高中數(shù)學(xué)北師大版三學(xué)案：第三章 概率 章末復(fù)習(xí)提升

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1．本章涉及的概念比較多,要真正理解它們的實(shí)質(zhì)，搞清它們的區(qū)別與聯(lián)系．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，要進(jìn)一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．2．應(yīng)用互斥事件的概率加法公式,一定要注意首先確定事件彼此是否互斥,然后求出各事件分別發(fā)生的概率，再求和．求較復(fù)雜的概率通常有兩種方法:一是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和；二是先求其對(duì)立事件的概率，然后再應(yīng)用公式P（A)＝1－P(eq\x\to(A)）(事件A與eq\x\to(A）互為對(duì)立事件）求解．3．對(duì)于古典概型概率的計(jì)算，關(guān)鍵要分清基本事件的總數(shù)n與事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)m，再利用公式P（A）＝eq\f（m，n）求出概率．有時(shí)需要用列舉法把基本事件一一列舉出來(lái)，在列舉時(shí)必須按某一順序做到不重不漏．4．對(duì)于幾何概型事件概率的計(jì)算,關(guān)鍵是求得事件A所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域的幾何度量，然后代入公式求解．5．學(xué)習(xí)本章的過(guò)程中，要重視教材的基礎(chǔ)作用,重視過(guò)程的學(xué)習(xí)，重視基本數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的形成和發(fā)展,注意培養(yǎng)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．題型一隨機(jī)事件的概率1．有關(guān)事件的概念(1)必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫作相對(duì)于條件S的必然事件，簡(jiǎn)稱(chēng)必然事件．(2)不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫作相對(duì)于條件S的不可能事件，簡(jiǎn)稱(chēng)不可能事件．（3）確定事件:必然事件與不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為相對(duì)于條件S的確定事件,簡(jiǎn)稱(chēng)確定事件．（4)隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫作相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱(chēng)隨機(jī)事件．（5)事件的表示方法:確定事件和隨機(jī)事件統(tǒng)稱(chēng)為事件，一般用大寫(xiě)字母A，B,C…表示．2．對(duì)于概率的定義應(yīng)注意以下幾點(diǎn)（1)求一個(gè)事件的概率的基本方法是通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)．(2)只有當(dāng)頻率在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)時(shí)，這個(gè)常數(shù)才叫作事件A的概率．(3）概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值．（4）概率反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小．(5）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0,故0≤P(A)≤1。例1對(duì)一批U盤(pán)進(jìn)行抽檢，結(jié)果如下表:抽出件數(shù)a50100200300400500次品件數(shù)b345589次品頻率eq\f(b,a)（1)計(jì)算表中次品的頻率；(2）從這批U盤(pán)中任抽一個(gè)是次品的概率約是多少？(3)為保證買(mǎi)到次品的顧客能夠及時(shí)更換,要銷(xiāo)售2000個(gè)U盤(pán)，至少需進(jìn)貨多少個(gè)U盤(pán)？解（1）表中次品頻率從左到右依次為0。06，0.04,0。025,0。017，0.02，0.018。（2)當(dāng)抽取件數(shù)a越來(lái)越大時(shí),出現(xiàn)次品的頻率在0。02附近擺動(dòng)，所以從這批U盤(pán)中任抽一個(gè)是次品的概率約是0.02.（3）設(shè)需要進(jìn)貨x個(gè)U盤(pán)，為保證其中有2000個(gè)正品U盤(pán)，則x(1－0.02)≥2000，因?yàn)閤是正整數(shù)，所以x≥2041,即至少需進(jìn)貨2041個(gè)U盤(pán)．跟蹤訓(xùn)練1某射擊運(yùn)動(dòng)員為備戰(zhàn)奧運(yùn)會(huì)，在相同條件下進(jìn)行射擊訓(xùn)練，結(jié)果如下:射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455(1）該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？（2）假設(shè)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少?(3）假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了300次,前270次都擊中靶心,那么后30次一定都擊不中靶心嗎？（4)假如該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？解（1）由題意得，擊中靶心的頻率分別為0.8,0。95，0。88，0。92，0。89,0.91，當(dāng)射擊次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，擊中靶心的頻率在0。9附近擺動(dòng)，故概率約為0。9.（2）擊中靶心的次數(shù)大約為300×0。9＝270(次）．(3)由概率的意義，可知概率是個(gè)常數(shù)，不因試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化．后30次中，每次擊中靶心的概率仍是0。9，所以不一定．(4）不一定．題型二古典概型及其應(yīng)用古典概型是一種最基本的概率模型，也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ),在高考題中，經(jīng)常出現(xiàn)此種概率模型的題目．解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)，即有限性和等可能性．另外，在求古典概型問(wèn)題的概率時(shí)，往往需要我們將所有基本事件一一列舉出來(lái)，以便確定基本事件總數(shù)及事件所包含的基本事件數(shù)．這就是我們常說(shuō)的窮舉法．在列舉時(shí)應(yīng)注意按一定的規(guī)律、標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏．例2海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè),從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量（單位：件）如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).地區(qū)ABC數(shù)量50150100（1)求這6件樣品中來(lái)自A,B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；（2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率．解（1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是eq\f（6，50＋150＋100)＝eq\f（1，50),所以樣本包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是50×eq\f(1，50)＝1，150×eq\f(1,50）＝3,100×eq\f(1，50)＝2。所以這6件樣品中來(lái)自A,B，C三個(gè)地區(qū)的數(shù)量分別為1,3，2.(2）設(shè)6件來(lái)自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為A；B1，B2,B3;C1，C2，則從這6件樣品中抽取的2件商品構(gòu)成的所有基本事件為：{A，B1},{A，B2}，{A,B3}，{A，C1}，{A，C2}，｛B1，B2}，{B1，B3},｛B1，C1｝,｛B1,C2｝，｛B2，B3｝，｛B2，C1},｛B2,C2｝,{B3，C1｝,{B3，C2}，{C1，C2}，共15個(gè)．每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．記事件D“抽取的這2件商品來(lái)自相同地區(qū)"，則事件D包含的基本事件有：{B1，B2｝,｛B1，B3｝,{B2，B3｝,｛C1，C2},共4個(gè)．所以P（D)＝eq\f（4，15），即這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率為eq\f(4,15)。跟蹤訓(xùn)練2甲、乙、丙3個(gè)盒中分別裝有大小相等、形狀相同的卡片若干張．甲盒中裝有2張卡片，分別寫(xiě)有字母A和B;乙盒中裝有3張卡片，分別寫(xiě)有字母C，D和E；丙盒中裝有2張卡片，分別寫(xiě)有字母H和I?，F(xiàn)要從3個(gè)盒中各隨機(jī)取出1張卡片,求：（1）取出的3張卡片中恰好有1張、2張、3張寫(xiě)有元音字母的概率各是多少?(2）取出的3張卡片上全是輔音字母的概率．解根據(jù)題意畫(huà)出如圖所示的樹(shù)狀圖．由樹(shù)狀圖可以得到，所有可能出現(xiàn)的基本事件有12個(gè)，它們出現(xiàn)的可能性相等．(1）只有1個(gè)元音字母的結(jié)果有5個(gè)，所以P(1個(gè)元音字母）＝eq\f(5，12)；有2個(gè)元音字母的結(jié)果有4個(gè)，所以P(2個(gè)元音字母)＝eq\f(4，12)＝eq\f(1,3)；有3個(gè)元音字母的結(jié)果有1個(gè)，所以P（3個(gè)元音字母）＝eq\f（1，12)。(2)全是輔音字母的結(jié)果有2個(gè)，所以P（3個(gè)輔音字母）＝eq\f（2，12)＝eq\f（1，6)。題型三互斥事件與對(duì)立事件1．對(duì)互斥事件與對(duì)立事件的概念的理解(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件；對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生．因此對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件,對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況．（2）利用集合的觀點(diǎn)來(lái)看，如果事件A∩B＝?，則兩事件是互斥的，此時(shí)A＋B的概率就可用概率加法公式來(lái)求,即為P(A＋B）＝P（A）＋P（B);如果事件A∩B≠?,則可考慮利用古典概型的定義來(lái)解決，不能直接利用概率加法公式．（3）利用集合的觀點(diǎn)來(lái)看，如果事件A∩B＝?，A＋B＝U，則兩事件是對(duì)立的,此時(shí)A＋B就是必然事件，可由P(A＋B）＝P（A）＋P（B)＝1來(lái)求解P(A）或P(B）．2．互斥事件概率的求法（1)若A1，A2,…，An互斥，則P（A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2）＋…＋P(An)．(2)利用這一公式求概率的步驟：①要確定這些事件彼此互斥；②先求出這些事件分別發(fā)生的概率,再求和．值得注意的是：①是公式的使用條件，如不符合，是不能運(yùn)用互斥事件的概率加法公式的．3．對(duì)立事件概率的求法P(Ω)＝P(A＋eq\x\to（A)）＝P(A）＋P（eq\x\to（A）)＝1,由公式可得P（A)＝1－P（eq\x\to(A))(這里eq\x\to(A）是A的對(duì)立事件,Ω為必然事件)．4．互斥事件的概率加法公式是解決概率問(wèn)題的重要公式，它能把復(fù)雜的概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的概率或轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件的概率求解．例3某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4m的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)（指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn)）處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近"作物株數(shù)X（單位：株)之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過(guò)1m。(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量，Y51484542頻數(shù)4(2)在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量至少為48kg的概率．解(1)所種作物的總株數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株,“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株,“相近"作物株數(shù)為4的作物有3株，列表如下：Y51484542頻數(shù)2463所種作物的平均年收獲量為eq\f（51×2＋48×4＋45×6＋42×3,15)＝eq\f（102＋192＋270＋126,15）＝eq\f(690,15)＝46。（2）由(1），知P（Y＝51)＝eq\f（2,15)，P(Y＝48）＝eq\f（4，15）。故在所種作物中隨機(jī)選取一株，它的年收獲量至少為48kg的概率為P(Y≥48）＝P（Y＝51)＋P(Y＝48）＝eq\f（2,15）＋eq\f(4，15)＝eq\f（2，5)。跟蹤訓(xùn)練3向三個(gè)相鄰的軍火庫(kù)投一枚炸彈，炸中第一個(gè)軍火庫(kù)的概率為0.2，炸中第二個(gè)軍火庫(kù)的概率為0。12，炸中第三個(gè)軍火庫(kù)的概率為0。28，三個(gè)軍火庫(kù)中,只要炸中一個(gè)另兩個(gè)也會(huì)發(fā)生爆炸，求軍火庫(kù)發(fā)生爆炸的概率．解設(shè)A、B、C分別表示炸彈炸中第一、第二及第三個(gè)軍火庫(kù)這三個(gè)事件，事件D表示軍火庫(kù)爆炸，已知P(A)＝0。2，P（B）＝0.12,P(C)＝0.28.又因?yàn)橹煌稊S了一枚炸彈,故不可能炸中兩個(gè)及以上軍火庫(kù),所以A、B、C是互斥事件,且D＝A＋B＋C，所以P(D）＝P（A＋B＋C)＝P（A）＋P(B)＋P（C）＝0。2＋0.12＋0.28＝0。6，即軍火庫(kù)發(fā)生爆炸的概率為0.6.題型四幾何概型及其應(yīng)用若試驗(yàn)同時(shí)具有基本事件的無(wú)限性和每個(gè)事件發(fā)生的等可能性?xún)蓚€(gè)特點(diǎn),則此試驗(yàn)為幾何概型．由于其結(jié)果的無(wú)限性，概率就不能應(yīng)用P(A）＝eq\f(m，n）求解,故需轉(zhuǎn)化為幾何度量（如長(zhǎng)度、面積、體積等)的比值求解．幾何概型同古典概型一樣,是概率中最具代表性的試驗(yàn)概型之一，在高考命題中占有非常重要的位置．例4節(jié)日前夕，小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈．這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立,且都在通電后的4s內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4s為間隔閃亮．那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2s的概率是（)A.eq\f（1，4） B。eq\f（1,2)C。eq\f（3,4) D。eq\f（7,8)答案C解析設(shè)兩串彩燈同時(shí)通電后，第一次閃亮的時(shí)刻分別為x，y,則0≤x≤4,0≤y≤4，而事件A“它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2s”，即｜x－y|≤2，其表示的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分．由幾何概型概率公式，得P（A）＝eq\f(42－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)×2×2）），42）＝eq\f(3，4)。跟蹤訓(xùn)練4如圖所示的大正方形面積為13，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)陰影小正方形，較短的直角邊長(zhǎng)為2，向大正方形內(nèi)投擲飛鏢,則飛鏢落在陰影部分的概率為(）A。eq\f(4，13）B.eq\f（2，13）C.eq\f(1，13)D.eq\f(3,13)答案C解析設(shè)陰影小正方形邊長(zhǎng)為x，則在直角三角形中有22＋（x＋2)2＝(eq\r（13））2,解得x＝1或x＝－5（舍），∴陰影部分面積為1,∴飛鏢落在陰影部分的概率為eq\f(1,13).1。關(guān)于古典概型，必須要解決好下面三個(gè)方面的問(wèn)題:(1）試驗(yàn)結(jié)果是否有限且是等可能的；(2）試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè);（3）事件A是什么，它包含多少個(gè)基本事件．只有回答好了這三方面的問(wèn)題，解題才不會(huì)出錯(cuò)．2．兩