函數(shù)的單調(diào)性 全國獲獎(jiǎng)

1.3.1函數(shù)的單調(diào)性

觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律（圖象特征）：一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課

二、歸納探索，形成概念

1、按照從左到右的順序觀察，函數(shù)圖象有何變化規(guī)律?kxy10

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234xy10

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3問題2、如何描述函數(shù)圖象的“上升”

“下降”呢？以二次函數(shù)f（x）＝x2為例,x…－4－3－2－101234…f(x)＝x2…16941014916…二、歸納探索，形成概念

對比函數(shù)圖象和列出的x，y的對應(yīng)值表，我們發(fā)現(xiàn)：xy10

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234列出x，y的對應(yīng)值表．在（－∞，0］上，f(x)隨著x的增大而減小在（0，+∞）上，f(x)隨著x的增大而增大

如何利用函數(shù)解析式描述“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)隨著減小”“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大”?思考

在區(qū)間（0，+∞）上，任取兩個(gè)，，得到，，當(dāng)<時(shí),有，這時(shí)，就說函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．你能仿照這樣的描述，說明函數(shù)在區(qū)間(－∞，0]上是減函數(shù)嗎？二、歸納探索，形成概念

x…－4－3－2－101234…f(x)＝x2…16941014916…

在區(qū)間（－∞，0］上，任取兩個(gè)，，得到，，當(dāng)<時(shí),有，這時(shí)，就說函數(shù)在區(qū)間（－∞，0］上是減函數(shù)．二、歸納探索，形成概念

如何利用函數(shù)解析式描述“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)隨著減小”“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大”?思考一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:

如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù).二、歸納探索，形成概念

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:

如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù).二、歸納探索，形成概念

如果函數(shù)y＝f（x），在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f（x）的單調(diào)區(qū)間．

在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的．二、歸納探索，形成概念

-212345-23-3-4-5-1-112O例1

、下圖是定義在區(qū)間[-5,5]上的函數(shù)的圖象,根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,以及在每一單調(diào)區(qū)間上,是增函數(shù)還是減函數(shù).三、結(jié)合實(shí)例，加深理解

函數(shù)的單調(diào)性是對某個(gè)區(qū)間而言的，對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化．所以不存在單調(diào)性問題。因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時(shí)，端點(diǎn)有定義時(shí)可以包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)，端點(diǎn)無定義時(shí)一定不包括端點(diǎn).總結(jié)：。

分析：按題意，只要證明函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)即可．

例2：物理學(xué)中的玻意耳定律（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大．試用函數(shù)的單調(diào)性證明之．三、結(jié)合實(shí)例，加深理解

證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟：1.設(shè)值：任取x1，x2∈D，且x1<x22.作差變形：f(x1)－f(x2)（要注意變形到能判斷整個(gè)差式符號為止；通常是通分，因式分解和配方）3.定符號：判斷差f(x1)－f(x2)

的正負(fù)（要注意說理的充分性，必要時(shí)要討論）4.下結(jié)論：指出函數(shù)f(x)在給定區(qū)間D上的單調(diào)性

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：練習(xí)：課本32頁練習(xí)4(定義法)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:2.圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性：增函數(shù)的圖象從左到右減函數(shù)的圖象從左到右1.增函數(shù)、減函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性的定義上