中等職業(yè)學(xué)校對口升學(xué)考試數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第十章概率與統(tǒng)計(jì)初步

中等職業(yè)學(xué)校對口升學(xué)考試《數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)》第十章概率與統(tǒng)計(jì)初步考綱要求命題趨勢真題在線知識清單典例解析章節(jié)要點(diǎn)15234考綱要求一知識內(nèi)容考試層次要求了解理解掌握分類、分步計(jì)數(shù)原理√隨機(jī)事件和概率√古典概型、概率加法公式√直方圖與頻率分布√總體與樣本√抽樣方法√用樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體√排列的概念√排列數(shù)公式√組合的概念√組合數(shù)公式√二項(xiàng)式定理√二項(xiàng)式系數(shù)√二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)√離散型隨機(jī)變量及其分布,離散型隨機(jī)變量的均值、方差√獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及其概率√二項(xiàng)分布√命題趨勢一命題規(guī)律考點(diǎn)近幾年常考題型及分值20152016201720182019計(jì)數(shù)原理選擇題,4分—選擇題,4分—填空題,4分二項(xiàng)式定理填空題,4分選擇題,4分填空題,4分填空題,4分填空題,4分概率————選擇題,4分統(tǒng)計(jì)選擇題,4分選擇題,4分選擇題,4分選擇題,4分選擇題,4分命題趨勢本章內(nèi)容在歷年真題中多以選擇題和解答題形式出現(xiàn),其分值比例約占8%主要涉及的知識點(diǎn)有:計(jì)數(shù)原理;二項(xiàng)式定理的展開;隨機(jī)事件的概率和樣本的統(tǒng)計(jì)真題在線一第一節(jié)計(jì)數(shù)原理真題在線一1.（2015年·四川對口升學(xué)）從10人的學(xué)習(xí)小組中選正、副組長各一人，選法共有（）.A.30種B.45種C.90種D.100種2.（2017年·四川對口升學(xué)）某班的6位同學(xué)與數(shù)學(xué)老師共7人站成一排照相，如果老師站在中間，且甲同學(xué)與老師相鄰，那么不同的排法共有（）.A.120種B.240種C.360種D.720種3.（2019年·四川對口升學(xué)）為落實(shí)精準(zhǔn)扶貧工作，某單位計(jì)劃從7名優(yōu)秀干部中任選3名到貧困村駐村工作，不同的選派方案有種.知識清單一知識點(diǎn)一兩個計(jì)數(shù)原理1.加法原理知識清單一做一件事,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,…,在第n類辦法中有mn種不同的方法,無論通過哪類辦法的哪種方法,都可以獨(dú)立完成這件事,那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同的方法.2.乘法原理做一件事,完成它需要分成n個步驟,第一步有m1種不同的方法,第二步有m2種不同的方法,…,第n步有mn種不同的方法,必須經(jīng)過每一個步驟才能完成這件事,那么完成這件事共有N=m1·m2·m3·…·mn種不同的方法.知識清單一知識點(diǎn)二排列排列知識清單一(1)排列:一般地,從n個不同的元素中任意取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,稱為從n個不同的元素中任意取出m個元素的一個排列.(2)排列數(shù):我們把從n個不同的元素中任意取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù),稱為從n個不同的元素中任意取出m個元素的排列數(shù),記作Pmn.(3)排列數(shù)公式:Pmn=n!/(n-m)!=n·(n-1)·…·(n-m+1).(4)全排列公式:Pnn=n!.記住下列幾個階乘數(shù):0!=1,1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720.知識清單一知識點(diǎn)三組合組合知識清單一（1）組合：一般地，從n個不同的元素中任意取出m(m≤n)個元素為一組，稱為從n個不同的元素中任意取出m個元素的一個組合.（2）組合數(shù)：我們把從n個不同的元素中任意取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，稱為從n個不同的元素中任意取出m個元素的組合數(shù)，記作Cmn.典例解析一注意：例1某學(xué)校開設(shè)四門不同的外語課、三門不同的計(jì)算機(jī)課作為選修課.問:(1)某學(xué)生從中任選一門課的方法有多少種?(2)某學(xué)生從中選外語和計(jì)算機(jī)各一門課的方法有多少種?【解析】(1)學(xué)校開設(shè)的選修課分兩類:一類是外語,另一類是計(jì)算機(jī).從第一類四門課中任選一門,有4種方法,從第二類三門課中任選一門,有3種方法,所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,從中任選一門的方法是4+3=7(種).(2)學(xué)生選修外語、計(jì)算機(jī)各一門,可分兩步完成:第一步,從四門外語課中任選一門,有4種方法;第二步,從三門計(jì)算機(jī)課中任選一門,有3種方法.所以根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,學(xué)生從中選外語和計(jì)算機(jī)各一門課的方法有4×3=12(種).【技巧點(diǎn)撥】解答此類問題時,頭腦要清晰、冷靜,注意是分步還是分類,是先分步再分類,還是先分類再分步.不管怎樣,解答時要做到不重不漏.【技巧點(diǎn)撥】運(yùn)用排列數(shù)和組合數(shù)公式進(jìn)行求解.典例解析一例2

典例解析一注意：例3（1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？（2）7位同學(xué)站成兩排（前3后4），共有多少種不同的排法？（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？（4）7位同學(xué)站成一排，其中甲、乙只能站在兩端，共有多少種排法？（5）7位同學(xué)站成一排，其中甲、乙不能站在排頭和排尾，共有多少種排法？【解析】（1）P77=7×6×5×4×3×2×1=7!=5040.（2）P77=7×6×5×4×3×2×1=7!=5040.（3）P66=6×5×4×3×2×1=6!=720.（4）第一步,甲、乙站在兩端有P22種；第二步,余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有P55種；則共有P22P55=240種排列方法.典例解析一注意：例3（5）解法一(直接法)：第一步，從除去甲、乙的5位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有P25種方法；第二步，從余下的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列(全排列)有P55種方法；所以一共有P25P55=2400種排列方法.解法二(排除法)：若甲站在排頭有P66種方法；若乙站在排尾有P66種方法；若甲站在排頭且乙站在排尾則有P55種方法.所以甲不能站在站頭，乙不能站在排尾的排法共有P77-2P66+P55=2400種.【技巧點(diǎn)撥】排列組合問題一般要遵循兩個原則：一是按元素性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.排列組合應(yīng)用題的背景豐富，沒有特定的模式和規(guī)律可循，做題時必須認(rèn)真審題，把握問題的本質(zhì)特征，并善于把問題轉(zhuǎn)化為排列組合的常規(guī)模式進(jìn)而求解.本部分題目的解答要注意利用轉(zhuǎn)化思想與分類討論的思想，特別是在解答排列組合問題時，常常轉(zhuǎn)化為以方框或球的模型進(jìn)行直觀研究.真題在線一第二節(jié)二項(xiàng)式定理真題在線一1.（2015年·四川對口升學(xué)）二項(xiàng)式（x+1/x）6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

（用數(shù)字作答）.2.（2016年·四川對口升學(xué)）二項(xiàng)式（x－1）6展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為（）.A.30B.15C.-15D.-303.（2017年·四川對口升學(xué)）二項(xiàng)式（x+1）5展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù)為

.4.（2018年·四川對口升學(xué)）二項(xiàng)式(x+2)6展開式中含x5項(xiàng)的系數(shù)為

.5.（2019年·四川對口升學(xué)）二項(xiàng)式（x2+1/x）6展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（用數(shù)字作答）

.知識清單一典例解析一注意：例1求（x+1/x）3的展開式求（2x-1/√x）12的展開式中的常數(shù)項(xiàng).【技巧點(diǎn)撥】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)可以求常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、指定項(xiàng)等，只要涉及這些內(nèi)容，就應(yīng)想到二項(xiàng)式的通項(xiàng).另外，一定要注意化簡的準(zhǔn)確性.典例解析一例2(1)二項(xiàng)展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和;(2)各項(xiàng)系數(shù)之和.典例解析一例3已知二項(xiàng)式（2x+1)4,求：（2）（a-x）4的展開式中，x3的系數(shù)等于8，則實(shí)數(shù)a=

.【技巧點(diǎn)撥】在求二項(xiàng)式中參數(shù)的值及特定項(xiàng)的系數(shù)等問題時，通常是利用展開式的通項(xiàng)與題目提供的信息及各量之間的制約關(guān)系，巧妙地構(gòu)造方程，最終用方程理論求解.對于整除問題，關(guān)鍵是拆除兩項(xiàng)后利用二項(xiàng)式定理展開，然后說明各項(xiàng)是否能被整除.典例解析一例4(1)(x2+1/x)6的展開式中，x3的系數(shù)是（用數(shù)字作答）.真題在線一第三節(jié)概率真題在線一1.（2016年·四川對口升學(xué)）小明所在班級舉行畢業(yè)會時，設(shè)置了一個抽獎環(huán)節(jié)，抽獎箱中有6個完全相同的紅球，3個完全相同的黃球，抽獎時從箱子中同時摸出兩個球，若摸出的球正好為一紅一黃時則獲得禮品，那么小明可獲禮品的概率為（）.A.1/2B.1/3C.1/4D.2/92.（2017年·四川對口升學(xué)）為了了解某校學(xué)生學(xué)習(xí)我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的情況，隨機(jī)抽取該校100名學(xué)生調(diào)查他們一周課外閱讀古詩文的時間.根據(jù)調(diào)查結(jié)果，得到如所示的頻數(shù)分布表：（1）用事件發(fā)生的頻率來估計(jì)相應(yīng)事件的概率，試估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀古詩文的時間不低于1小時的概率.（2）若每組中各個學(xué)生閱讀時間用該組的中間值（如0~0.5的中間值為0.25）來估計(jì)，試估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀古詩文的平均時間.真題在線一3.（2018年·四川對口升學(xué)）某工程生產(chǎn)一批商品，其中一等品占4/5，每件一等品獲利20元；二等品占3/20，每件二等品獲利10元；次品占1/20，每件次品虧損10元.設(shè)ξ為任意一件商品的獲利金額（單位：元）.（1）求隨機(jī)變量ξ的概率分布；（2）求隨機(jī)變量ξ的均值.知識清單一知識點(diǎn)一隨機(jī)事件和概率1.隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件知識清單一(1)隨機(jī)試驗(yàn):在相同條件下,使用試驗(yàn)和觀察的方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象,試驗(yàn)和觀察可以重復(fù)進(jìn)行,事先可以預(yù)測到可能會發(fā)生的各種結(jié)果,但是無法預(yù)測發(fā)生的確切結(jié)果,這類試驗(yàn)和觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn).(2)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱為隨機(jī)事件,用大寫英文字母A、B等表示.(3)在一定條件下,必然會發(fā)生的事件稱為必然事件,用Ω表示.(4)在一定條件下,肯定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件,用?表示.2.事件的關(guān)系與運(yùn)算知識清單一(1)和事件(并事件):“事件A與B至少有一個發(fā)生”這一事件,稱為事件A與事件B的和(或并),記作A+B(或A∪B).(2)積事件(交事件):“事件A與B同時發(fā)生”這一事件,稱為事件A與事件B的積(或交),記作AB(或A∩B).(3)互斥事件(互不相容事件):若事件A與B不可能同時發(fā)生,則稱事件A與B互斥(或事件A與B互不相容),記為AB=?.(4)對立事件:若事件A與B不可能同時發(fā)生但必有一個會發(fā)生(或AB=?,A+B=Ω),則稱事件A與B互為對立事件,事件A的對立事件記為A.3.概率的統(tǒng)計(jì)定義知識清單一一般地,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時,如果事件A發(fā)生的頻率m/n總穩(wěn)定在某個常數(shù)附近,那么就把這個常數(shù)稱為事件A發(fā)生的概率,記為P(A).4.概率的性質(zhì)(1)概率的取值范圍:0≤P(A)≤1.(2)對于必然事件Ω,P(Ω)=1.(3)對于不可能事件?,P(?)=0.5.古典概率模型知識清單一(1)基本事件:只含一個樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.(2)復(fù)合事件:含有兩個或兩個以上樣本點(diǎn)的事件稱為復(fù)合事件.(3)具有以下兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型:①試驗(yàn)中的所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(有限性).②每個基本事件的出現(xiàn)是等可能的(等可能性).(4)古典概型的概率計(jì)算公式:P(A)=事件A包含的基本事件個數(shù)/基本事件的總數(shù)=m/n.6.概率的運(yùn)算公式知識清單一(1)互斥事件的概率加法公式：若事件A與B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B).(2)概率的一般加法公式：若事件A與B不互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).(3)對立事件的概率：若事件A的對立事件為A，則P(A)=1-P(A).7.相互獨(dú)立事件(1)若事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，則稱事件A與B獨(dú)立.(2)若事件A與B獨(dú)立，則A與B，A與B，A與B都獨(dú)立.(3)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式：若事件A與B獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B).知識清單一知識點(diǎn)二隨機(jī)變量知識清單一1.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)（1）在相同條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)的結(jié)果與其他各次試驗(yàn)的結(jié)果無關(guān)，那么這n次重復(fù)試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，如果每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個，它們相互對立，即只考慮兩個事件A和A，并且在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率都不變，這樣的n次獨(dú)立試驗(yàn)稱為n次伯努利試驗(yàn).(3)伯努利公式：如果每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P（A）=p，事件A不發(fā)生的概率P（A）=1-p,那么在n次伯努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為其中k=0,1,2,…,n.2.隨機(jī)變量知識清單一如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個變量的取值來表示，這個變量取值帶有隨機(jī)性，并且取這些值的概率是確定的，那么這個變量稱為隨機(jī)變量.3.離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的所有可能取值可以一一列出，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量，一般用希臘字母ξ、η等表示(或用大寫字母X、Y等表示).4.離散型隨機(jī)變量的概率分布列(1)如果離散型隨機(jī)變量ξ的可能取值為x1，x2，x3，…，xk,…，xn，且它取這些值的概率依次為P(ξ=xk)=Pk(k=1，2，3，…，n)，則這一列數(shù)稱為離散型隨機(jī)變量ξ的概率分布列，簡稱分布.下表之為離散型隨機(jī)變量ξ的分布列.(2)分布列的性質(zhì)：0≤Pk≤1，P1+P2+…+Pn=1.知識清單一5.數(shù)學(xué)期望與方差某小組有3名男生和3名女生，從中任找4名同學(xué)參加學(xué)校某次志愿服務(wù)活動，那么“至少有1名男生”這一事件是().A.不可能事件B.必然事件C.隨機(jī)事件D.以上均不正確【解析】找4名同學(xué)參加學(xué)校某次志愿服務(wù)活動，因?yàn)榕挥?人，所以必須有男生參與，這也就說明“至少有一名男生”這一事件是必然事件，故選B.【技巧點(diǎn)撥】正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念是解答該類型題目的關(guān)鍵.典例解析一例1某人連續(xù)拋擲了兩次1元硬幣.(1)求第一次出現(xiàn)正面的概率；(2)求至少出現(xiàn)一次正面的概率.【解析】(1)拋擲硬幣兩次，基本事件共有4個：{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}.事件“第一次出現(xiàn)正面”包含的基本事件個數(shù)為2，故其概率為2/4=1/2.(2)事件“至少出現(xiàn)一次正面”包含的基本事件個數(shù)為3，故其概率為3/4.【技巧點(diǎn)撥】解答此類問題的關(guān)鍵點(diǎn)有二：一是正確記憶古典概型概率的計(jì)算公式，二是明晰基本事件總數(shù)和事件A包含的基本事件個數(shù).典例解析一例2

甲、乙兩個射手，甲射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.8，乙射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.9，求：（1）兩人都未擊中目標(biāo)的概率；(2)恰有一人擊中目標(biāo)的概率；（3）兩人都擊中目標(biāo)的概率；（4）至少有一人擊中目標(biāo)的概率.【解析】記“甲射擊一次擊中目標(biāo)”為事件A，記“乙射擊一次擊中目標(biāo)”為事件B，則:“甲未擊中目標(biāo)”，:“乙未擊中目標(biāo)”.典例解析一例3

【技巧點(diǎn)撥】問題(4)采用了兩種解法，在求P（A∪B）時，對A與B是否互斥要分析清楚，在解法二中對問題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，當(dāng)正面計(jì)算分類較復(fù)雜時，從對立面求解較為簡單.典例解析一例3

袋子中有1個白球和4個黑球，每次從中任取1個球，取后不放回，直到取出白球?yàn)橹?（1）求取球次數(shù)X的分布列；（2）求X的數(shù)學(xué)期望與方差.【解析】(1)由題意得X的可能取值為1、2、3、4、5.【技巧點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量、分布列和數(shù)學(xué)期望的定義.典例解析一例4真題在線一第四節(jié)統(tǒng)計(jì)真題在線一1.（2015年·四川對口升學(xué)）已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是10，甲組數(shù)據(jù)的方差為0.5，乙組數(shù)據(jù)的方差為0.8，則（）.A.甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)的波動大B.甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)的波動小C.甲組數(shù)據(jù)與乙組數(shù)據(jù)的波動一樣大D.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的波動大小不能比較2.（2016年·四川對口升學(xué)）在學(xué)校文藝晚會上，8位評委為某表演者打出的分?jǐn)?shù)如下：78、77、84、80、79、78、91、81，這些分?jǐn)?shù)中去掉一個最高分和一個最低分，其分?jǐn)?shù)的平均值為表演者的最終分?jǐn)?shù)，那么該表演者的最終分?jǐn)?shù)為（）.A.81.5B.81C.80D.79.53.（2018年·四川對口升學(xué)）某商場對使用移動支付的客戶發(fā)放問卷，調(diào)查用戶偏好等內(nèi)容，共有2000名使用移動支付的客戶參與了本次調(diào)查，用x（單位：歲）表示客戶的年齡.參與本次調(diào)查的客戶中，x≤30的有1600人，30＜x≤40的有300人，40＜x≤50的有60人，x＞50的有40人，采用分層抽樣的方法，從參與了本次調(diào)查的客戶中抽取容量為500的樣本，則x≤30的客戶應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.100B.200C.300D.400真題在線一4.（2019年·四川對口升學(xué)）為了弘揚(yáng)勤儉節(jié)約的中華傳統(tǒng)美德,某校開展了節(jié)約用水教育與問卷調(diào)查.調(diào)查得知某地區(qū)300居民某月的用水量(單位:噸),將這些數(shù)據(jù)按照[0,1),[1,2),[2,3),

[3,4),[4,5),[5,6)分成6組,制成了如圖所示的頻率直方圖.（1）求頻率直方圖中a的取值；（2）若每組中居民的用水量用該組的中間值來估計(jì)（如[0,1)的中間值為[0.5），試估計(jì)該地區(qū)居民這個月的人均用水量（單位：t）.知識清單一知識點(diǎn)二總體、樣本、抽樣方法1.總體與樣本知識清單一在統(tǒng)計(jì)中，所研究對象的全體稱為總體，組成總體的每個對象稱為個體.被抽取出來的個體集合稱為總體的樣本，樣本所含個體的數(shù)目稱為樣本容量.2.抽樣（1）簡單隨機(jī)抽樣：抽簽法是最常用的簡單隨機(jī)抽樣方法.（2）系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣（或機(jī)械抽樣），這種抽樣方法是對研究的總體按一定順序排列，然后按相等距離或間隔抽取個體組成樣本.（3）分層抽樣又稱類型抽樣，這種抽樣方法是在抽樣之前將總體分成互不交叉的若干層（類），然后再從各層中獨(dú)立抽取一定數(shù)量的個體組成樣本.知識清單一知識點(diǎn)二用樣本估計(jì)總體1.用樣本的頻率分布估計(jì)總體知識清單一（1）選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǖ玫綐颖緮?shù)據(jù).（2）計(jì)算數(shù)據(jù)最大值和最小值，確定組距和組數(shù)，確定分點(diǎn)并列出頻率分布表.（3）繪制頻率分布直方圖.畫直方圖的步驟：得到樣本數(shù)據(jù)；分組；列頻率分布表(分組、頻數(shù)、頻率)；計(jì)算頻率與組距的比；畫出頻率分布直方圖(橫軸表示數(shù)據(jù)分組情況，縱軸表示頻率與組距之比).（4）觀察頻率分布表和頻率分布直方圖，根據(jù)樣本的頻率分布估計(jì)總體中某事件發(fā)生的概率.2.用樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體知識清單一為檢驗(yàn)一批燈泡的使用壽命，從中隨機(jī)抽取100個燈泡進(jìn)行檢查，下列說法正確的