第六章卡方檢驗

第六章卡方檢驗適合性檢驗獨立性檢驗卡方檢驗：利用卡方分布進(jìn)行的檢驗。多用于離散型數(shù)量性狀總體的抽樣資料的檢驗適合性檢驗：利用樣本結(jié)果實測頻數(shù)與理論頻數(shù)（按概率分配的頻數(shù)）的差別量服從一定的卡方分布，來統(tǒng)計推斷樣本所在總體的概論分布是否與假定的概率分布模型相吻合。獨立性檢驗：利用兩種隨機(jī)現(xiàn)象同時發(fā)生時的樣本結(jié)果實測頻數(shù)與理論頻數(shù)（按假設(shè)兩種隨機(jī)現(xiàn)象相互獨立且同時發(fā)生時的結(jié)果概率進(jìn)行分配的頻數(shù)）的差別量服從一定的卡方分布來統(tǒng)計推斷，兩種隨機(jī)現(xiàn)象是否相互獨立。獨立性檢驗又稱列聯(lián)表卡方檢驗。連續(xù)型隨機(jī)變量，或結(jié)果數(shù)量較多的離散型隨機(jī)變量結(jié)果數(shù)量較少的離散型隨機(jī)變量隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣將抽樣的觀測數(shù)據(jù)按人為分組歸類并統(tǒng)計各組觀測值的頻數(shù)將抽樣的觀測數(shù)據(jù)按自然結(jié)果歸類并統(tǒng)計各結(jié)果觀測值的頻數(shù)確定各分組的概率并計算各組按概率進(jìn)行分配時的觀測值頻數(shù)確定各自然結(jié)果的概率并計算各結(jié)果按概率進(jìn)行分配時的觀測值頻數(shù)利用公式構(gòu)造一個抽樣結(jié)果的統(tǒng)計量，一個描述抽樣結(jié)果中實測頻數(shù)與理論頻數(shù)（概率頻數(shù)）差別大小的統(tǒng)計量。這樣一個統(tǒng)計量恰巧服從卡方分布。適合性檢驗舉例（分布類型的適合性檢驗【課本例13.10】現(xiàn)有200頭母豬所產(chǎn)仔豬1月齡窩重（kg）的分組資料如下表，試檢驗該仔豬1月齡窩重是否服從正態(tài)分布。試判斷該小麥的株高表現(xiàn)是否遵從正態(tài)分布。組別<88~16~24~32~40~48~56~組中值12202836445260組頻數(shù)046910131726組別64~72~80~88~96~104~112~>120組中值68768492100108116組頻數(shù)352821168430解：H0：x～N(μσ)HA:x不服從正太分布由于總體μ、σ未知，故由樣本去估計（采用點估計）：首先算出各組的理論頻率：式中：xi+1、xi表示第i組的上下限（i=1,2,…,k）。本例中：k=9再算出各組的理論頻數(shù)：E(fi)=Npi

=100×pi本例中的自由度df=k-1-p=12-1-2=9，查x2值表可知，

x2<x20.05(9)=16.91，P>0.05，差異不顯著。因P<0.50說明擬合的程度不是太高。只有小于50%的置信水平，認(rèn)為仔豬1月齡窩重服從正態(tài)分布這一假設(shè)。組頻數(shù)046910131726理論頻數(shù)1.0161.7043.726.9212.0618.1223.1827.70x21.9680.62520.35191.44671.64760.1043組頻數(shù)352821168430理論頻數(shù)28.4024.9620.4814.048.984.882.881.55x21.58380.37030.01320.27360.10690.3393【例】有100棵某品種小麥株高的樣本分組資料如下表表，并且已經(jīng)算得試判斷該小麥的株高表現(xiàn)是否遵從正態(tài)分布。正態(tài)分布是連續(xù)分布，沒有自然的類別，為了利用卡方檢驗，可先用第2章介紹的方法將數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，然后以每組作為一個類別，再用卡方檢驗進(jìn)行正態(tài)分布的適合性檢驗。解：H0：x~N(μσ)HA:x~N(μσ)由于總體μ、σ未知，故由樣本去估計（采用點估計）：組中值838689929598101104107組分點值84.587.590.593.596.599.5102.5105.5組頻數(shù)36122023191052理論頻數(shù)2.385.6412.419.7222.6818.8811.374.951.98偏差量0.620.36-0.40.290.320.12-1.370.050.02解：首先算出各組的理論頻率：式中：xi+1、xi表示第i組的上下限（i=1,2,…,k）。本例中：k=9。再算出各組的理論頻數(shù)：E(fi)=Npi=100×pi本例中各組的已計算出并列于表6-2中。繼而便可算出x2統(tǒng)計量值：本例中的自由度df=k-1-p=9-1-2=6,查x2值表可知，x2<x20.05=3.455，亦即P>0.75。說明擬合的程度還是很高的。有75%的置信水平認(rèn)為楊麥1號的株高遵從正態(tài)分布。通常用于對離散型數(shù)量資料的檢驗將兩種隨機(jī)現(xiàn)象分列于列聯(lián)表中隨機(jī)抽樣將樣本所有觀測值統(tǒng)計歸類于列聯(lián)表各相應(yīng)組合中利用公式構(gòu)造一個抽樣結(jié)果的統(tǒng)計量，一個描述抽樣結(jié)果中實測頻數(shù)與理論頻數(shù)（概率頻數(shù)）差別大小的統(tǒng)計量。這樣一個統(tǒng)計量恰巧服從卡方分布。獨立性檢驗在假設(shè)兩種隨機(jī)現(xiàn)象相互獨立的情況下，確定各組合的概率，并計算各組合按概率進(jìn)行分配時的觀測值頻數(shù)【例】考察不同灌溉方式對水稻葉子衰老是否有影響。幾種灌溉方式下的葉態(tài)表現(xiàn)調(diào)查結(jié)果先將水稻分為3組，第一組用采用深水灌溉，第二組采用淺水灌溉，第三組采用濕潤灌溉，然后統(tǒng)計每種灌溉方式下，水稻三種葉子（綠葉、黃葉、枯葉）出現(xiàn)的頻數(shù)。

葉態(tài)頻數(shù)灌溉方式綠葉黃葉枯葉總數(shù)深水146141.5778.83810.596161淺水183179.39911.1881213.426204濕潤152160.04149.981611.978182總數(shù)4813036547這時需要分析灌溉方式與葉態(tài)表現(xiàn)是否相關(guān)，若兩者彼此相關(guān)，表明葉態(tài)表現(xiàn)因灌溉方式不同而異，即三種灌溉方式對葉態(tài)表現(xiàn)的影響不相同；若兩者相互獨立，表明三種灌溉方式對葉態(tài)表現(xiàn)的影響相同。這種根據(jù)頻數(shù)資料判斷兩類因子彼此相關(guān)或相互獨立的假設(shè)檢驗就是獨立性檢驗。獨立性檢驗實際上是基于頻數(shù)資料對因子間相關(guān)性的研究。根據(jù)概率乘法法則，若事件A和事件A是獨立的，或者說它們之間無關(guān)聯(lián)，這時事件A和事件B同時出現(xiàn)的概率等于它們分別出現(xiàn)時概率的乘積。反過來，若事件A和事件B同時出現(xiàn)的概率等于它們分別出現(xiàn)時概率的乘積，那么事件A和事件B是獨立的，兩者無關(guān)聯(lián)；若事件A和事件B同時出現(xiàn)的概率不等于它們分別出現(xiàn)時概率的乘積，則這兩個事件是有關(guān)聯(lián)的。

本例中，設(shè)灌溉方式與與葉態(tài)表現(xiàn)無關(guān)聯(lián)，則深水灌溉與綠葉同時出現(xiàn)的理論頻率應(yīng)為三種灌溉方式中深水灌溉的頻率與三種葉態(tài)中綠葉的頻率的乘積，其理論數(shù)T1由理論頻率乘以總數(shù)得出，同樣可以計算出另外的8種情況的理論頻數(shù)。由此推出理論頻數(shù)的計算公式：如擬合優(yōu)度檢驗?zāi)菢佑嬎鉿2值。若x2<x2α，則觀測數(shù)與理論數(shù)是一致的，灌溉方式與葉態(tài)表現(xiàn)間無關(guān)聯(lián)的假設(shè)可以成立。若x2>x2α,則觀測數(shù)與理論數(shù)不一致，說明灌溉方式與葉態(tài)表現(xiàn)間是有關(guān)聯(lián)的，不同的灌溉方式影響著水稻葉子的衰老。

確定自由度，3×3列聯(lián)表的自由度是(r-1)(c-1)或者寫為(行-1)(列-1)。因為每一行的各理論數(shù)受該行總數(shù)的約束，所以總的自由度只有(行-1)(列-1)。本例中：結(jié)果推斷：統(tǒng)計量值沒有超過臨界值，即沒有落入否定域，于是我們不能否定葉態(tài)表現(xiàn)與灌溉方式無相關(guān)的假設(shè)，即我們應(yīng)該接受：灌溉方式對水稻葉子的衰老并沒有明顯影響?？ǚ降駲z驗裙中的巧特化脫公式（自每由度=1）獨立冰性檢里驗適合壘性檢培驗適合騙性檢絮驗中