2023年哈爾濱工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)期末考試試題和答案

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦哈爾濱工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)期末考試試題和答案.doc高等數(shù)學(xué)期末考試試題（4）

一、填空題：（本題共5小題,每小題4分,滿分20分,把答案直接填在題中橫線上）

1、已知向量a、b滿足0ab+=,2a=,2b=,則ab?=．

2、設(shè)ln()zxxy=,則32

z

xy?=??．

3、曲面2

2

9xyz++=在點(1,2,4)處的切平面方程為．4、設(shè)()fx是周期為2π的周期函數(shù),它在[,)ππ-上的表達(dá)式為()fxx=,則()fx的傅里葉級數(shù)在3x=處收斂于,在xπ=處收斂于．5、設(shè)L為銜接(1,0)與(0,1)兩點的直線段,則

()L

xyds+=?

．

※以下各題在答題紙上作答,答題時必需寫出具體的解答過程,并在每張答題紙寫上：姓名、學(xué)號、班級．二、解下列各題：（本題共5小題,每小題7分,滿分35分）

1、求曲線222

222

239

3xyzzxy

?++=??=+??在點0M(1,1,2)-處的切線及法平面方程．

2、求由曲面2

2

22zxy=+及2

2

6zxy=--所圍成的立體體積．

3、判定級數(shù)1

1

(1)ln

nnnn

∞

=+-∑是否收斂？假如是收斂的,是肯定收斂還是條件收斂？

4、設(shè)(,)sinxzfxyyy=+,其中f具有二階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求2,

zz

xxy

?????．

5、計算曲面積分,dSz∑

??其中∑是球面2222

xyza++=被平面(0)zhha=．

五、（本題滿分10分）

求冪級數(shù)13n

nnxn

∞

=?∑的收斂域及和函數(shù)．

六、（本題滿分10分）

計算曲面積分332223(1)Ixdydzydzdxzdxdy∑

=

++-??,其中∑為曲面2

2

1(0)zxyz=--≥的上側(cè)．

七、（本題滿分6分）

設(shè)()fx為延續(xù)函數(shù),(0)fa=,2

22()[()]tFtzfx

yzdvΩ=

+++???,其中tΩ

是由曲面z=

與z=,求3

()

limtFtt+

→．

2022高等數(shù)學(xué)期末考試試題【A卷】

參考解答與評分標(biāo)準(zhǔn)2022年6月

一、填空題【每小題4分,共20分】1、4-；2、21

y

-；3、2414xyz++=；4、3,0；5

二、試解下列各題【每小題7分,共35分】

1、解：方程兩邊對x求導(dǎo),得323dy

dzyzxdxdxdydzyzx

dx

dx?+=-????-=-??,從而54dyxdxy=-

,74dzxdxz=…………..【4】該曲線在

()1,1,2-處的切向量為571(1,,)(8,10,7).488

T==…………..【5】故所求的切線方程為

1128107

xyz-+-==………………..【6】法平面方程為

()()()81101720xyz-+++-=即810712xyz++=(7)

２、解：22

22

226zxyzxy

?=+??=--?22

2xy+=,該立體Ω在xOy面上的投影區(qū)域為22:2xyDxy+≤．…..【2】故所求的體積為V

dvΩ

=

???22

2620

20

2(63)6dddzdπρρ

θρπρρπ-==-=??

(7)

３、解：由11limlimln(1)limln(1)10n

nnnnnunnn→∞→∞→∞=+=+=>,知級數(shù)1

nnu∞

=∑發(fā)散(3)

又111||ln(1)ln(1)||1n

nuunn+=+>+=+,1lim||limln(1)0nnnun

→∞→∞=+=.故所給級數(shù)收斂且條件收斂．【7】

４、解：

121211

()0zfyfyffxyy

?''''=?+?+=+?,…………………【3】2111122212222211[()][()]zxx

fyfxfffxfxyyyyy?''''''''''=+?+?--+?+?-??111222

231.xfxyfffyy

''''''=+--【7】５、解：∑

的方程為z=,∑在xOy面上的投影區(qū)域為2222{(,)|}xyDxyxyah=+≤-．

=,…..………【３】

故

22222200xyDdSadxdydadzaxyaπ

ρρθρ∑

==?????

220

12ln()2ln2a

aaah

πρπ?=--=????..【7】

三、【9分】解：設(shè)(,,)Mxyz為該橢圓上的任一點,則點M

到原點的距離為d=

【1】

令2

2

2

2

2

(,,)()(1)Lxyzxyzzxyxyzλμ=+++--+++-,

則由22

220

220221xyzLxxLyyLzzxyxyzλμλμλμ=-+=??=-+=??=++=??=+?

++=??

,

解得12xy-==

,23z=．于是得到兩個可能極值點

12MM+…【7】又由題意知,距離的最大值和最小值一定存在,所以距離的最大值與最小值分離在這兩點處取得．

故max

2min1||||dOMdOM====(9)

四、【10分】解：記L與直線段OA所圍成的閉區(qū)域為D,則由格林公式,得

22(sin)(cos)8

xxD

LOA

Ieymdxeymxdymdmaπ

σ+=

-+-=-=-

???．(5)

而1

(sin)(cos)a

xx

OA

Ieymdxeymxdymdxma=-+-=-=-??(8)

∴221(sin)(cos).8

xxL

eymdxeymxdyIImamaπ

-+-=-=-

?(10)

五、【10分】解：()1131

lim

lim3133nnnnnnanRanρ++→∞→∞===?=+,收斂區(qū)間為(3,3)-…………【2】又當(dāng)3x=時,級數(shù)成為1

1

nn∞

=∑,發(fā)散；當(dāng)3x=-時,級數(shù)成為()11n

nn∞

=-∑,收斂．(4)

故該冪級數(shù)的收斂域為

[)3,3-(5)

令()13

n

nnxsxn∞

==∑（33x-≤<）,則

11111111

()()3

3331/33nnnnnxxsxxx-∞

∞-=='====

--∑∑,(||3x<)(8)

于是()()00

0()()ln3ln3ln33xx

xdx

sxsxdxxxx'=

==--=?

?

,（33x-≤<）(10)

六、【10分】解：取1∑為22

0(1)zxy=+≤的下側(cè),記∑與1∑所圍成的空間閉區(qū)域為Ω,則由高斯公式,

有()()1

332222

22316Ixdydzydzdxzdxdyxyzdv∑+∑Ω

=

++-=++??

???(5)

()221

12

62ddzdzπρθρρ

ρπ-=+=???

(7)

而()()221

1

33221

1

2231313

3xyIxdydzydzdxzdxdyzdxdydxdyπ∑∑+≤=++-=-==??????

(9)

2123.IIIπππ∴=-=-=-(10)

七、【6分】解：()()22

24

0sincost

Ftddrfrrdrπ

πθ?????=+?

??

??….…【2】()32244

00002sincossinttdrdrdfrrdrππ

π???????=+????

????