高斯平面直角坐標(biāo)系PPT培訓(xùn)課件

高斯平面直角坐標(biāo)系1正形投影的一般條件

本質(zhì)：正形投影中長度比與方向無關(guān)P3'上式中q為等量緯度，計(jì)算公式為

引入等量緯度后，使相同的dq與dl所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長相同。也就是dq與dl看成是相互獨(dú)立的變量引入等量緯度后，投影公式為：求微分，得：其中：l=L-L0代入則，長度比公式為：令上面是長度比公式,我們?cè)賮砜捶较?它是用方位角表示的本質(zhì)是它與方向無關(guān),也就是與方位角無關(guān)要使長度比與方向無關(guān)，只有：F=0,E=G，橢球面到正形投影平面的柯西__黎曼條件(Kauchi-Rimann方程)，滿足該方程的函數(shù)可寫成復(fù)變函數(shù)關(guān)系：則長度比公式簡化為:其反函數(shù)也是復(fù)變函數(shù)，可以寫成：正形投影平面到橢球面的一般條件(自己下去推導(dǎo))柯西__黎曼條件的幾何意義AB?AC?AB’?BB’?CC’?AC’?同樣推出柯西__黎曼條件，同時(shí)得到子午線收斂角公式2高斯投影的要求1等角投影（正形投影）。

好處：⑴角度觀測(cè)元素不變；⑵微小范圍內(nèi)形狀相似，m只與點(diǎn)位有關(guān)2長度和面積變形小，可以用簡單的公式計(jì)算變形改正數(shù)3投影后可以按帶計(jì)算4帶間互相換算方便3.高斯投影的方法與一條子午線相切橢圓柱中心通過橢球體中心中央子午線兩側(cè)各一定經(jīng)差范圍柱面展開成平面我國采用6、3度帶。中央子午線與帶號(hào)的關(guān)系

6度帶

0度開始，自西向東編號(hào)

3度帶

6度帶基礎(chǔ)上形成高斯平面直角坐標(biāo)以中央子午線為縱坐標(biāo)軸，赤道為橫坐標(biāo)軸Y通用坐標(biāo)=帶號(hào)+500Km+y自然坐標(biāo)3.高斯投影的正反算P坐標(biāo)(B,l)PC⊥中央子午線C坐標(biāo)(B0,0o)PP1平行圈P1坐標(biāo)(B,0o)X為赤道至緯度B的子午線長P‘(x,y)C(x,0)P1坐標(biāo)(X,0)橢球面歸算到高斯投影面的內(nèi)容1.檢核正反算2.大地方位角計(jì)算3.橢球面上三角形內(nèi)角歸算到高斯投影面上由直線組成的三角形內(nèi)角;方向改化實(shí)現(xiàn)4.距離改化總之工作包括:坐標(biāo)、曲率改正、距離改正、子午線收斂角、換帶計(jì)算高斯投影正算(待定系數(shù)法)1.中央子午線投影后為直線；得出對(duì)稱關(guān)系2.中央子午線投影后長度不變；3.投影具有正形投影的性質(zhì),即正形投影條件按l展開級(jí)數(shù)其中mi是B的函數(shù)對(duì)l和q求導(dǎo)代入柯西條件同次項(xiàng)相等關(guān)鍵在于根據(jù)2.中央子午線投影后長度不變；得到x為投影前赤道到該點(diǎn)的子午線長；即其各階導(dǎo)數(shù)為：得到高斯投影正算公式如下：為便于編程計(jì)算，可將正算公式改寫成如下形式：高斯投影反算(待定系數(shù)法)1.X坐標(biāo)軸投影后成中央子午線,是投影的對(duì)稱軸2.X坐標(biāo)軸上的長度投影保持不變3.正形投影條件其中ni是x的函數(shù)對(duì)于反算公式關(guān)鍵在于根據(jù)2.X坐標(biāo)軸上的長度投影保持不變;即其各階導(dǎo)數(shù)為：得到高斯投影反算公式如下：為便于編程計(jì)算，可將正算公式改寫成如下形式：高斯投影正反算公式的幾何解釋BXxXBf高斯投影特點(diǎn)：⑴中央子午線為直線，x軸⑵赤道為直線，y軸⑶中央子午線和赤道交點(diǎn)，原點(diǎn)⑷L不變，B↑；x↑，y↓其他子午線均向中央子午線彎曲，向兩極收斂⑸

B不變，l↑；x↑，y↑緯圈投影與子午線投影互相垂直，凹向兩極距中央子午線愈遠(yuǎn)，投影后彎曲愈厲害，長度變形愈大⑹大地線形狀球面三角形的內(nèi)角和大于１８０度（也就是弧度制的π）。假如這個(gè)球面三角形內(nèi)角和（弧度制）與π之差是ε，那么這個(gè)球面三角形的面積就等于εＲ＾２。如果是單位球面，也就是Ｒ＝１，那么這個(gè)測(cè)地三角形的面積就等于ε。換句話說，在單位球面上，任意測(cè)地三角形內(nèi)角和與π之差正好等于其面積。四邊形同樣成立。勒讓德定理：對(duì)于較小的球面三角形，可用平面三角公式來解算，只需使三個(gè)平面角等于相應(yīng)的球面角減去三分之一的球面角超，而邊長保持不變。ABCabc得出：大地線形狀是彎向縱軸的高斯投影曲線的形狀是向x軸彎曲，并向兩極收斂。作業(yè)已知某點(diǎn)的坐標(biāo)：B=3030L=11420

計(jì)算：1).該點(diǎn)的3帶和6帶帶號(hào)；

2).該點(diǎn)的3帶高斯投影坐標(biāo)并反算檢核（按1975國際橢球）；5平面子午線收斂角和長度比5.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式平行圈子午線沿平行圈緯度不變，求微分得：5.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式對(duì)高斯投影公式求偏導(dǎo)數(shù)，得：5.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式，得：將展開成tg的級(jí)數(shù)，得：5.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式

由此可見，是經(jīng)差的奇函數(shù)，在x軸為對(duì)稱軸，東側(cè)為正，西側(cè)為負(fù)。子午線收斂角在赤道為0，在兩極等于經(jīng)差l，其余點(diǎn)上均小于經(jīng)差l

。5.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式子午線收斂角也可以表示成高斯平面坐標(biāo)的級(jí)數(shù)展開式。平行圈L=常數(shù)L+dl=常數(shù)P點(diǎn)沿y軸變化微分長度到P點(diǎn)，子午線收斂角可表示為：沿y坐標(biāo)的微分，得：5.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入子午線收斂角公式，得：由高斯投影反算公式求出偏導(dǎo)數(shù)，得：5.1平面子午線收斂角的計(jì)算公式代入上式子午線收斂角計(jì)算公式，得：將展開成tg的級(jí)數(shù)，得：5.2長度比計(jì)算公式由高斯投影長度比的定義式，得：將前面正算公式4-367的偏導(dǎo)數(shù)代入上式，得：開方根得用大地坐標(biāo)表示的長度比公式如下：5.2長度比計(jì)算公式

為給出由高斯投影坐標(biāo)表示的長度比公式，反解高斯投影的y

坐標(biāo)正算公式，得：對(duì)上式求平方和四次方，得：冪級(jí)數(shù)回求公式5.2長度比計(jì)算公式代入用大地坐標(biāo)表示的長度比公式，得：顧及：代入上式，得：可見，長度比是y坐標(biāo)的偶函數(shù)，且只與y坐標(biāo)有關(guān)。長度比大于1

對(duì)某一條子午線，赤道處變形最大6距離改化

橢球面上的大地線dS投影到高斯平面上后成為弧線ds，而在平面上兩點(diǎn)間只能用直線D相連，兩線的微分線段間的差異極小，可表示為：其中：

顧及投影后弧線與直線間的夾角最大不超過1，則有：

目前，最高的距離測(cè)量精度約為10-8，弧線與直線的長度差異完全可以忽略，因此：用辛卜生公式數(shù)值積分得：將長度比公式代入上式，得：距離改化S可表示為：其中：

若距離的兩端點(diǎn)離中央子午線都不超過45公里，則距離改化公式可進(jìn)一步簡化為：7高斯投影方向改化保角投影前后角度相同，即：7高斯投影方向改化將球面角超計(jì)算公式代入上式，得：

考慮到方向值是順時(shí)針方向增加的，考慮其正負(fù)號(hào)后，方向改化公式可表示如下：

上式具有0.1的計(jì)算精度，適用于三、四等控制網(wǎng)的方向改化計(jì)算。高斯投影的換帶計(jì)算利用高斯投影的正反算公式，可以進(jìn)行不同投影帶坐標(biāo)的換帶計(jì)算。其計(jì)算步驟如下：

1.根據(jù)高斯投影坐標(biāo)x,y，反算得緯度B和經(jīng)度差l；

2.由中央子午線的經(jīng)度L0,求得經(jīng)度L=L0+l；

3.根據(jù)換帶后新的中央子午線經(jīng)度L0'，計(jì)算相應(yīng)的經(jīng)差：4.由高斯投影正算，求得新的高斯投影坐標(biāo)x'，y'?！?.11UTM和高斯投影簇4.11墨卡托投影

墨卡托投影為等角割橢圓柱投影，橢圓柱與橢球面相割于B0的兩條緯線，投影后不變形。

簡稱為UTM，與高斯投影相比，僅僅是中央子午線的尺度比為0.9996，其投影公式如下：長度比和子午線收斂角計(jì)算公式。通用橫軸墨卡托投影的反算步驟：1.先由通用橫軸墨卡托投影坐標(biāo)計(jì)算高斯投影坐標(biāo)；

2.再利用高斯投影反算公式，計(jì)算大地緯度和經(jīng)度。通用橫軸墨卡托投影與高斯投影的比較高斯投影簇高斯投影的優(yōu)點(diǎn)很多，但最主要的缺點(diǎn)是長度變形比較大，特別是緯度愈低，變形愈大。高斯投影簇保留了高斯投影的優(yōu)點(diǎn)，縮小了變形。不同的條件是：中央經(jīng)線上的長度比原理：和高斯投影一樣推導(dǎo)公式，只是在求系數(shù)時(shí)，乘上

m0這個(gè)中央經(jīng)線上的長度比。即中央子午線長不再保持不變。取不同的q和K，有不同的正形投影的方案。補(bǔ)充：

局部區(qū)域中的高斯投影及其相應(yīng)的區(qū)域性橢球

局部區(qū)域中采用地方獨(dú)立坐標(biāo)系，其高斯坐標(biāo)以往并非由經(jīng)緯度求得的，而是直接將邊長投影到平均高程面（投影面）,