函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五

§1一致收斂性一、函數(shù)列及其一致收斂性二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法首頁(yè)×第二頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×設(shè)是一列定義在同一數(shù)集E

上的函數(shù)，稱(chēng)為定義在E

上的函數(shù)列，簡(jiǎn)記為{fn}或fn,n=1,2,...設(shè)x0

∈E,將x0

代入上述函數(shù)列，可得數(shù)列一、函數(shù)列及其一致收斂性若此數(shù)列收斂，則稱(chēng)x0

為函數(shù)列(1)的收斂點(diǎn)，若此數(shù)列發(fā)散，則稱(chēng)函數(shù)列(1)在x0

發(fā)散．第三頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×使函數(shù)列(1)收斂的全體收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合，稱(chēng)為函數(shù)列(1)的收斂域．若函數(shù)列(1)在數(shù)集D?E

上每一點(diǎn)都收斂，則稱(chēng)函數(shù)列(1)在數(shù)集D

上收斂．記極限函數(shù)為f,則有此極限的ε–N

的定義是：對(duì)任何x∈D,任給的ε>0,存在N>0,使得當(dāng)n>N

時(shí)，總有

|fn(x)–f(x)|<ε其中N

既與ε有關(guān)也與x

有關(guān)．第四頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×對(duì)于函數(shù)列，我們不僅要研究它在哪些點(diǎn)上收斂，而更重要的是要研究極限函數(shù)所具有的解析性質(zhì)：即連續(xù)性、可微性、可積性．為此討論函數(shù)列的一致收斂性．

定義1

設(shè)函數(shù)列{fn}與函數(shù)f

都在數(shù)集D

上有定義,若對(duì)任給的ε>0,存在N>0,使得當(dāng)n>N

時(shí)，對(duì)任何x∈D,都有

|fn(x)–f(x)|<ε則稱(chēng){fn}在D

上一致收斂于f

，記為第五頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×若函數(shù)列{fn}在D

上一致收斂，則必在D

上每一點(diǎn)都收斂，反之，不一定成立．

例2

證明函數(shù)列在(–∞,+∞)上一致收斂．證對(duì)任給的ε>0,取N=1/ε,當(dāng)n>N

時(shí)，對(duì)任何x∈(–∞,+∞),都有所以函數(shù)列在(–∞,+∞)上一致收斂于0．第六頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×函數(shù)列{fn}在D

上不一致收斂于f

的定義：若存在ε0>0,對(duì)任何N>0,都存在n0>N

，且存在x0∈D,使得

|fn0(x0)–f(x0)|≥ε0則稱(chēng){fn}在D

上不一致收斂于f

．第七頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×例證明函數(shù)列{xn}在(0,1)上不一致收斂于0．證取對(duì)任何正整數(shù)N

，當(dāng)n>N

時(shí)，取則有所以{xn}在(0,1)上不一致收斂于0．第八頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×

定理13.1(函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則)函數(shù)列{fn}在D

上一致收斂于f

的充要條件是：對(duì)任給的ε>0,存在N>0,使得當(dāng)n,m>N

時(shí)，對(duì)任何x∈D,都有

|fn(x)–fm

(x)|<ε．第九頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×

定理13.2

函數(shù)列{fn}在D

上一致收斂于f

的充要條件是：第十頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×設(shè){un(x)}是定義在數(shù)集E

上的一個(gè)函數(shù)列，表達(dá)式二、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其一致收斂性稱(chēng)為定義在E

上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)記為或稱(chēng)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)的部分和函數(shù)列．第十一頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×若x0

∈E

時(shí)，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則稱(chēng)x0

為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)的收斂點(diǎn)，若此級(jí)數(shù)發(fā)散，則稱(chēng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)在x0

發(fā)散．函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)在數(shù)集D?E

上每一點(diǎn)都收斂，則稱(chēng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)在

D

上收斂．級(jí)數(shù)(9)全體收斂點(diǎn)構(gòu)成的集合D

稱(chēng)為級(jí)數(shù)(9)的收斂域．級(jí)數(shù)(9)在收斂域D

上的和S(x)稱(chēng)為級(jí)數(shù)(9)的和函數(shù)．記為第十二頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(9)的一致收斂性定義如下：

定義2

設(shè){Sn(x)}是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的部分和函數(shù)列．若{Sn(x)}在數(shù)集D

上一致收斂于函數(shù)

S(x)，則稱(chēng)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在數(shù)集D

上一致收斂于函數(shù)S(x)，或稱(chēng)∑un(x)在D

上一致收斂．由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性是由其部分和函數(shù)列的一致收斂性來(lái)定義的，所以由函數(shù)列一致收斂的定理可推出相應(yīng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定理：第十三頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×

定理13.3(一致收斂的柯西準(zhǔn)則)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在D

上一致收斂的充要條件是：對(duì)任給的ε>0,存在N>0,使得當(dāng)m>n>N

時(shí)，對(duì)任何x∈D,都有

|Sm(x)–Sn

(x)|<ε．或第十四頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×

推論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在D

上一致收斂的必要條件是：函數(shù)列{un(x)}在D

上一致收斂于零．設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在D

上的和函數(shù)為S(x),稱(chēng)

Rn(x)=S(x)–Sn

(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)．

定理13.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在D

上一致收斂于

S(x)的充要條件是第十五頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×例4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1)，其和函數(shù)為級(jí)數(shù)在[-a,a](a<1)上一致收斂于而在(-1,1)上不一致收斂于第十六頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×證級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)為由此可得級(jí)數(shù)∑xn

在[-a,a]上一致收斂．第十七頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×但在(-1,1)上由此可知級(jí)數(shù)∑xn

在(-1,1)上不一致收斂．第十八頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×

定理13.5

（魏爾斯特拉斯判別法）設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)定義在數(shù)集D

上，若對(duì)一切

x∈D

，有

|un(x)|≤Mn,n=1,2,...且正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑Mn

收斂，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)在數(shù)集D

上一致收斂．三、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性判別法此判別法也稱(chēng)為M

判別法或優(yōu)級(jí)數(shù)判別法．稱(chēng)級(jí)數(shù)∑Mn

為級(jí)數(shù)∑un(x)的優(yōu)級(jí)數(shù)．第十九頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)×

定理13.6

（阿貝爾判別法）設(shè)⑴∑un(x)在區(qū)間I

上一致收斂；⑵對(duì)每一個(gè)x∈I

，{vn(x)}是單調(diào)的；⑶{vn(x)}在I

上一致有界，即存在M>0,使得對(duì)任何x∈I

，

|vn(x)|≤M,n=1,2,...則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)vn(x)在數(shù)集I

上一致收斂．第二十頁(yè)，共二十一頁(yè)，編輯于2023年，星期五首頁(yè)