23年高考真題-理科數(shù)學(xué)(北京卷)

頁(yè)2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)〔理〕〔北京卷〕一．選擇題〔共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)〕1．集合，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于〔〕〔A〕第一象限〔B〕第二象限〔C〕第三象限〔D〕第四象限3．執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的值為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕4．“十二平均律〞是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的開(kāi)展做出了重要奉獻(xiàn)。十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于。假設(shè)第一個(gè)單音的頻率為，那么第八個(gè)單音的頻率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕5．某四棱錐的三視圖如下圖，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕46．設(shè)均為單位向量，那么“〞是“〞的〔〕〔A〕充分不必要條件〔B〕必要不充分條件〔C〕充分必要條件〔D〕既不充分也不必要條件7．在平面直角坐標(biāo)系中，記為點(diǎn)到直線的距離，當(dāng)變化時(shí)，的最大值為〔〕〔A〕1〔B〕2〔C〕3〔D〕48．設(shè)集合，那么〔〕〔A〕對(duì)任意實(shí)數(shù)，〔B〕對(duì)任意實(shí)數(shù)，〔C〕當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，〔D〕當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，二．填空題〔共6小題，每題5分，共30分〕9．設(shè)是等差數(shù)列，且，，那么的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________。10．在極坐標(biāo)系中，直線與圓相切，那么__________。11．設(shè)函數(shù)，假設(shè)對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，那么的最小值為_(kāi)________。12．假設(shè)滿足，那么的最小值是_________。13．能說(shuō)明“假設(shè)對(duì)任意的都成立，那么在上是增函數(shù)〞為假命題的一個(gè)函數(shù)是__________。14．橢圓：，雙曲線：。假設(shè)雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，那么橢圓的離心率為_(kāi)_________；雙曲線的離心率為_(kāi)_________。三．解答題〔共6小題，共80分。解容許寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程〕15．〔本小題13分〕在中，，，。=1\*GB2⑴求；=2\*GB2⑵求邊上的高。

16．〔本小題13分〕如圖，在三棱柱中，平面，分別為的中點(diǎn)，，。=1\*GB2⑴求證：平面；=2\*GB2⑵求二面角的余弦值；=3\*GB2⑶證明：直線與平面相交。電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率17．〔本小題13分〕電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到右表。好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值，假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立。=1\*GB2⑴從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；=2\*GB2⑵從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；=3\*GB2⑶假設(shè)每類電影得到人們喜愛(ài)的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“〞表示第類電影得到人們喜愛(ài)，“〞表示第類電影沒(méi)有得到人們喜愛(ài)〔〕。寫出方差的大小關(guān)系。18．〔本小題13分〕設(shè)函數(shù)。=1\*GB2⑴假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行，求；=2\*GB2⑵假設(shè)在處取得極小值，求的取值范圍。19．〔本小題14分〕拋物線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且直線交軸于，直線交軸于。=1\*GB2⑴求直線的斜率的取值范圍；=2\*GB2⑵設(shè)為原點(diǎn)，，，求證：為定值。20．〔本小題14分〕設(shè)為正整數(shù)，集合。對(duì)于集合中的任意元素和，記。=1\*GB2⑴當(dāng)時(shí)，假設(shè)，，求和的值；=2\*GB2⑵當(dāng)時(shí)，設(shè)是的子集，且滿足：對(duì)于中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，是偶數(shù)，求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值；=3\*GB2⑶給定不小于2的，設(shè)是的子集，且滿足：對(duì)于中的任意兩個(gè)不同的元素，。寫出一個(gè)集合，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明理由。2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔北京卷〕解答一．選擇題ADBDCCCD二．填空題9．；10．；11．；12．3；13．〔答案不唯一〕；14．15．解：=1\*GB2⑴由題，結(jié)合正弦定理可得。因，故，從而；=2\*GB2⑵由題，故邊上的高為。16．解：=1\*GB2⑴在三棱柱中，因平面，故四邊形為矩形。又分別為的中點(diǎn)，故。因，故，所以平面；=2\*GB2⑵由=1\*GB2⑴知，，。又平面，故平面。因平面，故。如圖建立空間直角坐稱系，由題得，，，，。故，。設(shè)為平面的法向量，那么，即，取得。又是平面的法向量，故。由圖可知二面角為鈍角，故其余弦值為；=3\*GB2⑶因，，故。因，且，故平面的法向量與不垂直，從而與平面不平行且不在平面內(nèi)，所以與平面相交。17．解：=1\*GB2⑴由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是，第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是，故所求概率為；=2\*GB2⑵設(shè)事件為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)〞，事件為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)〞，故所求概率為。由題意知：的估計(jì)為，的估計(jì)為。故所求概率估計(jì)為；=3\*GB2⑶。18．解：=1\*GB2⑴由題，故。由題知，故。此時(shí)，所以；=2\*GB2⑵由=1\*GB2⑴知。假設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此在處取得極小值；假設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，，故，因此不是的極小值點(diǎn)。綜上可知，。19．解：=1\*GB2⑴由題，故，因此：。由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)：，由得。依題意，解得或。又與軸相交，故直線不過(guò)點(diǎn)，從而。所以直線的斜率的取值范圍是；=2\*GB2⑵設(shè)，由=1\*GB2⑴知，，故，。由題易知：，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為。由，得，。所以，故為定值。20．解：=1\*GB2⑴由題，；=2\*GB2⑵設(shè)，那么。由題知，且為奇數(shù)，故中1的個(gè)數(shù)為1或3，所以。將上述集合中的元素分成如下四組：；；；。經(jīng)驗(yàn)證，對(duì)于每組中兩個(gè)元素，均有。所以每組中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合的