立體幾何中的向量方法

222222立體幾何的向量方法班級________姓名________考_______日得分________一、選擇題(本大題共6小題，每小題6分共分，將正確答案代號填在題后的括號內(nèi)．)．若＝(2，＝(1－y,9)，且a，則)A＝，＝C．x，＝

B＝，＝－3D．＝，＝1解析：∥b，則＝＝，－2y93∴x＝，y＝－，故選C.2答案：．已知向量a(1,1,0)b＝－，且＋與ab互垂，則的值()3A1C.55解析：∵ka＋＝(k－1k,－＝(3,2－2)若(k＋)⊥－)，則kab－b＝0，∴k－＋k－＝，k＝，選D.答案：D＝(2,0)－)與的角為鈍角數(shù)的值圍()A<B－4<<0C．<4D．x>4解析：題意〈ab〉<0，且≠－，即a，且≠－，∵a，∴3＋2(2－x)0·x<0，解得x<4若＝－b則(2,0)＝(－，x－2－x顯然無解，所以不可能與－相．綜上知，x<，故選A.1

222222答案：A．設(shè)點Ca1a＋在點P(2,0,0)、(1，－3,2)、，確定的平面上，則等于)A16B．4C．．8解析：題意知PA，B，四點共面，∴存在實數(shù)x，使＝x＋成立，即a1，＋1,2)＝x(－，－＋y(6，－1,4)，＝(－x＋y，－3－2＋4)，∴－x＋6＝a1,－3－＝a＋1,2x＋＝2a，選答案：A．已知向量n分別是直線l平面α的向向量和法向量，若〈n＝－，則l與所成的角為()AB．120°D解析：于〈m，〉＝－∴〈m，〉＝，所以直線lα所的角為，故選A.答案：A．若正三棱錐的側(cè)面都是直角三角形，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值()

D.333解析：正三棱錐O的點O為點，，，，z軸系(略)，設(shè)側(cè)棱長為1則(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)．側(cè)面OAB法向量為＝．11底面的法量為n＝，，．3∴〈，n＝

OCnOC|·n＝

＝.1·()＋)＋)32

答案：二填空題本大題共小題每小題6分共分把正確答案填題后的橫線上．已知為行四邊形，且A，(2，－5,1)，C，，則點的標(biāo)為________．解析：(，)由題設(shè)知，AB＝(2，－，－，DC＝－7－，－－，又＝，所以－x＝－－y＝－6,－5－＝，∴＝＝13，z＝－3故選答案：，．若直線l方向向量e＝m，平面α的法向量n＝，，2)且lα則m解析：平面α的向量即為平面的法線的方向向量，又l⊥∴∥，即＝nλ，亦即2,1，)＝，，，∴

＝2

∴＝4.答案：4．如圖所示，在棱長為1的方體ABCD—BCD中M和分是和111的中點，那么直線AM與CN所角的余弦值_．解析以為標(biāo)原點，DA為x軸為軸DD為z軸建立空間直角坐標(biāo)1系，如圖所示．3

233348，233348，，答案：1則(1,0,0)，M，，1，，1，1∴＝

，，1，＝

，，

設(shè)直線AM與CN所成的角為，則cos＝|cos，〉A(chǔ)M＝＝AM|

2＝.1＋＋4答案：．已知(1,2,3)B(2,1,2)，P(1,1,2)點Q在線OP上動．當(dāng)QA取最小值時，點Q的標(biāo)為________．解析：OQ＝＝(λ，，2，則＝(1λ－，32)，QB＝(2λ－，－λ．∴＝－λ－)＋(2λ)(1－)－λ)(2λ＝λ－16＋10＝6

λ－2

2∴當(dāng)＝時QA取最小值－8448，，，Q，，此時，OQ＝3

三、解答題本大題共小題，11題13分題14分，寫出證明過程或推演步驟．4

2211．棱長為1的方體AC中O為的點．11求證：∥面.11解：建立如圖所示的空間直角坐系O為中點．由于正方體的棱長為，則(0,0,0)，(1,0,0，)，C，O

1，，，(0,1,1)，O1

1，，由上可知BO＝1

－，，12

，＝1

1－，，12∴＝OD，BO∥OD，1111又BO?平面，?面ACD，1∴BO∥平面.11．如圖，在三棱錐P，＝＝6，PB，AB，∠＝，平面PAB平面(1)求證：⊥面；(2)求二面角—的弦值；5

44(3)求異面直線和所角的余弦值．解：由于平面⊥平面ABC且PA＝，∴以的點O為標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵PA＝＝6PA⊥，∴AB，PO又∠BAC＝30°，ABBC∴＝2，∴(0，－3，0)，(0,0，3)，B，3，，，，0)．(1)證明：∵PA＝，－3，－3)，＝(2,0,0)，∴BC＝，∴PA⊥BC.又∵PA⊥PBPB∩＝B∴PA⊥平面.(2)作OM⊥AC于M，接PM.又∵PO平面，∴∠是二面角P—B的平面角．AO3在eq\o\ac(△,Rt)AMO中，＝＝＝，∴M，，，33從而MO＝－，，，＝－，，.MOMP∴〈MO，MP〉＝＝.MOMP|(3)∵AB＝，，PC＝(2，，－，6

222222∴〈AB，PC〉

AB＝.AB|||如在長方體—BC中ADAA＝＝2點在棱AB上動．1111(1)求證：⊥AD；1π(2)等何值時，二面角D——D的小為14分析：(1)線垂直的性質(zhì)②面角的逆用③根據(jù)三棱錐等積法．(2)向量法．解：解法一：(1)證明：∵AE⊥平面AADD11∴AEAD∵AADD為方形，1∴D⊥AD，∴D⊥面ADE，AD⊥E.11111(2)過D作DH⊥H，連接H、DE則H⊥CE1∴∠為面角D—ECD的面角．11設(shè)＝，則＝2π在eq\o\ac(△,Rt)DH，∠＝，DH1∵在eq\o\ac(△,Rt)中，＝1x，∴在eq\o\ac(△,Rt)DHE中＝x，在eq\o\ac(△,Rt)DHC中CH3，在eq\o\ac(△,Rt)CBE中CE＝x

－4＋5.∴x＋＝－4＋x＝2π∴AE2－3，二面角DD大小為1解法二：以D為標(biāo)點，直線，DD分別為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)1系，設(shè)＝x，則D，A，，E，0)，C(0,2,0)117

1(x＋1(x＋(1)證明：∵DADE＝(1,0,1)·(1，x－1)＝0，1∴⊥DE，EAD11(2)設(shè)平面D的向量＝(a，c，1CE＝，－，DC＝