2021屆高考數(shù)學(xué)專題十五平行垂直關(guān)系的證明精準(zhǔn)培優(yōu)專練理

培優(yōu)點十五平行垂直關(guān)系的證明1．平行關(guān)系的證明例1：如圖，，，，分別是正方體的棱，，，的中點．求證：〔1〕平面；〔2〕平面平面．【答案】〔1〕見解析；〔2〕見解析．【解析】證明〔1〕如圖，取的中點，連接，，因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面．〔2〕由題意可知．連接，，因為，所以四邊形是平行四邊形，故又，，所以平面平面．2．垂直關(guān)系的證明例2：如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，為棱的中點．，，．〔1〕求證：平面；〔2〕求證：平面；〔3〕在棱上是否存在點，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由．【答案】〔1〕見解析；〔2〕見解析；〔3〕存在，．【解析】〔1〕證明：連接與，兩線交于點，連接．在中，∵，分別為，的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面．〔2〕證明：∵側(cè)棱底面，平面，∴，又∵為棱的中點，，∴．∵，，平面，∴平面，∴∵，∴．又∵，∴在和中，，∴，即，∴∵，，平面，∴平面．〔3〕解：當(dāng)點為的中點，即時，平面平面證明如下：設(shè)的中點為，連接，，∵，分別為，的中點，∴，且．又∵為的中點，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面．對點增分集訓(xùn)對點增分集訓(xùn)一、單項選擇題1．平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出以下四個命題：①；②；③與相交與相交或重合；④與平行與平行或重合；其中不正確的命題個數(shù)是〔〕A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】結(jié)合題意逐一分析所給的四個說法，在如下圖的正方體中：對于說法①：假設(shè)取平面為，，分別為，，分別為，滿足，但是不滿足，該說法錯誤；對于說法②：假設(shè)取平面為，，分別為，分別為，滿足，但是不滿足，該說法錯誤；對于說法③：假設(shè)取平面為，，分別為，分別為，滿足與相交，但是與異面，該說法錯誤；對于說法④：假設(shè)取平面為，、分別為，、分別為，滿足與平行，但是與異面，該說法錯誤；綜上可得：不正確的命題個數(shù)是4．此題選擇D選項．2．、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，那么以下命題中正確的選項是〔〕A．假設(shè)，，且，那么B．假設(shè)平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，那么C．假設(shè)，，那么D．假設(shè)，，那么【答案】D【解析】對于選項A，假設(shè)，，且，那么l不一定垂直平面，∵有可能和平行，∴該選項錯誤；對于選項B，假設(shè)平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，那么、可能相交或平行，∴該選項錯誤；對于選項C，假設(shè)，那么有可能在平面內(nèi)，∴該選項錯誤；對于選項D，由于兩平行線中有一條垂直平面，那么另一條也垂直平面，∴該選項正確，故答案為D．3．給出以下四種說法：①假設(shè)平面，直線，那么；②假設(shè)直線，直線，直線，那么；③假設(shè)平面，直線，那么；④假設(shè)直線，，那么．其中正確說法的個數(shù)為〔〕A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】D【解析】假設(shè)平面，直線，那么可異面；假設(shè)直線，直線，直線，那么可相交，此時平行兩平面的交線；假設(shè)直線，，那么可相交，此時平行兩平面的交線；假設(shè)平面，直線，那么無交點，即；應(yīng)選D．4．、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，那么以下命題中正確的有〔〕〔1〕，，，〔2〕，〔3〕，，〔4〕，A．0個 B．1個 C．2個 D．3【答案】B【解析】由，，，，假設(shè)相交，那么可得，假設(shè)，那么與可能平行也可能相交，故〔1〕錯誤；假設(shè)，根據(jù)線面垂直的第二判定定理可得，故〔2〕正確；假設(shè)，，，那么或異面，故〔3〕錯誤；假設(shè)，，那么或，故〔4〕錯誤；應(yīng)選B．5．如圖，在正方體中，分別是的中點，那么以下命題正確的選項是〔〕A． B．C． D．【答案】C【解析】A：和是異面直線，應(yīng)選項不正確；B：和是異面直線，應(yīng)選項不正確；C：記．∵正方體中，分別是的中點，∴，，∴為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．D：由C知，而面和面相交，應(yīng)選項不正確；應(yīng)選C．6．是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，那么以下命題正確的選項是〔〕A．假設(shè)垂直于同一平面，那么平行B．假設(shè)平行于同一平面，那么平行C．假設(shè)不平行，那么在內(nèi)不存在與平行的直線D．假設(shè)不平行，那么不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】垂直于同一平面的兩平面相交或平行，A不正確；平行于同一平面的兩直線可相交、平行或異面，B不正確；平面不平行即相交，在一個平面內(nèi)平行兩平面交線的直線與另一平面平行，C不正確；D為直線與平面垂直性質(zhì)定理的逆否命題，故D正確．應(yīng)選D．7．是兩條不重合的直線，，，是三個兩兩不重合的平面，給出以下四個命題：①假設(shè)，那么；②假設(shè)，那么；③假設(shè)，那么；④假設(shè)是異面直線，，那么．其中真命題是〔〕A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④【答案】D【解析】逐一考察所給的命題：①由線面垂直的性質(zhì)定理可得假設(shè)，那么，命題正確；②如下圖的正方體中，取平面分別為平面，滿足，但是不滿足，命題錯誤；③如下圖的正方體中，取平面分別為平面，直線分別為，滿足，但是不滿足，命題錯誤；④假設(shè)是異面直線，，由面面平行的性質(zhì)定理易知，命題正確；綜上可得，真命題是①和④，此題選擇D選項．8．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且；那么以下結(jié)論錯誤的選項是〔〕．A． B．C．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等【答案】D【解析】在正方體中，平面，而平面，故，故A正確．又平面，因此平面，故B正確．當(dāng)變化時，三角形的面積不變，點到平面的距離就是到平面的距離，它是一個定值，故三棱錐的體積為定值〔此時可看成三棱錐的體積〕，故C正確．在正方體中，點到的距離為，而到的距離為1，D是錯誤的，應(yīng)選D．9．如下圖，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，點是圓周上不同于的任意一點，分別為的中點，那么以下結(jié)論正確的選項是〔〕A． B．與所成的角為C．平面 D．平面平面【答案】D【解析】對于A項，與異面，故A項錯；對于B項，可證平面，故，∴所成的角為，因此B項錯；對于C項，與不垂直，∴不可能垂直平面，故C項錯；對于D項，由于，平面，平面，∴，∵，∴平面，平面，∴平面平面，應(yīng)選D．10．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面三角形是正三角形，是中點，那么以下表達(dá)正確的選項是〔〕A．與是異面直線 B．平面C．，為異面直線且 D．平面【答案】C【解析】對于A項，與在同一個側(cè)面中，故不是異面直線，∴A錯；對于B項，由題意知，上底面是一個正三角形，故平面不可能，∴B錯；對于C項，∵，為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，∴C正確；對于D項，∵所在的平面與平面相交，且與交線有公共點，故平面不正確，∴D項不正確；應(yīng)選C．11．設(shè)分別是正方體的棱上兩點，且，給出以下四個命題：①三棱錐的體積為定值；②異面直線與所成的角為；③平面；④直線與平面所成的角為．其中正確的命題為〔〕A．①② B．②③ C．①②④ D．①④【答案】A【解析】由題意得，如下圖，①中，三棱錐的體積的為，∴體積為定值；②中，在正方體中，，∴異面直線與所成的角就是直線與所成的角，即，∴這正確的；③中，由②可知，直線與不垂直，∴面不成立，∴是錯誤的；④中，根據(jù)斜線與平面所成的角，可知與平面所成的角，即為，∴不正確．12．如以下圖，梯形中，，，將沿對角線折起．設(shè)折起后點的位置為，并且平面平面．給出下面四個命題：①；②三棱錐的體積為；③平面；④平面平面．其中正確命題的序號是〔〕A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】B【解析】①∵，∴，∵，∴，∵平面平面，且平面平面，∴平面，∵平面，∴，故不成立，故①錯誤；②棱錐的體積為，故②錯誤；③由①知平面，故③正確；④由①知平面，又∵平面，∴，又，且、平面，，∴平面，又平面，∴平面平面，故④正確．應(yīng)選B．二、填空題13．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，那么以下命題正確的選項是________．(填序號)①假設(shè)，，那么；②假設(shè)，，那么；③假設(shè)，，那么；④假設(shè)，，那么．【答案】③【解析】，，那么，與可能相交也可能異面，∴①不正確；，，那么，還有與可能相交，∴②不正確；，，那么，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理，故③正確；，，那么，也可能，也可能，∴④不正確；故答案為③．14．一個正方體紙盒展開后如下圖，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論①；②與所成的角為；③與是異面直線；④．以上四個命題中，正確命題的序號是_________．【答案】①③【解析】把正方體的平面展開圖復(fù)原成原來的正方體，如圖：那么，與異面，，只有①③正確．故答案為①③．15．假設(shè)四面體的三組對棱分別相等，即，給出以下結(jié)論：①四面體每組對棱相互垂直；②四面體每個面的面積相等；③從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大而小于；④連接四面體每組對棱中點的線段相互垂直平分．其中正確結(jié)論的序號是__________．(寫出所有正確結(jié)論的序號〕【答案】②④【解析】①將四面體的三組對棱分別看作平行六面體的對角線，由于三組對棱分別相等，∴平行六面體為長方體．

由于長方體的各面不一定為正方形，∴同一面上的面對角線不一定垂直，從而每組對棱不一定相互垂直．①錯誤；

②四面體的每個面是全等的三角形，面積是相等的．②正確；

③由②，四面體的每個面是全等的三角形，從四面體每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個三角形內(nèi)的三個內(nèi)角，它們之和為．③錯誤；

④連接四面體每組對棱中點構(gòu)成菱形，線段互垂直平分④正確，故答案為②④．16．如圖，一張矩形白紙，，，分別為的中點，現(xiàn)分別將，沿折起，且在平面同側(cè)，以下命題正確的選項是____________〔寫出所有正確命題的序號〕．①當(dāng)平面平面時，平面②當(dāng)平面平面時，③當(dāng)重合于點時，④當(dāng)重合于點時，三棱錐的外接球的外表積為【答案】①④【解析】在中，，在中，，∴，由題意，將沿折起，且在平面同側(cè)，此時四點在同一平面內(nèi)，平面平面，平面平面，當(dāng)平面平面時，得到，顯然，∴四邊形是平行四邊形，∴，進(jìn)而得到平面，∴①正確的；由于折疊后，直線與直線為異面直線，∴與不平行，∴②錯誤的；折疊后，可得，，其中，，∴和不垂直，∴③不正確；當(dāng)重合于點時，在三棱錐中，和均為直角三角形，∴為外接球的直徑，即，那么三棱錐的外接球的外表積為，∴④是正確，綜上正確命題的序號為①④．三、解答題17．如圖，四棱錐中，，，，為正三角形．且．〔1〕證明：平面平面；〔2〕假設(shè)點到底面的距離為2，是線段上一點，且平面，求四面體的體積．【答案】〔1〕見解析；〔2〕．【解析】〔1〕證明：∵，且，∴，又為正三角形，∴，又∵，，∴，又∵，，∴，，∴平面，又∵平面，∴平面平面．〔2〕如圖，連接，交于點，∵，且，∴，連接，∵平面，∴，那么，由〔1〕點到平面的距離為2，∴點