應用留數定理計算實變函數定積分

§4.2

應用留數定理

計算實變函數定積分在自然科學中常常需要計算一些實積分，特別是計算一些在無窮區(qū)間上的積分。例如：光學問題中需要計算菲涅爾積分；熱傳導問題中需要計算；阻尼振動問題中需要計算積分等。我們在高等數學中已經知道這些實變函數的積分需要特殊的技巧才能計算，有的很難，甚至不能計算。原因在于被積函數往往不能用初等函數的有限形式表示，因而就不能用牛頓—萊布尼茲公式計算?？墒峭ㄟ^本節(jié)的學習我們會發(fā)現，這些實積分可以轉化為復變函數的環(huán)路積分(注意到當積分路徑沿實軸時，z=x即對應于實積分)，再利用留數定理，則積分顯得方便易求。利用留數定理計算實積分一般可采用如下步驟：(1)添加輔助曲線，使積分路徑構成閉合曲線；(2)選擇一個在曲線內除了一些孤立奇點外都解析的被積函數F(z)，使得滿足F(x)=f(x)，通常選用F(z)=f(z)，只有少數例外；(3)計算被積函數F(z)在閉合曲線內的每個孤立奇點的留數，然后求出這些留數之和；(4)計算輔助曲線上函數F(z)的積分值，通常選擇輔助線使得積分簡單易求，甚至直接為零。設法將實積分與復變函數回路積分相聯系?；舅枷耄?1)補上一段l2，使得l2上的積分容易計算；(2)自變數變換，把l1變成另一復平面上的回路。類型一：條件：

①被積函數是三角函數的有理式；

②區(qū)間是[0，2π]

變數代換令z=eix，x∈

[0，2π]，作變換令由留數定理得：zk為f(z)在單位圓內的奇點例1：計算該積分在力學和量子力學中很重要例2：計算

解：令z=eix，則

f(z)有兩個2階極點，

其中在|z|=1內，則z1處的留數為例3：計算

解：令z=eix，則

在|z|=1內，

，以z=ε為一階極點例4：求的值解：令z=eiθ，則被積函數

在|z|=1內只有單極點

，故類型二：(反常積分)條件：

①區(qū)間(-∞，∞)；

②f(z)在實軸上無奇點，在上半平面上除有限個奇點外是解析的；③當z在上半平面和實軸上→∞時，

zf(z)一致地→0若，和為互質多項式，上述條件意味著無實的零點，的次數至少比高兩階。所求積分通常理解為下列極限：若上述極限存在，這一極限便稱為

的值。而當R1=R2→∞時極限存在的話，該極限稱為積分的主值，記為：

P

上下限相等并同時→∞本類型積分計算的是積分主值，如何計算？作如圖所示半圓形回路l只需證明例4：計算

解：=1，

=1+x2，在實軸上無零點，而，具有單極點±i，+i在上半平面，則例5：計算，（n為正整數）

解：∵是偶函數

而在上半平面具有n階極點+i，則例6：計算解：∵f(x)是偶單函數令z4+a4=0，則z4=-a4，即也就禍是說餐有4個單蛛極點鴉，其中，勞和您在上藏半平源面例7：計算,(a>0,b>0)的值庫。解：∵的分講母多旦項式的次罪數高石于分脅子多愧項式遲次數住兩次統(tǒng)，它在上凝半平吧面有z1=ai和z2=bi兩個鹽單極褲點所以例8：計算的值婦。解：∵為偶觀函數州，且克分母饒多項式的也次數賀高于炊分子音多項溫式次眠數兩雁次，它在應上半歐平面爸有懶和兩個拒單極胖點，逃所以類型榮三：條件籌：①F(x)是偶攔函數稿，G(x)是奇畏函數辱，積品分區(qū)間喝是[0，∞]；②F(x)，G(x)在實膏軸上巡壽無奇妹點，殘在上建半平面懸除有蔑限個洗奇點截外是跳解析精的；③當z在上鄭半平災面或屋實軸煉上→號∞時僻，F(x)和G(x)一致排地→0。要計笨算右扒邊的址積分訴，需第要用鞠到約棋當引獎理。約當慕引理如果m為正競數，CR是以文原點借為圓榜心而妙位于謠上半在平面槽的半栗圓周微，又徹設當z在上歉半平述面及繭實軸鈔上→革∞時焦，F(z)一致擔地→0，則證明若：當z在上貍半平刷面及炸實軸憤上→因∞時酷，F(z)一致核地→0，所箏以ma嚷x|F(z)|→0，從捷而只渠需證疾明即是有林界的票。在范圍侵內，拋有乘，當R→∞紙時，末上式銷→有斑限值碗，則澤約當偵引理煎成立業(yè)。如果m為負唐數，舒則約嘆當引刮理為C'R是CR對于阻實軸活的映椒像。以上臣兩式洲均已仙化為飯類型磚二，問其中島條件3已放貿寬，司由約當忠引理保證牙，所傘以例：色計算(a>0)的值副。解：嫌有碑兩個椒單極駛點±ai，其家中ai在上聲半平昂面，聲則特殊箏情形昨：實放軸上熟有單倍極點半的情匆形條件鈴：①f(x)在實降軸上愧