高中數(shù)學(xué)：分類討論思想轉(zhuǎn)化與化歸思想

第2講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想1．分類討論思想 分類討論的思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解(或分割)成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略．對(duì)問(wèn)題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問(wèn)題(或綜合性問(wèn)題)分解為小問(wèn)題(或基礎(chǔ)性問(wèn)題)，優(yōu)化解題思路，降低問(wèn)題難度．分類討論的常見(jiàn)類型：(1)由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身就是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等．(2)由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等．(3)由數(shù)學(xué)運(yùn)算和字母參數(shù)變化引起分類；如偶次方根非負(fù)，對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)的限制，方程(不等式)的運(yùn)算與根的大小比較，含參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同等．(4)由圖形的不確定性引起的分類：有的圖形的形狀、位置關(guān)系需討論，如二次函數(shù)圖象的開口方向，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，曲線系方程中的參數(shù)與曲線類型等．分類討論思想，在近年高考試題中頻繁出現(xiàn)，涉及各種題型，已成為高考的熱點(diǎn)，考查的重點(diǎn)是含參數(shù)函數(shù)性質(zhì)、不等式(方程)問(wèn)題，與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和有關(guān)的計(jì)算推理，點(diǎn)、線、面的位置以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系不定問(wèn)題等．2．轉(zhuǎn)化與化歸思想 化歸與轉(zhuǎn)化是指在處理問(wèn)題時(shí)，把待解決或難解決的問(wèn)題通過(guò)某種方式轉(zhuǎn)化為一類已解決或比較容易解決的問(wèn)題的一種思想方法，它是研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性．在應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式，它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換．在實(shí)際解題過(guò)程中，實(shí)施化歸與轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循以下五項(xiàng)基本原則：(1)化繁為簡(jiǎn)的原則；(2)化生為熟的原則；(3)等價(jià)性原則；(4)正難則反原則；(5)形象具體化原則．歷年高考中，化歸與轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不在，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺(jué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧.

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安全文明駕駛常識(shí)考試探究提高

(1)分段函數(shù)在自變量不同取值范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，必需進(jìn)行討論．由數(shù)學(xué)定義引發(fā)的分類討論一般由概念內(nèi)涵所決定，解決這類問(wèn)題要求熟練掌握并理解概念的內(nèi)涵與外延．(2)在數(shù)學(xué)運(yùn)算中，有時(shí)需對(duì)不同的情況作出解釋，就需要進(jìn)行討論，如解二次不等式涉及到兩根的大小等．探究提高

(1)本題中直角頂點(diǎn)的位置不定，影響邊長(zhǎng)關(guān)系，需按直角頂點(diǎn)不同的位置進(jìn)行討論．(2)涉及幾何問(wèn)題時(shí)，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論．[微題型3]

由定理、性質(zhì)、公式等引起的分類討論【例1－3】

已知等差數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為－4. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.探究穿提高(1舞)利用迅等比邀數(shù)列墳的前n項(xiàng)和臺(tái)公式名時(shí)，促需要巴分公志比q＝1和q≠1兩種咸情況疤進(jìn)行吳討論朽，這柄是由奸等比生數(shù)列皂的前n項(xiàng)和核公式檔決定洞的．銳一般鍵地，帥在應(yīng)病用帶南有限撞制條右件的虜公式湖時(shí)要胃小心扒，根薪據(jù)題射目條征件確萌定是結(jié)否進(jìn)順行分泥類討業(yè)論．(2索)由性盯質(zhì)、起定理營(yíng)、公姜式等饞引起羽的討躺論，蓬主要怨是應(yīng)亮用的殲范圍障受限彼時(shí)，丟存在垮多種癢可能歸性．[微題攝型4]由字恨母參凝數(shù)引繡起的癥分類趙討論【例1－4】已知擊函數(shù)f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)．(1勉)求f(x)的單叫調(diào)區(qū)披間與般極值侍；(2喉)若函笨數(shù)f(x)在區(qū)菊間(1，＋∞)上單南調(diào)遞素減，狼求實(shí)爆數(shù)a的取承值范冶圍．探究滔提高一般竿地，滋遇到英題目巧中含舅有參沾數(shù)的宜問(wèn)題胡，常餡常結(jié)趙合參篩數(shù)的迷意義送及對(duì)京結(jié)果捆的影付響進(jìn)內(nèi)行分銷類討色論，瞇此種炊題目曾為含搬參型狹，應(yīng)泄全面警分析貼參數(shù)廢變化皮引起黎結(jié)論硬的變雹化情鴿況，瘦參數(shù)歡有幾瓜何意折義時(shí)黨還要民考慮杜適當(dāng)熄地運(yùn)孫用數(shù)網(wǎng)形結(jié)舊合思宣想，哨分類跳要做紋到分稅類標(biāo)補(bǔ)準(zhǔn)明青確，爺不重艙不漏抵．【訓(xùn)練1】(2虹01仿4·洛陽(yáng)淋統(tǒng)一冒考試)已知衰圓心瞎為F1的圓氏的方植程為(x＋2)2＋y2＝32，F(xiàn)2(2犬,0內(nèi))，C是圓F1上的捎動(dòng)點(diǎn)章，F(xiàn)2C的垂良直平揭分線感交F1C于M.(1鑼)求動(dòng)景點(diǎn)M的軌鈔跡方懷程；(2匙)設(shè)N(0忠,2憂)，過(guò)懼點(diǎn)P(－1，－2)作直波線l，交M的軌艇跡于馳不同互于N的A，B兩點(diǎn)厭，直鴉線NA，NB的斜跡率分努別為k1，k2，證蔑明：k1＋k2為定吃值．答案3規(guī)律堂方法用特廟殊化勝法實(shí)介現(xiàn)化兇歸與欄轉(zhuǎn)化再是在矮解決農(nóng)問(wèn)題賀過(guò)程裙中將攝某些折一般抗問(wèn)題桐進(jìn)行握特殊?；幚侠淼奶舴椒ㄥN．常效用的男特例猾有特凳殊數(shù)僻值、跡特殊悶數(shù)列死、特括殊函鞋數(shù)、劃特殊男圖形伯、特湖殊角第、特睡殊位其置等暈．對(duì)采于選闖擇題驚，當(dāng)捏題設(shè)蔬在普前通條紛件下抓都成飼立時(shí)鉆，用寺特殊風(fēng)值進(jìn)睛行探上求，捷可快匠捷地盡得到氧答案繭；對(duì)竊于填迷空題維，當(dāng)?shù)痔羁战宇}的腐結(jié)論方唯一駁或題桃設(shè)條叉件提儉供的轉(zhuǎn)信息利暗示名答案猶是一漫個(gè)定菜值時(shí)紙，可職以把偷題中將變化脫的量捎用特靜殊值自代替失，即起可得熊到答棟案．[微題哨型2]換元芝轉(zhuǎn)化塘問(wèn)題【例2－2】已知船函數(shù)f(x)＝ax3＋bsi洞nx＋4(a，b∈R)，f(l瓣g(叢lo迷g210季))＝5，則f(l眼g(塘lg鐵2到))＝()．A．－5騎B.－1C．3土D.咐4答案C規(guī)律決方法復(fù)雜黑的數(shù)常學(xué)問(wèn)餡題常借用換丟元法玩實(shí)現(xiàn)查化歸慶與轉(zhuǎn)覺(jué)化，顫運(yùn)用“換元”把式梢子轉(zhuǎn)幟化為錢有理風(fēng)式或苗使整釀式降揮冪等漆，或保者把篇較復(fù)巴雜的競(jìng)函數(shù)餡、方吼程、希不等培式問(wèn)銷題轉(zhuǎn)懷化為庭易于標(biāo)解決奇的基擦本問(wèn)毛題．[微題寫型3]常量鹽與變宮量的籃轉(zhuǎn)化【例2－3】對(duì)于脹滿足0≤p≤4的所沸有實(shí)錦數(shù)p，使棋不等喪式x2＋px＞4x＋p－3成立靜的x的取盆值范獨(dú)圍是__物__拔__剪__．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)探究造提高在處疲理多扇變?cè)臄?shù)爸學(xué)問(wèn)托題時(shí)季，我沒(méi)們可滿以選柳取其顯中的挽常數(shù)(或參呆數(shù))，將愧其看起做是“主元”，而自把其體它變推元看湯做是濤常量亦，從艦而達(dá)翼到減號(hào)少變益元簡(jiǎn)妙化運(yùn)蕩算的耗目的歇．解析g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在區(qū)六間(t,3)上總沿為單波調(diào)函盆數(shù)，輔則①g′(x)≥0在(t,3)上恒訴成立彎，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒獎(jiǎng)成立拘．規(guī)律針?lè)椒ǚ穸闲悦╊}，溫常要套利用全正反遙的相拍互轉(zhuǎn)披化，產(chǎn)先從掉正面睜求解閘，再?gòu)饺≌隣?zhēng)面答沫案的洲補(bǔ)集勇即可堵，一鄭般地詢，題應(yīng)目若伸出現(xiàn)遲多種遇成立調(diào)的情獲形，崗則不明成立哄的情怖形相核對(duì)很丘少，飛從反權(quán)面考適慮較堵簡(jiǎn)單獵，因賴此，沃間接套法多傳用于纖含有“至多”、“至少”及否題定性偶命題瘡情形廁的問(wèn)下題中賊．證明(1慈)連接A1B，設(shè)A1B與AB1交于E，連涼接DE.∵點(diǎn)D是BC中點(diǎn)躁，點(diǎn)E是A1B中點(diǎn)水，∴DE∥A1C，又∵A1C?平面AB1D，DE?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D.(2齊)∵△AB忍C是正柴三角此形，配點(diǎn)D是BC的中涼點(diǎn)，∴AD⊥BC.∵平面AB榮C⊥平面B1BC暮C1，平面AB幕C∩平面B1BC余C1＝BC，AD?平面AB閑C，∴AD⊥平面B1BC阿C1，∵BC1?平面B1BC予C1，∴AD⊥BC1.1．分劑類討訪論思罪想的細(xì)本質(zhì)莊是“化整拋為零俘，積紡零為櫻整”．用分碗類討迅論的喂思維銅策略坑解數(shù)姓學(xué)問(wèn)墾題的鄰操作度過(guò)程歌：明訂確討雨論的反對(duì)象著和動(dòng)臭機(jī)→確定推分類蔬的標(biāo)山準(zhǔn)→逐類匪進(jìn)行鉤討論→歸納健綜合罷結(jié)論→檢驗(yàn)料分類涂是否飽完備(即分籌類對(duì)倚象彼暮此交憤集為餓空集貢，并炒集為草全集)．做榜到“確定桿對(duì)象曠的全纖體，輸明確街分類陡的標(biāo)鋸準(zhǔn)，信分類蛇不重迅復(fù)、討不遺平漏”的分搜析討叢論．(4秤)三角藥函數(shù)此：角征的象貢限及轉(zhuǎn)函數(shù)捆值范宋圍的團(tuán)討論饞．(5掘)不等慘式：店解不遣等式糧時(shí)含謊參數(shù)優(yōu)的討作論，斧基本斃不等妨式相幼等條雹件是君否滿帆足的省討論威．(6甘)立體嚴(yán)幾何蠟：點(diǎn)充線面顫及圖厚形位鄙置關(guān)泄系的煙不確尚定性解引起研的討輸論；非平面邀解析恢幾何析：直會(huì)線點(diǎn)爬斜式擋中k存在湊和不端存在泊，直悉線截莫距式請(qǐng)中b＝0和b≠0的討吩論；目軌跡斥方程盡中含岡參數(shù)羅時(shí)曲刊線類錢型及叼形狀散的討鴉論．(7揚(yáng))去絕蹲對(duì)值吊時(shí)的箏討論偉及分魔段函目數(shù)的鵝討論水等．(4腎)等價(jià)安轉(zhuǎn)化憂法：鳴把原尼問(wèn)題較轉(zhuǎn)化萍為一唇個(gè)易陣于解創(chuàng)決的且等價(jià)施命題塵，達(dá)凳到化幣歸的