醫(yī)學信號處理報告三

西安交通大學實驗報告成績實驗日期：交報告日期：報告退發(fā)：教師審批簽字：第頁（共頁）實驗日期：交報告日期：報告退發(fā)：教師審批簽字：第頁（共頁）2013年5月11日2013年5月11日（訂正、重做）課程： 醫(yī)學信號處理專業(yè)班號組別.姓名學號.同組者 實驗名稱： 陵機佶號分析一.實驗要求1）產(chǎn)生1000點的白噪聲信號，并計算它的均值、均方值、均方根值、方差。2）計算該1000點白噪聲的自相關函數(shù)并作圖顯示白噪聲與它的自相關函數(shù)。3）計算腦電信號的均值、均方值、均方根值、方差，計算腦電信號的自相關函數(shù)并作圖顯示腦電信號與它的自相關函數(shù)。（zuoye3_leeg.mat）4）計算含有噪聲的心電信號的自相關函數(shù)并作圖顯示含有噪聲的心電信號與它的自相關函數(shù)。（zuoye3_lzshecg.mat）二.實驗原理自相關函數(shù)是信號在時域中特性的平均度量，它用來描述信號在一個時刻的取值與另一時刻取值的依賴關系，其定義式為：三.實驗步驟與結果分析1）產(chǎn)生1000點的白噪聲信號，并計算它的均值、均方值、均方根值、方差。根據(jù)題目的要求，利用randn產(chǎn)生均值為0,方差為1的隨機白噪聲。程序：clearcic%產(chǎn)生白噪聲信號fs=1000;t=O:l/fs:l;x=randn(l,length(t));%計算均值meanx=mean(x)%計算均方值junfangx=sum(x(l,:).A2)/fs%計算均方根值junfanggx=junfangxA(l/2)%計算方差sum((x(l,:)-meanx).A2)/fs程序運行完成后，輸出結果：均值：meanx=0.0305均方值：junfangx=0.9346均方根值：junfanggx=0.9667方差：fangchax=0.9337分析：和設計時均值為0,方差為1略有出入，但是從統(tǒng)計的角度看，是正確的。2)計算該1000點白噪聲的自相關函數(shù)并作圖顯示白噪聲與它的自相關函數(shù)根據(jù)題目的要求，求出白噪聲的自相關函數(shù)，延遲為200。程序：%計算自相關函數(shù)lag=200;[c,lags]=xcorr(x,lag,'biased');%lag為M,lags為下標m%作圖顯示白噪聲subplot(2,l,l)plot(t,x)xlabel('t');ylabel('x(t)');title。白噪聲x(t)')%作圖顯示白噪聲的自相關subplot(2,l,2)plot(lags/fs,c)xlabel('t');ylabel('Rxx(t)');title('白噪聲的自相關')程序運行完成后，繪制出了白噪聲的時域圖像和他的自相關函數(shù)的圖像，如圖(1)：-E圖(1)1000個點的白噪聲和在maxlags=200時其自相關函數(shù)分析：從圖中可以看出白噪聲的自相關函數(shù)為一個在0時刻的沖擊。3)計算腦電信號的均值、均方值、均方根值、方差，計算腦電信號的自相關函數(shù)并作圖顯示腦電信號與它的自相關函數(shù)加載eeg數(shù)據(jù)，loadzuoye3_leeg.mato其中ecgl變量存放的是原始腦電信號。根據(jù)要求計算各個參數(shù)的值。程序：clearcic%讀入eeg數(shù)據(jù)load('E:\課程'醫(yī)學信 乍業(yè)3\zuoye3_leeg.mat')fs=250;t=0:l/fs:10-l/fs;%計算均值meanx=mean(eegl)%計算均方值junfangx=sum(eegl(l,:).A2)/length(eegl)%計算均方根值junfanggx=junfangxA(l/2)%計算方差fangchax=sum((eegl(l,:)-meanx).A2)/length(eegl)%計算自相關函數(shù)[c,lags]=xcorr(eegl,'biased');%lag為M,lags為下標m%作圖顯示白噪聲subplot(2,l,l)plot(t,eegl)xlabel('t');ylabel('eeg幅值')；title('腦電信號')%作圖顯示白噪聲的自相關subplot(2,l,2)plot(lags/fs,c)xlabel('t');ylabel('eeg自相關')；title('白噪聲的自相關')程序運行完成后，輸出結果：均值：meanx=-0.0198均方值：junfangx=5.5061e-04均方根值：junfanggx=0.0235均方差：fangchax=1.5968e-04

程序運行完成后，繪制出了腦電信號的時域圖像和它的自相關函數(shù)的圖像，如圖(3)：圖（3）腦電信號的原始波形和其自相關函數(shù)圖象4）計算含有噪聲的心電信號的自相關函數(shù)并作圖顯示含有噪聲的心電信號與它的自相關函數(shù)加載eeg數(shù)據(jù)，loadzuoye3_leeg.mato其中ecgl變量存放的是原始腦電信號。程序：clearcic%讀入eeg數(shù)據(jù)load('E:\課程、醫(yī)學信號處理\作業(yè)3\zuoye3_lzshecg.mat')；fs=250;t=0:l/fs:10-l/fs;%計算自相關函數(shù)[c,lags]=xcorr(zshecgl,'biased')；%lag為M,lags為下標m%作圖顯示白噪聲subplot(2,l,l)plot(t,zshecgl)xlabel('t')；ylabel('ecg幅值')；title。含有噪聲的心電信號')%作圖顯示白噪聲的自相關subplot(2,l,2)plot(lags/fs,c)xlabel('t');ylabel('eeg自相關')；title('含有噪聲的心電信號的自相關')程序運行完成后，繪制出了有噪聲的心電信號和其自相關函數(shù)的圖像，如圖(4)：含H吟聲的心電偌：；8禽含H吟聲的心電偌：；8禽W號聲的4屯■:;力■相關圖(4)含有噪聲的心電信號和其自相關函數(shù)分析:可以從圖中看出由于心電信號由于噪聲的原因使得自相關函數(shù)在0處的沖擊變得很大。四.實驗總結通過本次試驗，使我對隨機信號的分析以及自相關函數(shù)等概念有了更加深入的認識。熟練地掌握了用Matlab求取隨機信號的各個參數(shù)的方法。第頁(共頁)課程：_醫(yī)學信號處理實驗日期：2013年5月11日專業(yè)班號碩2102組別交報告日期：2013年5月11日姓名—陳星學號3112322010報告退發(fā)：(訂正、重做)同組者教師審批簽字:西安交通大學實驗報告成績西安交通大學實驗報告成績實驗名稱： 生理佶號的功率譜估計一.實驗要求1)已知隨機信號x(n)=sin(2*pi*fl*n)+sin(2*pi*f*2n)+w(n).n=l,,,,,N,fl=0.05,12=0.12,w(n)為白噪聲。①N=1024時，當M=1024,M=256時，求自相關法功率譜密度并作圖。②當N=256,N=1024時，求周期圖法功率譜密度并作圖。③用welch法計算功率譜密度并作圖。2)信號為作業(yè)1獲取的心電信號，取一個周期，求周期圖法功率譜密度并作圖。3)信號為作業(yè)1獲取的心電信號，取10個周期，每段一個周期，用不重疊分段法求平均周期圖法功率譜密度并作圖。4)信號為作業(yè)1獲取的腦電信號，當N=256,N=1024時，求周期圖法功率譜密度并作圖。5)信號為作業(yè)1獲取的腦電信號，每段長256時，用welch法計算功率譜密度并作圖。生理信號抽樣頻率250Hz。二.實驗原理D直接法直接法功率譜估計是間接法功率譜估計的一個特例，又稱為周期圖法，它是把隨機信號的N個觀察值直接進行傅里葉變換，得到，然后取其幅值的平方，再除以N,作為對功率譜的估計。2)改進的周期圖法將N點的觀察值分成L個數(shù)據(jù)段，每段的數(shù)據(jù)為M,然后計算L個數(shù)據(jù)段的周期圖的平均，作為功率譜的估計，以此來改善用N點觀察數(shù)據(jù)直接計算的周期圖的方差特性。根據(jù)分段方法的不同，又可以分為Welch法和Bartlett法。3)Welch法所分的數(shù)據(jù)段可以互相重疊，選用的數(shù)據(jù)窗可以是任意窗。三.實驗步驟與結果分析1)分別利用自相關法，周期圖法，和welch法計算隨機信號的功率譜。程序：clearde%信號產(chǎn)生N=1024;n=l:l:N;fl=0.05;f2=0.12；x=sin(2*pi*fl*n)+sin(2*pi*f2*n)+randn(l,N);%相關函數(shù)估計c=xcorr(x,'biased');%譜估計M=Nlenth=length(x);px2047=abs(fft(c,2047));%譜估計M=256c2=[c(lenth-255:lenth-l),c(lenth:lenth+255)];px511=abs(fft(c2));%繪圖p=fftshift(px2047);p2=fftshift(px511);ml=-1023:1023;m2=-255:255;figure(l)subplot(2,l,l)plot(ml*N/2047,20*logl0(p))title('M=1024')subplot(2,l,2)plot(m2*N/511,20*logl0(p2))title('M=512')

mm圖（1）M=1024和M=256的自相關法功率譜程序：clearcic%信號產(chǎn)生N=1024;n=l:l:N;fl=0.05;f2=0.12;x=sin(2*pi*fl*n)+2*sin(2*pi*f2*n)+randn(l,N);%譜估計N=1024pxl024=abs(fft(x,1024)),A2/1024;%N=256px256=abs(fft(x,256)).A2/256;%繪圖p=fftshift(pxl024);p2=fftshift(px256);ml=-511:512;m2=-127:128;figure(l)subplot(2,l/l)plot(ml,20*logl0(p))title('N=1024')subplot。,1,2)plot(m2,20*logl0(p2))title('N=256')程序運行結果如圖(2)：圖(2)N=1024和N=256的周期圖法功率譜程序：clearde%信號產(chǎn)生N=1024;n=l:l:N;fl=0.05;f2=0.12;xn=sin(2*pi*fl*n)+sin(2*pi*f2*n)+randn(l,N);%welch法海寧窗256個數(shù)據(jù)為一段重合128個數(shù)據(jù)L=7w=hanning(256),;pxx=(abs(fft(w.*xn(l:256))).A2+abs(fft(w.*xn(129:384))).A2+abs(fft(w.*xn(257:512))).A2+abs(fft(w.*xn(385:640))).A2+abs(fft(w.*xn(513:768))).A2+abs(fft(w.*xn(641:896))).A2+abs(fft(w.*xn(769:1024))).A2)/(256*7);p=fftshift(pxx);plot(-127:128,10*logl0(p));title('welch法')；程序運行結果如圖(3)：法法圖(3)welch法功率譜2)對心電信號取…個周期，用周期圖法求功率譜密度并作圖程序：clearcic%讀入ecg數(shù)據(jù)load('E:\課程'醫(yī)學信號處理、作業(yè)3\zuoye3_lzshecg.mat')；N=2500fs=250;m=-1249:1250;px2500=abs(fft(zshecgl,2500)).A2/N;p=fftshift(px2500);plot(m*fs/N,10*logl0(p));title('心電信號周期圖法功率譜(一個周期)')；程序運行結果如圖(4)：心電俱；青明陰法正章謂＜7WW!）圖（4）心電信號一個周期周期圖法功率譜3)對心電信號取10個周期，每段…個周期，用不重疊分段法求平均周期圖法功率譜密度并作圖。程序：clearcic%讀入ecg數(shù)據(jù)load('E:\課程'醫(yī)學信號處理、作業(yè)3\zuoye3_lzshecg.mat')；N=2500;fs=250;m=-124:125%t=0:l/fs:10-l/fs;figure(2)pxx=(abs(fft(zshecgl(l:250))).A2+abs(fft(zshecgl(251:500))).A2+abs(fft(zshecgl(501:750))).A2+abs(fft(zshecgl(751:1000))).A2+abs(fft(zshecgl(1001:1250))).A2+abs(fft(zshecgl(1251:1500))).A2+abs(fft(zshecgl(1501:1750))).A2+abs(fft(zshecgl(1751:2000))).A2+abs(fft(zshecgl(2001:2250))).A2+abs(fft(zshecgl(2251:2500))).A2)/250*10;p=fftshift(pxx);plot(m*fs/250,10*logl0(p));title('心電信號周期圖法功率譜(10個周期)')；

程序運行完成后，結果如圖（5）：圖（5）心電信號一個周期周期圖法功率譜分析：可以看出10個周期的功率譜密度圖像要比一個周期的平滑許多。4）求腦電信號當N=256,N=1024時的周期圖法功率譜密度并作圖。程序：clearcic%讀入eeg數(shù)據(jù)load('E:\課程'醫(yī)學信號處理、作業(yè)3\zuoye3_leeg.mat')fs=250%譜估計N=1024pxl024=abs(fft(eegl,1024)).A2/1024;%N=256px256=abs什ft(eegl,256)).△2/256;%繪圖p=fftshift(pxl024);p2=fftshift(px256);ml=-5U:512;m2=-127:128；figure(l)subplot(2,l,l)plot(ml*fs/1024,20*logl0(p))title('N=1024周期圖法eeg功率譜')subplot(2,l,2)plot(m2*fs/256,20*logl0(p2))title('N=256周期圖法eeg功率譜')程序運行完成后，結果如圖(6)：圖（6）N=1024和N=256時的腦電信號周期圖法功率譜5）求腦電信號每段長256時welch法的功率譜密度并作圖。程序:clearcic%讀入eeg數(shù)據(jù)load('E:\課程'醫(yī)學信號處理\作業(yè)3\zuoye3_leeg.mat')fs=250;xn=eegl;%welch法海寧窗256個數(shù)據(jù)為一段重合128個數(shù)據(jù)L=18w=hanning(256),;pxx=(abs(fft(w.*xn(l:256))).A2+abs(fft(w.*xn(129:384))),A2+abs(fft(w.*xn(257:512))).A2+abs(fft(w.*xn(385:640))).A2+abs(fft(w.*xn(513:768))).A2+abs(fft(w.*xn(641:896))).A2+abs(fft(w.*xn(769:1024))).A2+abs(fft(w.*xn(897:1152))).A2+abs(fft(w.*xn(l025:1280))).A2+abs(fft(w.*xn(1153:1408))).A2+abs(fft(w.*xn(1281:1536))).A2+abs(fft(w.*xn(1409:1664))).A2+abs(fft(w.*xn(1537:1792))).A2+abs(fft(w.*xn(1665:1920))).A2+abs(fft(w.*xn(1793:2048))).A2+abs(fft(w.*xn(1921:2176))).A2+abs(fft(w.*xn(2049:2304))).A2+abs(fft(w.*xn(2177:2432))).A2)/(256*7);p=fftshift(pxx);plot((-127:128)*fs/256,10*logl0(p));title('welch法eeg功率譜')；程序運行完成后，結果如圖(7)：圖（7）N=1024和N=256時的腦電信號周期圖法功率譜四.實驗總結通過本次的實驗，使我對自相關法、周期圖法和welch法求功率譜有了較為深刻的理解，同時使我對利用matlab進行功率譜估計方法有了比較深入地認識，對以后的學習具有非常大的幫助。實驗日期：交報告日期：報告退發(fā)：教師審批簽字：第頁（共頁）2013年實驗日期：交報告日期：報告退發(fā)：教師審批簽字：第頁（共頁）2013年5月11日2013年5月H日（訂正、重做）實驗名稱:腦電佶號的AR參數(shù)模型譜佶計西安交通大學實驗報告課程：醫(yī)學信號處理 專業(yè)班號碩2102組別姓名陳星學號3112322010同組者 一.實驗要求1）已知32點觀測值x（n）=[0.4282 1.14541.55971.89941.6854 2.30752.4679 1.97901.60631.2804 -0.20830.0577 0.02060.3572 1.65720.74881.6666 1.98302.6914 1.25211.8691 1.68550.62420.1763 1.34900.6955 1.2941-0.6177]A①計算自相關序列氏-團）1.0475 0.4319并作圖顯示。0.03120.5802②用求出的自相關序列Rx（⑼來估計3階AR模型參數(shù)a3⑴，a3（2）,a3（3）及A2方差0③求該觀測序列的3階AR模型功率譜估計并作圖顯示。④若要求Ep<=0.3783,求AR模型的階數(shù)并計算功率譜，要求作圖顯示。2）信號為作業(yè)1獲取的腦電信號，求3階AR模型功率譜估計并作圖顯示。二.實驗原理AR模型譜估計原理：該模型除bo=l外，勺（'=1八1%）的取值均為零。其系統(tǒng)函數(shù)為“（z）=-—k=\x(n)=w(n)-2\akx(n-k)其差分方程為 *=i ,可知其功率譜密度為' A⑵A—)所以可推出其功率譜為2P(°)=噓——AR模型又稱為p階自回歸模型，簡稱AR模型。其系統(tǒng)函數(shù)只有極點，沒有零點,因此也稱為全極點模型。三.實驗步驟與結果分析A1)計算32點觀測值的自相關序列，然后利用公式計算3階AR模型參數(shù)a3⑴，A A Aa3(2),a3(3)及方差繼而可以求出3階AR模型功率譜估計并作圖顯示，最后求解在限制條件下Ep<=0.3783,求出AR模型的階數(shù)并計算功率譜，作圖顯示。將AR模型計算功率譜寫成函數(shù)puguji.m。程序：functionP=puguji(a,p/E);%a為AR模型參數(shù)，p為階數(shù),E為方差w="pi:0.01:pi;forn=l:l:length(w)sum=l;fork=l:l:psum=sum+a(k+l)*exp(-j*w(n)*k);endP(n)=E/abs(sum)A2;endplot(w/2/pi,P)clearcicxn=[0.42821.14541.55971.89941.68542.30752.46791.97901.60631.2804-0.20830.05770.02060.35721.65720.74881.66661.98302.69141.25211.86911.68550.62420.17631.34900.69551.29411.04750.43190.03120.5802-0.6177];%求自相關函數(shù)并作圖[rx,lags]=xcorr(xn,'biased');subplot(3,l,l)plot(rx)title('自相關函數(shù)')；%m=0e0=rx(32);a0=l;%m=lall=-rx(33)/e0;el=eO*(l-allA2);%m=2a22=-(rx(34)+all*rx(33))/el;a21=all*(l+a22);e2=el*(l-a22A2);%m=3a33=-(rx(35)+a21*rx(34)+a22*rx(33))/e2;a31=a21+a33*a22;a32=a22+a33*a21;e3=e2*(l-a33A2);%顯示所要求的參數(shù)a31=a31a32=a32a33=a33e3=e3%求3階功率譜并作圖A=[l,a31,a32,a33];subplot(3,l,2)puguji(A,3,e3);title('3階AR模型譜估計')；

%利用matlab的函數(shù)來求解階數(shù)nE=l;i=4;while(E>03783)[aE]=aryule(xn,i);i=i+l;endi=i-l%求i階Ar功率subplot(3,l,3)puguji(a,i,E);title('12階AR模型譜估計')程序運行結果：Aa3(l)：a31=-0.6984Aa3(2)：a32=-0.2748Aa3(3)：a33=0.0915A方差6？：e3=0.4678在Ep〈=0.3783最小階數(shù)為:i=12圖(1)中做出了序列的自相關函數(shù)，3階和12階的AR模型功率譜:圖(1)AR模型功率譜估計2）信號為腦電信號，求3階AR模型功率譜估計并作圖顯示。程序：cleardeload（'E:\課程'醫(yī)學信號處理'作業(yè)3\zuoye3_leeg.mat'）xn=eegl;[a,Ep]=aryule（xn,3）%求3階功率譜并作圖puguji（a,3,Ep）;title（'3階AR模型譜估計，）；程序運行結果如圖（2）：圖（1）腦電信號的3階AR模型功率譜估計四.實驗討論經(jīng)典譜估計法可以利用FFT計算，因而有計算效率高的優(yōu)點，在譜分辨力要求不是太高的地方常用這種方法。但頻率分辨率地是經(jīng)典譜估計的一個無法回避的缺點。如周期圖法在計算中把觀測到的有限長的N個數(shù)據(jù)以外的數(shù)據(jù)認為是零,而BT法僅利用N個有限的觀測數(shù)據(jù)作自相關函數(shù)估計，實質上也就是假設除已知數(shù)據(jù)外的自相關函數(shù)全為零，這些顯然都是與事實不符的。為了克服以上缺點,人們提出了平均，加窗平滑等方法，在一定程度上改善了經(jīng)典譜估計的性能。但是，經(jīng)典譜估計，始終無法解決，頻率分辨率與譜估計穩(wěn)定性之間的矛盾，特別是在數(shù)據(jù)記錄長度比較短時，這一矛盾尤其突出?，F(xiàn)代譜估計理論也就是在這種背景下產(chǎn)生的，以1967年Burg提出的最大燧譜分析法為代表的現(xiàn)代譜估計法，不認為在觀察到的N個數(shù)據(jù)以外的數(shù)據(jù)全為零。因此克服了經(jīng)典法的這個缺點，提高了譜估計的分辨率。后來發(fā)現(xiàn)線性預測自回歸模型法（簡稱AR模型法）與Burg的最大烯譜分析法是等價的，它們都可歸結為通過Yule-Walker方程求解自回歸模型的系數(shù)問題。五.實驗總結通過本次試驗，使我對AR模型有了更加深入的認識和了解，讓我對現(xiàn)代譜估計法的優(yōu)勢有了更深層次的認識，并掌握了利用matlab來計算AR模型譜估計的參數(shù)的方法對今后的學習大有裨益。西安交通大學實驗報告第頁(共頁)課程：_醫(yī)學信號處理實驗日期：2013年5月11日專業(yè)班號碩2102組別交報告日期：2013年5月11日姓名—陳星學號3112322010報告退發(fā)：(訂正、重做)同組者_教師審批簽字：實驗名稱： 自適應濾波春設計與仿真一.實驗要求1)噪聲抵消器圖⑴2)按照以上噪聲抵消器框圖設計自適應濾波器。其中s(k)為心電信號，如ecg0410,x(k)=sin(2n50nT)為50Hz干擾，T=l/250o3)使用以下迭代公式求濾波器系數(shù)h(n)及e(k)0ep)ad(n)~戈，巾He-H"+/xe(i)寫成分量形式：hn+,(k)=h?(k)+ux(n-k)e(n) k=0,…M可取M=5其中步長入max,入max為矩陣R的最大特征值，口可取0.1左右。初始值可設h°(k)=Ok=0,-Mo當n足夠大時，有e(n)=s(n)。要求顯示觀測數(shù)據(jù)d(k)與濾波器輸出e(k)的波形。可參考matlab幫助―>Demos—ToolboxesfFilterDesignfAdaptiveFiIter中的有關例子。二.實驗原理D維納濾波從連續(xù)的(或離散的)輸入數(shù)據(jù)中濾除噪聲和干擾以提取有用信息的過程稱為濾波，而相應的裝置稱為濾波器。根據(jù)濾波器的輸出是否為輸入的線性函數(shù)，可將它分為線性濾波器和非線性濾波器兩種。濾波器研究的一個基本課題就是：如何設計和制造最佳的或最優(yōu)的濾波器。所謂最佳濾波器是指能夠根據(jù)某?最佳準則進行濾波的濾波器。20世紀40年代，維納奠定了關于最佳濾波器研究的基礎。即假定線性濾波器的輸入為有用信號和噪聲之和，兩者均為廣義平穩(wěn)過程且知它們的二階統(tǒng)計特性，維納根據(jù)最小均方誤差準則(濾波器的輸出信號與需要信號之差的均方值最小)，求得了最佳線性濾波器的參數(shù)，這種濾波器被稱為維納濾波器。在維納研究的基礎上，人們還根據(jù)最大輸出信噪比準則、統(tǒng)計檢測準則以及其他最佳準則求得的最佳線性濾波器。實際上，在一定條件下，這些最佳濾波器與維納濾波器是等價的。因而，討論線性濾波器時，一般均以維納濾波器作為參考。維納濾波理論用于解決最小均方誤差下的線性濾波問題。設接收到(或觀測到)的信號為隨機信號x@)■項)+4) ⑴其中s(t)是未知的實隨機信號，n(t)是噪聲。要設計的線性濾波器，其沖擊響應為h(t,t),輸入為x(t),輸出為W),即喇?04小》 ⑵令為估計誤差。沖擊響應h(t,C按最小均方誤差準則確定，即h(t,T)必須滿足使

達到最小。根據(jù)最小均方誤差估計的正交條件，有以下關系成立TOC\o"1-5"\h\z啡(0-匚坤加網(wǎng)則｝.0 -84-48 ⑷令凡(5)見1)?小仲崎 ⑹則有口k款&。< -8$- ⑦上述方程通常稱為非平穩(wěn)隨機過程條件下的維納-霍甫(Wiener-Kolmogorov)積分方程。特別當x(t),s(t)均為廣義(或寬)平穩(wěn)隨機信號，而濾波器是線性時不變系統(tǒng)的情況下，x(t)與s(t)必為聯(lián)合平穩(wěn)，式(7)可寫為入0口1咪(，-印? (8)令”(■工,則有《(切■口(砒y°旬3?喇叫(動此處，“*”號表示卷積，對上式兩邊取Fourier變換，可得TOC\o"1-5"\h\zs上WWS) (io)3霸 (11)對于因果線性系統(tǒng)，有?(/)-fh(r-rX(r)dr (⑵采用完全相同的分析方法，推得因果平穩(wěn)維納-霍甫積分方程如下(jy)-rii(4)R.(y-4)(U (13)則郡 (14)其中$<?)?￡(?)￡(?