鐘用上酬當(dāng)考濫慮多桶個(gè)平犯穩(wěn)過糕程之退和的昏頻率畏結(jié)構(gòu)尺時(shí),字要烘運(yùn)用蒸互譜隸密度釋.例如概:其中X(t)和Y(t)是平踢穩(wěn)相繞關(guān)的蠶.Z(t)的自槽相關(guān)親函數(shù)啟是根據(jù)恩維納話-辛壁欽公當(dāng)式,Z(t)的自啄譜密族度為(2葵)互譜長密度賽并不掌象自蟲譜密慘度那柴樣具或有物才理意陷義,慚引入遲這個(gè)姿概念賀主要扛是為是了能培在頻揪率域躍上描男述兩僵個(gè)平卸穩(wěn)過撕程的冷相關(guān)球性.例如對(duì):趣對(duì)具灰有零欣均值賭的平懇穩(wěn)過臟程X(