2023屆陜西省西安市第四十八中學等2校高三下學期2月聯(lián)考數(shù)學（文）試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat15頁2023屆陜西省西安市第四十八中學等2校高三下學期2月聯(lián)考數(shù)學（文）試題一、單選題1．復數(shù)的虛部為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】利用復數(shù)的乘法運算求出復數(shù)，然后根據(jù)復數(shù)的概念即可求解.【詳解】因為，所以的虛部為1，故選：.2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，利用對數(shù)函數(shù)的性質求出集合，然后根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】因為，且，所以，故選：.3．某社區(qū)有1500名老年居民、2100名中青年居民和1800名兒童居民．為了解該社區(qū)居民對社區(qū)工作的滿意度，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些居民中抽取一個容量為n的樣本，若中青年居民比老年居民多抽取20人，則（

）A．120 B．150 C．180 D．210【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的方法計算即可.【詳解】由題可知，解得．故選：C4．曲線在處切線的傾斜角為，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)給定函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出，再利用齊次式法計算作答.【詳解】因為，則，因此，所以.故選：C5．在正方體中，分別為的中點，則直線與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合正方體的幾何特征作出直線與所成的角，解三角形即可得答案.【詳解】如圖，取的中點M．連接，由于分別為的中點，故,而,即四邊形為平行四邊形，故,所以，則或其補角即為與所成的角．不妨設，則，即為等腰三角形，故，則直線與夾角的余弦值為，故選：D6．定義在R上的奇函數(shù)滿足，當時，，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】先求出函數(shù)的周期，再根據(jù)對稱性求解.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，解得，又，所以，則，即是以4為周期的周期函數(shù)，；故選:B.7．已知橢圓的左、右焦點分別為，M為C上一點，若的中點為，且的周長為，則C的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)的周長可得，由的中點坐標求得M坐標，代入橢圓方程可得關系式，解方程可得的值，即可求得答案【詳解】因為的周長為，所以，則，又,的中點為，所以M的坐標為，故，則，結合，，解得，所以橢圓C的標準方程為，故選：A8．設等差數(shù)列{}的前n項和為，若，則當取得最大值時，＝（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【分析】根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質可得出，，即可求解.【詳解】在等差數(shù)列{}中，由，得，則，又，∴，，則當取得最大值時，．故選：C9．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，若在上恰有2個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得，由得，由在上恰有2個零點，得，即可解決.【詳解】由題可知，，先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得，再將所得圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標不變，得，當時，，因為在上恰有2個零點，所以，解得.所以的取值范圍為，故選：B10．設O為坐標原點，是雙曲線的左、右焦點，已知雙曲線C的離心率為，過作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，則（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】不妨設，求出，然后算出可得答案.【詳解】不妨設，則，．由余弦定理可得，，所以，所以．故選：A11．已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用換底公式及做差法可比較大小，利用作為中間量可比較大小.【詳解】因為，則，故；又，且，在上單調遞增，則，故，所以.故選：D12．已知正三角形的邊長為6，，，且，則點到直線距離的最大值為（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】由結合得出點在線段上運動，進而得出點到直線距離的最大值.【詳解】因為，所以，所以．如圖，設，，則．因為，，所以點在線段上運動，顯然，當點與點重合時，點到直線的距離取得最大值．故選：D二、填空題13．設滿足約束條件，則的最大值為__________.【答案】6【分析】作出可行域，根據(jù)的幾何意義，即可得出最大值.【詳解】畫出可行域解可得，.由圖可知，當直線經(jīng)過點時，取得最大值6.故答案為：.14．在區(qū)間上隨機抽取1個數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為______.【答案】【分析】根據(jù)幾何概型計算求解即可.【詳解】由，解得.因為，所以事件“”發(fā)生的概率為.故答案為：.15．“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”出自《莊子·天下》，其中蘊含著數(shù)列的相關知識，已知長度為4的線段，取的中點C，以為直徑作圓（如圖①），該圓的面積為，在圖①中取的中點D，以為直徑作圓（如圖②），圖②中所有圓的面積之和為，以此類推，則________．【答案】【分析】求得，確定各圓的面積成以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求得答案.【詳解】由題意可知，，后一個圓的半徑為前一個圓半徑的一半，故各圓的面積成以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，故答案為：16．某圓錐的底面半徑為1，高為3，在該圓錐內部放置一個正三棱柱，則該正三棱柱體積的最大值為__________．【答案】/【分析】作出對應的圖形，設正三棱柱上底面外接圓的半徑為r，利用題意得出三棱柱的高，，進而求出體積的表達式，利用導數(shù)求出體積的最值即可.【詳解】如圖，設正三棱柱上底面外接圓的半徑為r，三棱柱的高為h,根據(jù)題意作出圓錐的軸截面，由可得，則該三棱柱的高，，則該三棱柱的體積，，當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；所以時，V取得最大值，且最大值為．故答案為：.三、解答題17．猜燈迷是我國一種民俗娛樂活動，某社區(qū)在元宵節(jié)當天舉行了猜燈謎活動，工作人員給每位答題人提供了5道燈謎題目，答題人從中隨機選取2道燈迷題目作答，若2道燈謎題目全答對，答題人便可獲得獎品.(1)若甲只能答對工作人員所提供的5道題中的2道，求甲能獲得類品的概率；(2)若甲不能獲得獎品的概率為，求甲能答對所提供燈謎題目的數(shù)量.【答案】(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)古典概型公式計算即可；（2）根據(jù)對立事件概率和為1，由甲不能獲得獎品的概率求出甲能獲得獎品的概率，再求出答對的題目數(shù)量.【詳解】（1）設工作人員提供的5道燈謎題目為，，，，，甲能答對的題目為，.從這5道題目中隨機選取2道，總的事件有，，，，，，，，，，共10種情況，甲2道題目全答對的事件有這1種情況，故甲能獲得獎品的概率為.（2）因為甲不能獲得獎品的概率為，所以甲能獲得獎品的概率為.設甲能答對所提供燈謎題目的數(shù)量為，由（1）可知，.若，不妨設甲能答對的題目為，，，則甲2道題目全答對的事件有，，，共3種情況，甲能獲得獎品的概率為，符合題意，故甲能答對所提供燈謎題目的數(shù)量為3.18．如圖，在三棱錐中，為的中點.(1)證明：平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，，結合線面垂直的判定即可證；（2）點O到平面PAC距離，即為三棱錐面PAC的高，計算出與即可.【詳解】（1）證明：因為為的中點，所以.連接，因為，所以.又，所以，所以.因為平面平面，所以平面.（2）因為，所以，.，.設點到的距離為，則，則.設點到平面的距離為，則.因為，所以，解得，即點到平面的距離為.19．在中，點D在邊上，且．(1)若平分，求的值；(2)若成遞增的等比數(shù)列，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）運用余弦定理求出的關系，再運用正弦定理求解；（2）運用余弦定理求出AB，BC的值，再求出，用面積公式計算即可.【詳解】（1）設，則，因為平分，所以，設，則，在中，，在中，，由，得，；（2）因為成遞增的等比數(shù)列，，所以，在中，，在中，，因為，所以，整理得，又，所以，解得或，若，則，不符合題意，若，則，符合題意，此時，則的面積.20．已知拋物線的焦點為F，圓，過C上一點作C的切線，該切線經(jīng)過點．(1)求C的方程；(2)若與C相切的直線l，與E相交于P，Q兩點，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導數(shù)求出切線的斜率，然后可建立方程求出；（2）設l與C相切于點，然后求出切線的方程，然后求出、點到l的距離，然后表示出面積，然后可得答案.【詳解】（1）由，得，則．設該切線的斜率為k，則．由題可知，，因為該切線經(jīng)過點，所以，解得，故C的方程為．（2）設l與C相切于點，則l的方程為，即．由（1）可知，E的方程為．則圓心到l的距離．因為l與E相交，所以，整理得．．點到l的距離，的面積，當且僅當時，等號成立，故面積的最大值為．21．已知函數(shù)，.(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間(2)【分析】（1）求導，由指數(shù)函數(shù)，余弦函數(shù)的單調性確定，得出的單調區(qū)間；（2）討論，，利用導數(shù)得出的最小值，進而由得出的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，.當時，，，則，故的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間.（2）因為，所以.若，則由（1）可知，在上恒成立，則在上單調遞增，故，符合題意.若，令函數(shù)，則在上恒成立，故在上單調遞增.因為，且當時，，所以，.故當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則，不符合題意.綜上所述，的取值范圍為.【點睛】關鍵點睛：解決問題（2）時，關鍵將問題轉化為最值問題，由得出的取值范圍.22．在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；(2)過曲線上任意一點作與直線的夾角為45°的直線，且與交于點，求的最小值.【答案】(1)曲線的普通方程為；直線的直角坐標方程為.(2)【分析】（1）對曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得曲線的普通方程；將代入的極坐標方程中，可得直線的直角坐標方程；（2）設，利用點到直線的距離公式和三角函數(shù)的性質求解即可.【詳解】（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），由，消去參數(shù)，可得曲線的普通方程為.將代入直線的極坐標方程中，可得直線的直角坐標方程為.（2）設，則點到的距離其中.因為過點的直線與