結(jié)構(gòu)力學(xué)第12章

1結(jié)構(gòu)力學(xué)第12章2§12.1桿件的應(yīng)變能及應(yīng)變余能計(jì)算312.1應(yīng)變能密度和應(yīng)變余能密度

應(yīng)變能密度定義

:單位體積內(nèi)的應(yīng)變能12.1.1應(yīng)變能密度

例如簡單拉伸桿件，取出dx微段，其拉伸曲線如圖(a)所示圖(a)簡單拉伸曲線FNx應(yīng)變能U為(12-1)

dOBA圖(b)應(yīng)力應(yīng)變曲線C

d根據(jù)應(yīng)變能密度的定義，則應(yīng)變能密度為即應(yīng)力應(yīng)變曲線中OAB所圍的面積。4dOBA圖(b)應(yīng)力應(yīng)變曲線C12.1.2應(yīng)變余能密度

應(yīng)變余能密度定義

:單位體積內(nèi)的應(yīng)變余能。

仍以簡單拉伸桿件為例，應(yīng)變余能為(12-3)根據(jù)應(yīng)變余能密度的定義，則應(yīng)變余能密度u*N為即應(yīng)力應(yīng)變曲線中OAC所圍的面積。圖(a)簡單拉伸曲線FNxdFN5對于線彈性材料，=E.有，則(12-5)12.1.3桿件的應(yīng)變能和應(yīng)變余能

象純拉伸一樣，當(dāng)桿件處于純剪切和純彎曲時(shí)，其應(yīng)變能密度分別為定義：單位桿長上的應(yīng)變能為桿件的應(yīng)變能密度，用u1表示。

則當(dāng)桿件同時(shí)承受拉伸、剪切和彎曲時(shí)，其桿件的應(yīng)變能密度為6即(12-6)對于線彈性材料，有FN=EA.

，F(xiàn)Q=GA./k（k為截面形狀系數(shù)），M=EI

.

。則(12-7)顯然有(12-8)7設(shè)：桿截面形心的軸向位移為u，橫向位移為v，截面的轉(zhuǎn)角為。則幾何方程為(12-9)將上式代入（12-7）式得(12-10)一根桿的應(yīng)變能為(12-11)8當(dāng)忽略較小的剪切變形后,則(12-12)定義：單位桿長上的應(yīng)變余能為桿件的應(yīng)變余能密度，用u*1表示。

當(dāng)桿件同時(shí)承受拉伸、剪切和彎曲時(shí)，其桿件的應(yīng)變余能密度為(12-13)對于線彈性材料，用類似的方法，可以得(12-14)9一根桿的應(yīng)變余能為(12-15)10§12.2勢能原理11上式中，U為桿件結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，對于剛架而言，通常僅考慮彎曲應(yīng)變能，則12.2.1勢能的定義桿件結(jié)構(gòu)的勢能Ep定義為(12-16)(12-17)上式中e為結(jié)構(gòu)中桿件的排序號。E*p為結(jié)構(gòu)的荷載勢能，通常以結(jié)構(gòu)未變形前的荷載位置為起始位置，則(12-18)上式中p為荷載的序號，為Fp方向上的位移。1212.2.2勢能駐值原理勢能駐值原理：在所有幾何可能的位移狀態(tài)中，真實(shí)的位移應(yīng)使結(jié)構(gòu)勢能為駐值。這一能量原理說明，如果位移滿足全部的變形協(xié)調(diào)條件，而且還能使勢能為駐值，則與此位移相應(yīng)的內(nèi)力必然滿足全部的靜力平衡條件。即說明勢能駐值條件與平衡條件是等價(jià)的。

可以證明，在小變形、線彈性的穩(wěn)定平衡問題中，滿足幾何方程、物理方程和靜力平衡方程的解是唯一的。此時(shí)真實(shí)的位移不僅使勢能取得極值，而且該極值為極小值。這就是最小勢能原理。

1312.2.3勢能駐值原理應(yīng)用(1)利用勢能駐值原理推導(dǎo)位移法典型方程設(shè)：位移法的基本未知量向量為{Z}={Z1Z2……Zn}T在位移法基本結(jié)構(gòu)中，各桿任一截面的位移方程可表示為上式中，為基本結(jié)構(gòu)由于Zi=1時(shí)引起的各桿任一截面的位移方程。vp為基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下任一截面的位移方程。與廣義荷載Fp相應(yīng)的廣義位移也可表示為14上式中，為基本結(jié)構(gòu)由于Zi=1時(shí)引起的與廣義荷載相應(yīng)的廣義位移?！鱬為基本結(jié)構(gòu)在荷載作用下引起的與廣義荷載相應(yīng)的廣義位移。則結(jié)構(gòu)的勢能為根據(jù)勢能駐值條件得即15或因?yàn)?，為Zi=1時(shí)的基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力（彎矩），為Zj=1時(shí)的基本結(jié)構(gòu)的曲率，jdx=dj。則為基本結(jié)構(gòu)Zi=1時(shí)的內(nèi)力（彎矩）在Zj=1時(shí)的變形（曲率）上所做的內(nèi)力虛功（虛應(yīng)變能）。而當(dāng)Zi=1時(shí)基本結(jié)構(gòu)的外力（k1i、k2i……kni）在Zj=1時(shí)的位移上所做的外力虛功為Wij=kij1=kij。根據(jù)虛功方程Uij=Wij得16或又因?yàn)闉閱为?dú)在荷載作用下的基本結(jié)構(gòu)的曲率,pdx=dp。

代表了當(dāng)Zi=1時(shí)基本結(jié)構(gòu)的內(nèi)力（彎矩）在單獨(dú)在荷載作用下基本結(jié)構(gòu)的變形上所做的內(nèi)力虛功。而當(dāng)Zi=1時(shí)基本結(jié)構(gòu)的外力（k1i、k2i……kni

）在單獨(dú)在荷載作用下基本結(jié)構(gòu)的變形上所做的外力虛功為0。所以根據(jù)虛功方程得17Zi=1時(shí)，基本結(jié)構(gòu)的外力在基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在荷載作用下的變形上所做得的虛功為0，而基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在荷載作用下的外力在Zi=1時(shí)的基本結(jié)構(gòu)的變形上所做的虛功為或根據(jù)功的互等定理有即由上述討論可得這就是桿系結(jié)構(gòu)的位移法典型方程。

18作業(yè)：19(2)利用勢能駐值原理推導(dǎo)單元?jiǎng)偠确匠?0如圖所示任意平面桿單元單元內(nèi)部任一點(diǎn)的位移表達(dá)式可以表示為

式中

[N]稱為形函數(shù)矩陣，其中的任一元素為已知的形函數(shù)；為單元桿端位移列向量。單元的桿端力列向量。ei局部坐標(biāo)系中的平面桿單元j21(2.1)形函數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)的表達(dá)式

①

軸力單元

軸力單元e有兩個(gè)桿端位移，如圖所示。于是單元的位移函數(shù)可表示為

jiel假定位移沿桿軸線性變化，即

由邊界條件：

比較(c)、(d)兩式可知

22②

彎曲單元

彎曲單元e有四個(gè)桿端位移，如圖所示。于是單元的位移函數(shù)可表示為

此時(shí)形函數(shù)可假定為

由桿端邊界條件：

可以確定a0、a1、a2和a3，將其代回(f)式整理得eij23比較(g)、(h)兩式可知

到此，6個(gè)形函數(shù)已全部確定。24③

剛度方程和剛度矩陣當(dāng)平面直桿單元同時(shí)承受彎矩和軸力作用時(shí)，由于線性變形體系忽略彎曲和軸向變形的相互影響，所以，單元的勢能為

將(c)(g)式代入上式，并組合寫成矩陣的形式得

稱為局部坐標(biāo)中的單元?jiǎng)偠染仃?，為對稱矩陣，其任意元素由下式計(jì)算

25將形函數(shù)Ni(x)代入上式積分可得各剛度系數(shù)，則

這就是平面一般單元的單元?jiǎng)偠染仃?。單元的總勢能Ep定義為26根據(jù)勢能駐值條件得這就是平面桿單元的剛度方程。27勢能駐值原理應(yīng)用———

(3)瑞利—里茲法

(Rayleigh-RitzMethod)28

建立在能量原理基礎(chǔ)之上的解題方法是一種精確方法，但在精確解難以求得或不能求得的許多實(shí)際工程問題中，能量原理又能為我們提供一種求近似解的有效途徑。瑞利—里茲法就是其中之一。在介紹瑞利—里茲法之前，先介紹兩個(gè)基本概念：靜力可能內(nèi)力對于變形體而言，如果它的內(nèi)力與外力滿足全部的靜力平衡條件，即滿足桿件的平衡微分方程，而且在邊界上和結(jié)點(diǎn)處滿足力的平衡條件，則此種內(nèi)力稱為靜力可能內(nèi)力。

對于靜定結(jié)構(gòu)而言，靜力可能的內(nèi)力是唯一的，而對于超靜定結(jié)構(gòu)而言，靜力可能的內(nèi)力不是唯一的。29幾何可能位移如果變形體的應(yīng)變、、與位移u、v、滿足幾何方程，而且在結(jié)點(diǎn)處滿足位移連接條件，在邊界上能與約束幾何相容。則此種位移稱為幾何可能位移。

在變形體上，這種幾何可能位移有無窮組，但只有同時(shí)能滿足靜力平衡條件的那一組才是真實(shí)的解答。結(jié)構(gòu)的總勢能是一個(gè)泛函，對于穩(wěn)定的平衡問題而言，按位移法求解時(shí)，就歸結(jié)為求泛函的極值問題。瑞利—里茲法就是建立在泛函求極值基礎(chǔ)之上的一種求近似解的方法。下面舉例說明。例1

用瑞利—里茲法求圖示簡支梁的撓度和彎矩。Fpl/2l/2xy該題材料力學(xué)已有精確解，在梁中點(diǎn)撓度30Fpl/2l/2xy中點(diǎn)彎矩解：取該簡支梁的撓曲線（即幾何可能位移）為這個(gè)函數(shù)不僅滿足簡支梁的兩端的位移邊界條件，而且滿足兩端力的邊界條件：(1)僅取級數(shù)的首項(xiàng)，則∵31∴由勢能駐值條件得即則，比精確解少1.44%，

，比精確解少19%。(2)若取級數(shù)的前兩項(xiàng)

，則32上式中沒有取項(xiàng)，是因?yàn)樵贔p的作用下，內(nèi)力和變形都是對稱的，而此項(xiàng)在中點(diǎn)處v=0，變形是反對稱的?！摺嘤蓜菽荞v值條件得33解之得則，比精確解少0.24%，比精確解少10%彎矩的誤差仍較大，但位移和彎矩的精度均有所提高，隨著級數(shù)項(xiàng)數(shù)增加，位移和彎矩都將趨于精確解。

34§12.3余能原理3512.3.1余能的定義：桿件結(jié)構(gòu)的余能EC定義為(12-19)上式中，U*為桿件結(jié)構(gòu)的應(yīng)變余能，對于線彈性材料而言，桿件結(jié)構(gòu)的應(yīng)變余能為(12-20)E*C為結(jié)構(gòu)的支座位移余能，或稱給定邊界位移余能，即與支座位移c相應(yīng)支座反力R所做的虛功總和的負(fù)值。(12-21)12.3.2余能駐值原理

3612.3.2余能駐值原理超靜定結(jié)構(gòu)的余能駐值原理可表述如下：在所有靜力可能內(nèi)力中，真實(shí)的內(nèi)力應(yīng)使結(jié)構(gòu)的余能為駐值。

該原理說明，如果內(nèi)力滿足全部的靜力平衡條件，而且還能使結(jié)構(gòu)的余能為駐值，則與此內(nèi)力相應(yīng)的變形必然滿足變形協(xié)調(diào)條件，即余能駐值條件與變形協(xié)調(diào)條件是等價(jià)的。

可以證明：超靜定結(jié)構(gòu)中，在同時(shí)滿足靜力平衡方程、幾何方程和物理方程的解具有唯一性的情況下，結(jié)構(gòu)的真實(shí)內(nèi)力不僅使余能為駐值，而且該駐值一定為極小值。這就是最小余能原理。12.3.3余能駐值原理應(yīng)用(1)利用余能駐值原理推導(dǎo)力法典型方程37設(shè)力法基本未知量向量為{X}={X1X2……Xn}T

，在力法基本結(jié)構(gòu)中，各桿任一截面的內(nèi)力可表示為支座反力可表示為(b)(a)上述各式中、、和分別為力法基本結(jié)構(gòu)在Xi=1時(shí)，所產(chǎn)生的任一截面的內(nèi)力和反力；FNp、FQp

、Mp

和Rp

分別為力法基本結(jié)構(gòu)單獨(dú)在荷載作用時(shí)的任一截面的內(nèi)力和反力。則38(c)根據(jù)余能駐值條件得(d)展開得39所以(e)式可以寫成這就是力法的典型方程。

因?yàn)?0(2)利用余能駐值原理直接解超靜定問題例2

利用余能駐值原理作圖示結(jié)構(gòu)的M圖（EI=常數(shù)）。BqllAC解：取力法基本結(jié)構(gòu)后，其靜力可能的內(nèi)力為qX1ABC力法基本結(jié)構(gòu)xxAB段:BC段：

結(jié)構(gòu)的應(yīng)變余能為結(jié)構(gòu)支座位移余能為E*C=0則結(jié)構(gòu)的余能為EC=U*由余能駐值條件得41解之得求出X