【教學】全稱量詞與存在量詞

全稱量詞與存在量詞第1課時知識引入美國著名作家馬克·吐溫，在一次記者招待會上直言：“有些國會議員是傻瓜！”記者把他的話原樣登在了報紙上，結(jié)果招致了國會議員們的強烈抗議，迫于壓力，第二天馬克·吐溫在報紙上登出重要更正：“有些國會議員不是傻瓜！”重要更正的那句話，是對原話的否定嗎？不是．新知探究思考討論（1）所有正方形都是矩形；（2）每一個無理數(shù)的平方也是無理數(shù)；（3）對于任意的實數(shù)，y＝kx＋b的值隨x值的增大而增大；（4）空集是任何集合的子集；（5）一切三角形的內(nèi)角和都等于180°．新知探究問題1

命題中，藍色加粗的字是什么意思？都是在指定范圍內(nèi)，表示全體、整體、全部的含義．（1）所有正方形都是矩形；（2）每一個無理數(shù)的平方也是無理數(shù)；（3）對于任意的實數(shù)，y＝kx＋b的值隨x值的增大而增大；（4）空集是任何集合的子集；（5）一切三角形的內(nèi)角和都等于180°．新知探究在給定集合中，斷言所有元素都具有同一性質(zhì)的命題叫作全稱量詞命題．在命題中的“所有”“每一個”“任意”“任何”“一切”這樣的詞叫作全稱量詞．新知探究問題2

你還能說出哪些全稱量詞命題？（1）對于任意實數(shù)x，都有x2≥0；（3）所有的一元二次方程都有實根．（2）對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；新知探究追問1：使用數(shù)學符號語言表述命題更簡潔，該同學的舉例如何改成符號語言？“?x∈R，有x2≥0”．符合“?”讀作“對任意的”．通常，將含有變量x的語句用p（x），q（x），r（x），…，表示，變量x的取值范圍用M表示．那么，全稱量詞命題“對M中任意一個x，p（x）成立”，可用符號簡記為：?x∈M，p（x）．有時全稱量詞可以省略；“正方形是矩形”“實數(shù)的平方非負”等等．新知探究追問2：在問題1的命題中，“M”，“p（x）”分別指的是什么？（1）“M”指的是正方形，“p（x）”指的是“矩形”；（2）“M”指的是“每一個無理數(shù)”，“p（x）”指的是“x2也是無理數(shù)”；（3）“M”指的是“實數(shù)”，“p（x）”指的是“y＝kx＋b的值隨x值的增大而增大”；……新知探究問題3

請判斷下列命題的真假．（1）所有正方形都是矩形；（2）每一個無理數(shù)的平方也是無理數(shù)；（3）對于任意的實數(shù)，y＝kx＋b的值隨x值的增大而增大；（4）空集是任何集合的子集；（5）一切三角形的內(nèi)角和都等于180°．（1）（4）（5）是真命題，（2）（3）是假命題．新知探究追問3：對給定的全稱量詞命題，如何判斷它的真假？如果對集合M中的每一個x，p（x）都成立，那么“?x∈M，p（x）”為真命題；如果在集合M中存在一個x0，使得p（x0）不成立，那么“?x∈M，p（x）”為假命題．新知探究問題4下面命題中，加下劃線的字是什么意思？（1）有些三角形是直角三角形；（2）在素數(shù)中，有一個是偶數(shù)；

這些命題，都是對全體中的個體或者一部分的判斷，加下劃線的字表示個別或者一部分．新知探究在給定集合中，斷言某些元素具有一種性質(zhì)的命題叫作存在量詞命題．在命題中的短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示．含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．類比全稱量詞命題的符號表示，存在量詞命題“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符號簡記為?x∈M，p（x）．新知探究追問4：在下列命題中，“M”，“p（x）”分別指的是什么？（1）“M”指的是三角形，“p（x）”指的是“直角三角形”；（2）“M”指的是“素數(shù)”，“p（x）”指的是“偶數(shù)”；（3）“M”指的是“實數(shù)”，“x2＋x－1＝0”．（1）有些三角形是直角三角形；（2）在素數(shù)中，有一個是偶數(shù)；

新知探究問題5

你還能說出哪些存在量詞命題？并判斷真假．（1）有一個實數(shù)x，使x2＋1＝0；假命題．（2）存在一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；真命題．（3）有些平行四邊形是菱形；真命題．……新知探究追問5：對給定的存在量詞命題，如何判斷它的真假？如果在集合M中存在一個x0，使得p（x0）成立，那么“?x∈M，p（x）”為真命題．如果對集合M中的每一個x，p（x）都不成立，那么“?x∈M，p（x）”為假命題．初步應(yīng)用例1

判斷下列命題是不是全稱量詞命題，如果是，指出其中的全稱量詞，并判斷真假．（1）“所有的正方形都是平行四邊形”是全稱量詞命題，“所有”是全稱量詞；（2）“能被5整除的整數(shù)末位數(shù)字為0”可以表述為“所有能被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都為0”，它是全稱量詞命題，其中省略了全稱量詞“所有”．（1）所有的正方形都是平行四邊形；（2）能被5整除的整數(shù)末位數(shù)字為0．真命題假命題初步應(yīng)用例2

判斷下列命題是不是存在量詞命題，如果是，指出其中的存在量詞．（1）存在一個無理數(shù)x，使x2也是無理數(shù)；（2）?x∈R使x2＋x＋1＝0．（1）“存在一個無理數(shù)x，使x2也是無理數(shù)”是存在量詞命題，“存在”是存在量詞；（2）“?x∈R，使x2＋x＋1＝0”是存在量詞命題，“?”（即存在）是存在量詞．新知探究問題6

判斷下列全稱命題的真假，并說明理由．（1）是真命題；所以，全稱量詞命題“對任意的x∈R，x2＋1＞0”為真命題；（2）是假命題；所以，全稱量詞命題“對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是假命題；（1）對任意的x∈R，x2＋1＞0；（3）所有的一元二次方程都有實根．（2）對任意一個無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；對于?x∈R，總有x2＋x≥1＞0．

（3）是假命題；所以，全稱量詞命題“所有的一元二次方程都有實根”是假命題．一元二次方程x2＋x＋1＝0沒有實根．初步應(yīng)用1下列特稱命題是真命題是________．（填序號）①有些不相似的三角形面積相等；③存在實數(shù)a，使函數(shù)y＝kx＋b的值隨x的增大而增大；①是真命題，只要找出等底等高的兩個三角形，面積就相等，但不一定相似；③中當實數(shù)a大于0時，結(jié)論成立，是真命題；

④有一個實數(shù)的倒數(shù)是它本身．②中對任意x∈R，x2＋x＋1＝

＞0，

④中如1的倒數(shù)是它本身，是真命題．故選①③④．①③④

初步應(yīng)用2若“?x∈R，?x0∈R，f（x）＞g（x0）”則有（）A．f（x）max＞g（x）minB．f（x）max＞g（x）maxC．f（x）min＞g（x）maxD．f（x）min＞g（x）min解析：要使“?x∈R，?x0∈R，f（x）＞g（x0）”，只需?x0∈R，f（x）min＞g（x0），而g（x0）≥g（x）min，所以，f（x）min＞g（x）min．故選D．D歸納小結(jié)問題7

本節(jié)課我們學習了全稱量詞和存在量詞，全稱量詞和存在量詞的意義分別是什么？常用的表述形式分別有哪些？什么是全稱量詞命題和存在量詞命題？它們的符號表示分別是什么？如何判斷它們的真假？

全稱量詞存在量詞定義舉例對應(yīng)的命題表示在指定范圍內(nèi)，表示整體或者全部的含義．在指定范圍內(nèi)，表示個別或一部分的含義．“所有的”、“每一個”、“任何一個”、“一切”等“存在一個”、“至少有一個”、“有些”、“有的”等含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題．含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題．對M中任意一個x，p（x）成立存在M中的元素x，p（x）成立?x∈M，p（x）?x∈M，p（x）歸納小結(jié)問題7

本節(jié)課我們學習了全稱量詞和存在量詞，全稱量詞和存在量詞的意義分別是什么？常用的表述形式分別有哪些？什么是全稱量詞命題和存在量詞命題？它們的符號表示分別是什么？如何判斷它們的真假？

全稱量詞存在量詞判斷續(xù)表如果對集合M中的每一個x，p（x）都成立，那么“?x∈M，p（x）”為真命題如果在集合M中存在一個x0，使得p（x0）成立，那么“?x∈M，p（x）”為真命題如果在集合M中存在一個x0，使得p（x0）不成立，那么“?x∈M，p（x）”為假命題如果對集合M中每一個x，p（x）都不成立，那么“?x∈M，p（x）”為假命題研究思路體現(xiàn)了研究一個概念的基本路徑：具體例子→形成概念→表示→判斷．作業(yè)布置作業(yè)：教材第20頁練習第1，2題．1目標檢測下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題．用符號“?”或“?”表示下面的命題，并判斷其真假．（1）對所有的實數(shù)a，b，關(guān)于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；（2）所有的矩形都是平行四邊形；（3）至少有一個偶數(shù)是素數(shù)；（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．假命題；（1）全稱量詞命題；?a，b∈R，關(guān)于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；因為當a＝0，b≠0時，方程無解，所以其為假命題；1目標檢測下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題．用符號“?”或“?”表示下面的命題，并判斷其真假．（1）對所有的實數(shù)a，b，關(guān)于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；（2）所有的矩形都是平行四邊形；（3）至少有一個偶數(shù)是素數(shù)；（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．真命題；（2）全稱量詞命題；?的矩形都是平行四邊形；根據(jù)矩形的定義可知其為真命題；1目標檢測下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題．用符號“?”或“?”表示下面的命題，并判斷其真假．（1）對所有的實數(shù)a，b，關(guān)于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；（2）所有的矩形都是平行四邊形；（3）至少有一個偶數(shù)是素數(shù)；（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．真命題；（3）存在量詞命題；?x是偶數(shù)，x是素數(shù)；2是偶數(shù)，2也是素數(shù)，所以“至少有一個偶數(shù)是素數(shù)”是真命題；1目標檢測下列命題中，哪些是全稱量詞命題，哪些是存在量詞命題．用符號“?”或“?”表示下面的命題，并判斷其真假．（1）對所有的實數(shù)a，b，關(guān)于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；（2）所有的矩形都是平行四邊形；（3）至少有一個偶數(shù)是素數(shù)；（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．假命題；（4）存在量詞命題；?x∈R，使x2＋1＜0；因為“?x∈R，x2＋1＞0”，所以為假命題．2目標檢測將語句“x＋y∈Z（整數(shù)集）”修改成全稱量詞命題，并使得該命題為真命題．解答：對于?x，y∈Z，x＋y∈Z，真命題．3目標檢測將語句“a能被2整除”修改成存在量詞命題，并使得該命題為假命題．解答：?奇數(shù)a，a能被2整除，假命題．已知命題“?x∈R，ax2－ax＋1＞0”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_______