導(dǎo)數(shù)階段復(fù)習(xí)課

0Δx001αα－xxxxxx20Δx001αα－xxxxxx2導(dǎo)數(shù)階段復(fù)習(xí)[核心速填1．在x＝處的導(dǎo)數(shù)Δy定義：函數(shù)＝f()x＝處的瞬時(shí)變化lim0

f＋Δ

，Δ

→

0

Δ

→

0稱為函數(shù)y＝()在x＝x處的導(dǎo)數(shù)．0幾何意義函數(shù)＝f(在＝x處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(diǎn)(f(x處的切00線斜率．2．導(dǎo)函數(shù)當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)便是的一個(gè)函數(shù)，稱為導(dǎo)函數(shù)．f′(x＝′Δ→f

.3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式c′)′＝αxa)′＝aln_(a>0)．(4)(e)′＝e.11(5)(log)′＝(a>0，且a≠．(6)(lnx)′＝a(7)(sinx′＝.(8)(cosx′＝－sin_.4．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(xg(x)]′＝f′g′)．(2)[f(x(x)]′＝f′)g(x＋f(x)g′()．(3)

f′＝[

g(x)≠．5．函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)．在某個(gè)區(qū)間a，b)內(nèi)，如果f′，那么函數(shù)＝f()在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)＝f(x在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)．

322322①極大值在點(diǎn)x＝a附近滿足f()>f()當(dāng)xaf(當(dāng)>a時(shí)，f′(x)<0，則點(diǎn)a做函數(shù)的極大值點(diǎn)，(a)叫做函數(shù)的極大值；②極小值在點(diǎn)x＝a附近滿足f()<f()當(dāng)xaf(當(dāng)>a時(shí)，f′(x)>0，則點(diǎn)a做函數(shù)的極小值點(diǎn)，(a)叫做函數(shù)的極小值．6．求函數(shù)y＝f(x)在a，b]的最大值與最小值的步驟求函數(shù)＝f()在a，b)內(nèi)的極值．將函數(shù)yf()的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，(b)比較，其中最大一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)為最小值．[識(shí)框圖]題型探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義已知函數(shù)(x＝ax＋3－6ax－11，()＝3x＋6＋12直線my＝＋9，且f′(－＝0.求a值；是否存在實(shí)數(shù)直線m既是曲線y＝()的切線是＝g()的切線？如果存在，求出的值；如果不存在，說(shuō)明理由[路探究](1)求f′得a(2)設(shè)直線m＝g出相應(yīng)切線的檢驗(yàn)切線是否與yf結(jié)論

斜率與切線方程

2222223222222223222[]

因?yàn)閒)＝3

＋6x－6a，且f(－＝0，所以3a6－6a＝0，得a＝－2.因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)(0,9)，先求過(guò)點(diǎn)(0,9)且與曲線y＝g(x相切的直線方程．設(shè)切點(diǎn)為3x＋＋12)，00又因?yàn)間′(x)＝6＋6.0所以切線方程為y－x＋6x＋12)(6＋－x)．00將點(diǎn)(0,9)代，得9－3x－x－12＝－6－6x，000所以3－＝0得x＝±1.00當(dāng)x＝1，g′＝12切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,21)，0所以切線方程為y＝12x＋9；當(dāng)x＝－1，g′－1)＝0，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,9)，0所以切線方程為y＝9.下面求曲線y＝f)的斜率為12和0的切線方程：因?yàn)閒(x＝－2＋＋12－11，所以f′(x＝－6＋6＋12.由f′(x＝12得－6x＋6x＋12＝，解得x＝0x＝1.當(dāng)x＝0，f＝－11，此時(shí)切線方程為y＝12－11；當(dāng)x＝1，f＝2此時(shí)切線方程為y＝x－10.所以y＝＋9不是公切線．由f′(x＝0，得－6x＋6＋120，解得x＝－1或x＝2.當(dāng)x＝－1時(shí)，f－＝－18，此時(shí)切方程為＝－18當(dāng)x＝2，f＝9此時(shí)切線方程為y＝9，所以y＝9公切線．綜上所述，當(dāng)k＝0時(shí)，＝9是兩曲線的公切線．[律方法]

此題直m過(guò)點(diǎn)(9)解題的突破口若是f(x()公

3432223233324234322232333242切線，則切線必過(guò)點(diǎn)(09).般說(shuō)來(lái)，求過(guò)定點(diǎn)的兩曲線公切線的一般思路是：先求出過(guò)定點(diǎn)的一曲線的切線方程令斜率值與另一曲線的導(dǎo)數(shù)相等出可能的切點(diǎn)，得出對(duì)應(yīng)切線方兩條直線方程相同，則為公切線；若不同，則不存在公切線.跟蹤訓(xùn)練1．已知函f()＝＋x－16.求曲線＝f()在(2，－6)處的切線的方程；直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線l方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；1如果曲線＝fx)的某一切線與直線＝－x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.[]

可判定點(diǎn)(2－6)在曲線＝f(x上．∵f′(x＝＋x－′＝3x＋1∴f(x在點(diǎn)(2－處的切線的斜率為k＝′13.∴切線的方程為y－－6)＝13(－2)，即y＝－32.設(shè)切點(diǎn)為(x，y)，00則直線l的斜率為f′＝3＋1，00∴直線l的方程為y＝(3＋x－＋x＋－16.0000又∵直線l過(guò)點(diǎn)(0,0)，∴0＝(3＋1)(－)＋＋－16000整理得，x＝－，0∴x＝－2，0∴y＝(－2)0

＋(－－16＝－26.k＝3×(－＋1＝，∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2－26)．x∵切線與直線＝－＋垂直，∴切線的斜率k＝4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，)，則f′(x)＝3x＋＝，00∴x＝，0

0000333233390000333233393323x2＝1，＝－1，∴或＝14＝－18.即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－(－1，－．切線方程為y＝4(x－1)－14或＝4(＋－18.即y＝4－18y＝4x－14.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性4已知函數(shù)f(x＝ax＋x(a∈)在x＝－處取得極值．確定a值；若g()＝f(x)e

x

，討論g(x的單調(diào)性．[路探究]利用f′求解．先求g()，再求g(x＝的根，最后確定(的單調(diào)性．[]

對(duì)f()求導(dǎo)得f′()＝3＋2x.4因?yàn)閒(x在＝－處取得極值，所以f′a＋2·

16a－＝，1解得a＝.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意．由(1)知g＝＋所以g′(x)

23xx2232x22x22x223xx2232x22x22x22x2xx22x2xx2＝x＋2xx＋＝x＋＋21＝x＋1)(x＋4)e.令g′(x＝0，解得x＝0，＝－1＝－當(dāng)x－4，g′x)<0，故g)為減函數(shù)；當(dāng)－4<<－1時(shí)，g′(，故g)為增函數(shù)；當(dāng)－1<<0時(shí)，′x，故g(x)為減函數(shù)；當(dāng)x時(shí)，g′x)>0，故(x為增函數(shù)．綜上知，g(x)在(－∞，－和(－1,0)內(nèi)為減函數(shù)，在(－4，－1)和(0，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2．已知a∈R，函數(shù)f)＝－x＋ax(x∈R)．當(dāng)a2，求函數(shù)f(x的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù)f()在－1,1)上單調(diào)遞增，求的取值范圍．[]

當(dāng)a2時(shí)，(x＝(－

＋2x)e

x

，f′(x＝(－＋2)e.當(dāng)f′(x＞0，(－x＋＞0，注意到e＞，所以－x＋2＞0解得－＜x＜所以，函數(shù)f(x的單調(diào)遞增區(qū)間為－2，2)．同理可得，函數(shù)f的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－(2，＋∞)．因?yàn)楹瘮?shù)f()在－1,1)上單調(diào)遞增，所以f′(x≥0(－1,1)上成立．又f′(x＝[＋(a－x＋a，即[＋(a－2)x＋a≥0，注意到e

＞0，因此－x＋(a－2)＋a≥0在－1,1)上恒成立，

2222323332222322223233322223也就是a≥

x＋2x＝x＋1－在(1,1)上恒成立．x＋1x＋1設(shè)y＝x＋1－

1x＋1

，1則y′＝1＋

＞0，即y＝x＋1－

1x＋1

在(－上單調(diào)遞增，13則y＜1＋1－＝，1＋123故a≥即a取值范圍為，＋∞導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值(最值)及恒成立問(wèn)題已知函數(shù)f(x＝x

－3ax

－9a

2

x＋a

3

.設(shè)a1，求函數(shù)f)極值；1若a，且當(dāng)x∈[1,4a]時(shí)f()≥a－恒成立，試確定a的取值范圍[路探究](1)求′)＝0根，再判斷極值點(diǎn)，求極值．先求f()在x∈[1,4]的最小值f)，再解不等式f()≥aminmin

3

－a求a的范圍．[]

當(dāng)a1時(shí)，(x＝x－3x－9＋1且f′(x＝3－x－9，由(x)＝0x＝－1或x＝3.當(dāng)x＜－1時(shí)，f′)＞0當(dāng)－1＜x＜3，f′)＜0，因此x＝－1是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(－＝6；當(dāng)－1＜x3，f(x0，當(dāng)x＞3時(shí)，f′)＞0，因此x＝3函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值為f＝－26.1∵f′()＝3x－6－9a＝＋ax－3)，a＞，∴當(dāng)1≤x＜3a時(shí)，f′(x)＜0；

333333333332223333333333322224422當(dāng)3a≤4a時(shí)，f′(x＞0.∴x∈a]時(shí)，f(x的最小值為fa)＝－.由f(x≥a－12a在[1,4]上恒成立得－26≥－12a，22解得－≤a≤.11又a＞∴＜a≤.即a取值范圍為，跟蹤訓(xùn)練93．設(shè)函數(shù)f)＝－x＋x－a.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，f′(x≥恒成立，求m最大值；若方程f()＝0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍．[]

f′()＝3x