第六講高考復(fù)習(xí)函數(shù)的值域與最值

第二節(jié)函數(shù)的值域與最值最新考綱1.理解函數(shù)值域的概念．2．掌握求函數(shù)值域及最值的常見方法.高考熱點以考查函數(shù)的值域和最值為主，同時對數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用進(jìn)行考查.1.求函數(shù)值域的常用方法求函數(shù)的值域沒有通性解法，只能依據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征來確定相應(yīng)的解法．常用的方法有：(1)配方法：配方法是“

類”求值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法．(2)利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的

，得到原函數(shù)的

．形如y＝(a≠0)的函數(shù)的值域，均可使用反函數(shù)法．此外，這種類型的函數(shù)值域也可使用“分離常數(shù)法”求解．二次函數(shù)定義域值域(3)判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F(x，y)＝0，通過方程有實根，判別式

，從而求得原函數(shù)的值域．形如y＝(a1，a2不同時為零)的函數(shù)的值域常用此法求解．(4)換元法：運用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均為常數(shù)，且a≠0)的函數(shù)值域常用此法求解．Δ≥0(5)不等式法：利用基本不等式：

(a，b∈R＋)求函數(shù)的值域．用不等式法求值域時，要注意均值不等式的使用條件“

”．(6)單調(diào)性：確定函數(shù)在定義域(或某個定義域的子集上)的

求出函數(shù)的值域．形如y＝的函數(shù)的值域均可使用此法求解．(7)數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)所表示的

意義，借助于幾何方法求出函數(shù)的值域．一正、二定、三相等單調(diào)性幾何2．求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的

值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異．最小(大)(1)函數(shù)的值域取決于函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則，不論是何類型的函數(shù)值域問題都應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域(即“定義域優(yōu)先”的原則)．(2)求函數(shù)的值域是中學(xué)數(shù)學(xué)較為重要的題型之一．解決它沒有固定的模式，也難以形成思維的定勢，因此應(yīng)善于思考，多歸納積累，豐富自己的解題經(jīng)驗，特別需要掌握常見題型的求函數(shù)值域的方法，掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的值域是解題的關(guān)鍵所在．(3)利用函數(shù)單調(diào)性的定義或借助求導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求函數(shù)的值域應(yīng)予以重視．(4)函數(shù)值域與最值涉及的知識點多，內(nèi)容廣泛，是具有較強綜合性和應(yīng)用性的章節(jié)，要注意體會數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法在本節(jié)中的應(yīng)用.題型一求函數(shù)的值域思維提示配方法、分離常數(shù)法、判別式法、換元法、不等式法、單調(diào)性等[規(guī)律責(zé)總結(jié)](1驢)用判其別式枝法求排函數(shù)健值域敵時，千要注帖意二璃次項箭前面求的系煩數(shù)不杜為零調(diào)時，凳才有永判別晚式Δ≥0，如碌果系溫數(shù)為請零，冊應(yīng)單倦獨討徒論．(2榨)多元寺變量映的式盈子和肥最值肌問題緊往往食轉(zhuǎn)化汪為一五元函因數(shù)的枯最值踐求解巷．本廣題在載轉(zhuǎn)化駝為一印元函策數(shù)的即區(qū)間沒上求喬最值效問題杠后，齊要注港意先毒確定咱其對弟稱軸晨與定尿義區(qū)豬間的鄉(xiāng)豐關(guān)系僚，再船確定籃在定吸義區(qū)去間上房誠函數(shù)冷的單重調(diào)性同，從霜而求某最值.解：(1備)y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1，又0≤x≤3，依蹲據(jù)此腐函數(shù)注的圖臟象，宣可以伍得到閉所求抓函數(shù)哭的值絹域為[－1，7]．題型二函數(shù)的最值問題思維提示①利用函數(shù)最值的定義②利用導(dǎo)數(shù)法[規(guī)律市總結(jié)](1許)二次膏函數(shù)俗區(qū)間冶最值指主要幅有三竭種類反型：脹軸定倡區(qū)間跑定，題軸定隨區(qū)間載動和街軸動智區(qū)間旁定．握一般言來說道，討畜論二論次函重數(shù)在聰閉區(qū)逐間上焦的最清值，尊主要繪是看蓮區(qū)間驕落在害二次飼函數(shù)愈的哪焰一個還單調(diào)些區(qū)間青上，桂從而向應(yīng)用重單調(diào)求性求恒最值砌．(2慚)利用良導(dǎo)數(shù)弊解決影最值蚊問題宿，常火收到偉事半匹功倍注的效割果，童也是逼近幾童年最吸重要阻的題餃型，啟方法歐易想給，應(yīng)客重視.備選守例題2函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3，(1尊)當(dāng)x∈R時，f(x)≥a恒成咸立，卵求a的范勵圍；(2珍)當(dāng)x∈[－2,渣2]時，f(x)≥a恒成化立，簽求a的范訓(xùn)圍．題型三函數(shù)值域(最值)的逆向問題．思維提示①值域的求法②轉(zhuǎn)化思想[解]由u＝徐，得(u－m)x2－8x＋(u－n)＝0.∵x∈R，且轟設(shè)u－m≠0，∴Δ＝(－8)2＋4(u－m)(u－n)≥0，即u2－(m＋n)u＋(mn－16繞)≤0[規(guī)律挺總結(jié)]本題報的解旅法再侵次體棵現(xiàn)了尊等價器轉(zhuǎn)化答的數(shù)邁學(xué)思越想，雙兩次詳轉(zhuǎn)化賤最終重轉(zhuǎn)化曾為一小元二凱次方奧程與勻一元窮二次捐不等獵式的