1.2.3 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

1.2.3

同角三角函數(shù)的基本系式教材知識檢索考點知識清單1．同角三角函數(shù)的兩個最基本關(guān)系為和．2．知道一個角的某一三角函數(shù)，利用這兩個關(guān)系式和，可以求出這個角的其_，此外還可以利用他們和．3．證明一個三角恒等式，可以它的開，推出等于另一邊，也可以用證明等式兩之差等于零；還可以先證得，由此推出需要證明的等式成立．要點核心解讀同角角數(shù)基關(guān)系如圖1-2-3-1，在單位圓中，三角函數(shù)的定義和勾股定理可得

2

2

tan

．需注的個題(1)公式成立的條件：公式

sin

2

對一切

R

均成立；tan

僅在

k

(k2

時成立．(2)學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)式時，首先要突出“同角”的含義，這里的“同角”應(yīng)作廣義的理解，例如

與,3與同角，6與3

也是同角．同角的三角函數(shù)關(guān)系是三角學(xué)的最基本而且也是最重要的公式，掌握好這些公式對以后的學(xué)習(xí)關(guān)重要．學(xué)習(xí)時要從“公式的證”“公式的記憶”“公式的應(yīng)用”三個方面人手．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)有意識的培養(yǎng)推理論證能力和分析轉(zhuǎn)化能力．(3)使用平方關(guān)系

in

cos

正負(fù)由所的象限來確定而對于其他形式的公式就不必考慮符號問題．(4)運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，應(yīng)注意公式變形及逆用：如

sin

2

2co..

2

2

cos2

sin

sinsin,

(5)這兩個關(guān)系式是三角函數(shù)中最基本的關(guān)系式．當(dāng)我們知道一個角的某一三角函數(shù)值時，利用兩個關(guān)系式和三角函數(shù)的定義，就可求出這個角的其余三角函數(shù)值．此外，還可以用它們化簡三函數(shù)式和證明三角恒等式．．兩重題的理法(1)化簡三角函數(shù)的目的是為了簡化運算，化簡的一般要求：①能求出函數(shù)值的要求出函數(shù)值來；②函數(shù)種類盡可能地少；③要使化簡后的式子項數(shù)最少，次數(shù)最低；④盡量化去含有根式的式子，盡可能地不含分母，化簡的關(guān)鍵是消元和降次．(2)證明三角恒等式的實質(zhì)是消除等式兩邊的差異，就是有目的的化簡，根據(jù)不同題型，可采用①左邊

右邊；②右邊

左邊；③右邊，左邊

中間．這是就證明題的“方向”而畝的“繁簡”角度講一般由繁到簡另要注意“切割化弦的變形．典例分類剖析考1知求他題命規(guī)已知一個角的某一三角函數(shù)值求這個角的其余三角函數(shù)值．[例1](1)已知

sin

45

,

且是二象限角，則

tan

的值是)．4334A.B..D3443(2)已知

45

,

求

tan

的值．[解析](1)

45

,

且α是第二象限角，43121)2,554tancos

故選．4(2)0,5

是第一或第二象限角，當(dāng)α為第一象限角時，

1sin

2

35

,tan3當(dāng)α為第二象限角時，

2

3,5∴當(dāng)為第一象限角時，

tan

44;當(dāng)α為第二象限角時，tan33[答案】(1)A(2)見解析．

cos2cos2[點撥](1)已知cos2cos2

sincot、

四個三角函數(shù)值中的一個，就可以求另外三個，但在利用平方關(guān)系時符號的選擇是看α屬于哪個象限這是易出錯的地方應(yīng)引起重視當(dāng)α的象限不確定時，則需分象限討論．(2)同三角函數(shù)的基本關(guān)系式反映了各種三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為三角函式的變形提供了工具和方法，sin

1,5

求

(2)A是的個內(nèi)角，且

sinA

4A,求的5A考2含母的一其問命規(guī)已知一個角的萊一三角函數(shù)值以字母呈現(xiàn)，求這個角的其他三角函數(shù)值．[例2]已知

求

tan

的值．[解析可由cos

1sin

根據(jù)正、負(fù)號的選取情況對作出討論，再求

tan

(1)當(dāng)0時tan

sincos

(2)當(dāng)

時，的終邊落在y軸，此時無義．(3)當(dāng)在第一、四象限時，

0,cos

1

,sinmm1tan11cos0,當(dāng)α在第二、三象限時，

2

cos

,mm112,求

2

考3關(guān)

sin

齊式求問命規(guī)已知tan的，求含有的齊次式的三角函數(shù)式的值．[例已知

3sin

0,

求下列各式的值．(1)

sinsin

coscos

sin

;(2)sin2sincos2[解]解題的常規(guī)思路是

3sin

2

得tan

23

再討論α在一或第三象限時sin

和的值，而可求出所要求的值．但這種方法計算量過大．我們注意中分子、分母都是關(guān)于

的一次齊次式，因此在它的分子、分母中同除cos

,

就轉(zhuǎn)化成用

tan

表示，因而很

3容易求出其值．(2)中分母看是，并用32(1)顯然3

22

的式子α來替，因而與1)類地轉(zhuǎn)化即可．

sinsin

coscos

1tan11tan1

23

sin

2cos2

sin

2

2sincos

2

tan

2

tan

43知

求下列各式的值：(1)

4sinsin4cossinsin

;(2)2sin

3sin

4.考4化問命規(guī)化簡給出的三角函數(shù)式，[例4]化下列各式：(1)

1tan

;sin1sinsin(2)4[解析(1)原式

1

cos

(1sin2

|cos|1sin2||9*hLhhk),tan(2)原式

sin26sin24

22

sin

4

cos4cos

sin2

sin

22

cos

cos

1212

sin

2

2sin2sin22

2

2[點撥】對(運公式，想方設(shè)法將無理式化為有理式，將結(jié)果化為最簡形式．對(2)，遇到高，要通過基本關(guān)系式降次，將l代為

再因式分解．注意切化弦的技巧，4．化簡：

sinin2oin3289;cos

6

sin

6

3sin

2

cos

2

(3)

1sin

1

考5三式的明命規(guī)證明給出的三角恒等式成立．[例求證

sin

cos

2

.[解析左=

1

cos

2

2

2sin

2(cossin2(cossinsin

右邊．[點撥證明三角恒等式的常用方與證明代數(shù)恒等式的常用方法基本相同，(1)從證到左(2)左證到右；(3)證明左右歸一．擇哪一種的原則是化繁為簡，另外還有變更命題法，如要證

,可證

或證

D

等．5．證明：

cos1sin

(2)已知

tan

2

2tan

2

求證：

sin

2

2sin

2

考6

2

2

的式用命規(guī)已知

sincos

中之一，求其余兩個的值或求

sin

的值．[例已知：

15

,

(0,

求值：(1)tan

sin

;(3)

3

3

[解析]

sin

15

,

1225

sin

且

cos

是方程

x

2

1124x0兩根，解方程得xx555sin

43,cos5

437tan,sm,sin33125

6．(1)已

1,442

sin

的值．(2)設(shè)

sin

是方程

3xm0

的兩根與

1cot

的值。優(yōu)化分層測訓(xùn)學(xué)業(yè)水平測試1．下列四個命題中可能成立的個()

12A12

11且22

Bcos

cos

D．在第二象限時，

tan

2．已知

4,且么的為)．5A.

35..D433．若

[0,2且1cos

1sin

則

的取值范圍是()．33A].[,.[]24．若

cos

35

,

則

sin

.cos

5．化簡

4

cos

6．化簡

sin

22cos高考能力測試（測試時間：45分鐘試滿分100分一、選擇題（5分×8=40分）1．已知

15

且

0,sin）A.

2626B.c.5

6.

6122．下列各式能成立的是()A.sin

1且tan3

2C.sin

12

33

D

cot

143．已知

1且,842

sin

的值等于()．A.

32

.

34

C.

3D224．已知α是三角形的一個內(nèi)角且

23

,

那么這個三角形的形狀為)A．銳角三角形B．鈍角三形C不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形5．已知

335

那么tan值為．A.

443.D.3356．若

2sin則

cos

的值等于)．

1A.1

1411

B

1014D或9117年國高考卷I）是第四象限角，

tan

512

,則sin

等于)．A.

1.C..513

5138．若

,cos

則m的值()．A.0B

C.0或m二、填空題（5分x4=20分）9．若為銳角，且

cot

10.已知x是角，

xx

237

,

則

tanx

的值是11．已知

f(

11x

若

,2

則

f

)(

)12．已知

3sin5,

則

3