平面向量與三角形四心問題老師

「?od”-「?od”-——SA—OAS+S則有平面向量基本定理與三角形四心引理已知O是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC,AAOC,AAOB的面積分別為SA,SB,SC，求證：SA?OA+SB?OB+SC.OC=0如圖2延長OA與BC邊相交于點(diǎn)D則BDSS— ABODS-SAB0D-SC^aAB^^^y^^^ABDl_yAlABO.D CDCSSS—S SAACDACODACDACOD BOD=DCOB+BDOC= SB OB+SCOCTOC\o"1-5"\h\zBCBCS+SS+S

BC BCODSSS+SS =bod—COD—BOD COD-- A——OASSS+SS+SBOACOABOA COA BC-A-^OA—SBOB+SCOCS+S SB+SC SB+SCBC?二SA.OA+SB.OB+SC.OC-0推論O是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，且X?OA+y?OB+z?OC-0，則S :S :S —x:y:z'zABOC:ACOA:AAOB引理1.設(shè)O為AABC內(nèi)一點(diǎn)，九,九,九均為正實(shí)數(shù)，入OA+九OB+九OC-0，S九S423S九1 2 3AAOBSAABC 3 ,?+12+九3ABOC-SAABC 1 々+九2+九3AAOC-SAABC引理2.設(shè)O為AABC內(nèi)一點(diǎn)，Sb，SC,S分別表示S兇0c,SABS詼的面積，則AO-SBAB+S^A^CSS一.知識梳理：基礎(chǔ)知識定義向量的數(shù)量積，若非零向量〃,b的夾角為0，則〃，b的數(shù)量積記作ababcosg，也稱內(nèi)積，其中|b|cos0叫做b在a上的投影（注：投影可能為負(fù)值）.定義若點(diǎn)P是直線P1P2上異于p1,p2的一點(diǎn)，則存在唯一實(shí)數(shù)入，使P1P6PP2,人叫P分PP所成的比，若0為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則OP=邛+gOPP.由此可得若P,12 1+九 1X+入xX=P，P的坐標(biāo)分別為(x,y),11(x,y),(x,y)，則［ 1+入入=x2i=Zz2^P，P的坐標(biāo)分別為(x,y),112 2 y=y1+入^2 X2-Xy2-yyi+九定義設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照向量a=(h,k)的方向，平移|a1rhm2個(gè)單位得到圖形F;這一過程叫做平移。設(shè)P(x,y)是F上任意一點(diǎn)，{x'=x+h稱為平移公式._ y'二y+k定理對于任意向量a=(x/y),b=(x2,y2),|a,b|W|a|,|b|,并且|a+b|W|a|+|b|.三角形“四心”的相關(guān)向量問題(一)四心的概念介紹： 一一一一一一--⑴重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2：1；⑵垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直；(3)內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等;⑷外心：中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.(二)三角形四心向量式1.O是AABC的重心oSBBOC：SCcoa:S^OB=1:1:1oOA+OB+OC=02.0是AABC的內(nèi)心^^S .S.S -a:b:c^^a?OA+b?OB+c?OC=0向量入（abac

^+Abbac0A（氤向）=°B（B^^））=".（3+嬴））sinAoa+sinBob+向量入（abac

^+Abbac）（入/0）所在直線過aabc內(nèi)心（是bac的角平分線所在的直線）Z3.0是aabc的外心oOAOBOCoSA嬴:SAcoa:S^ob-sin2A:sin2B:sin2C=sinBOC:sinAOC:sinAOBosin2A.OA+sin2B.OB+sin2c.OC-0 乙乙乙4.0是AABC的垂心oS:S:S=tanA:tanB:tanCotanA.OA+tanB.OB+tanC.OC=0cd cd證明：如圖0為三角形的垂心，tanA- ,tanB-ntanA.tanB-DB:ADAD DBS:S-db:AD??S:S二tanA:tanB同理得S:S-tanB:tanC，S:S=tanA:tanC??S A°S ^°S _tanA:tanB:t?nC^°BABOC?ACOA?AAOB

（三）四心的相互關(guān)系.三角形外心與垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)△ABC的外心為0,則點(diǎn)H為△ABC的垂心的充要條件是OH=OA+OB+OC..三角形外心與重心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)^ABC的外心為O，則點(diǎn)G為^ABC的重心的充要條件是O心l（OA+O+0c）.三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)^ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H，則O、G-H三點(diǎn)共線.（O、G、H三點(diǎn)連線稱為歐拉線），且OG=-GH.2練習(xí)題：.已知G是^ABC所在平面上的一點(diǎn)，若GA+GB+GC=0，則G是^ABC的（）.A.重心 B.外心 C.內(nèi)心D.垂心.已知O是平面上一定點(diǎn)，AB,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足OP=OA+九（AB+AC）,九￡（0,+s），則P的軌跡一定通過^ABC的（ ）.A.重點(diǎn) B.外心 C.內(nèi)心D.垂心MO是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，動點(diǎn)PMO是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足加二成+人（■|AB|sinB|AC|sinC(入￡(0,+8））,則動點(diǎn)P的軌跡一定通過4ABC的（ ）A.內(nèi)心B.重心C.外心D.垂心.P是^ABC所在平面上一點(diǎn)，若PA?PB=PB?PC=PC?PA,則P是^ABC的（）A.重點(diǎn) B.外心 C.內(nèi)心D.垂心4.已知O是平面上一定點(diǎn)，A4.已知O是平面上一定點(diǎn)，AB,OP=OA十九、ABAC--~~-+—；~~-

ABcosBACcosC/C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足￡（0,+8），則動點(diǎn)P的軌跡一定通過^ABC的（）.￡重點(diǎn) B.外心、 C.內(nèi)心、 D.垂心.若H為^ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且|ha卜+回2=廊卜+^：^212=|hc￥+|ab|2則點(diǎn)H是^ABC的（）A.重點(diǎn) B,外心 C.內(nèi)心 D,垂心.已知I為^ABC所在平面上的一點(diǎn)，且AB=c,AC=b,BC=a.若alA+bIB+cIC=0，則I是^ABC的（）A.重點(diǎn) B,外心C.內(nèi)心 D,垂心

OP=04+為處+把；'網(wǎng)A.重點(diǎn)B.外心QOP=04+為處+把；'網(wǎng)A.重點(diǎn)B.外心Q內(nèi)心￡（0,+s），則動點(diǎn)P的軌跡一定通過^ABC的D.垂心.若O在^AB^所在的平面內(nèi) _ _ _產(chǎn)7T^）=應(yīng) ^^）二山貝IO是^ABC的（ ）|AC||AB||BC||BA| |CA||CB|A.垂心 B.重心 仁內(nèi)心D.外心9.9.已知0是^ABC所在平面上一點(diǎn)，A.重點(diǎn)B.外心Q內(nèi)心若042=0B2=0C2，則0是4ABC的(D.垂心■1 A-L A -tj..設(shè)O為■1 A-L A -tj..設(shè)O為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且0A+20B+30C=0,則AA0B,AA0C的面積的比值.已知P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且3PA+4PB+5PC=0,則SP咖:SP尸隹：SP詠=2—1 ■ 12— 1—.已知P,Q為AABC內(nèi)兩點(diǎn)，AP=-AB+-AC,AQ=-AB+-AC,則AABP,AABQ的面積之

5 5 3 4比為（A.13)B.14C.I.已知M為AABC內(nèi)一點(diǎn),am=1AB+1AC，則AABM,AABC的面積之比為（ ）3 4C.1D,22 3、一， ， …、一一—,■——h—>S , 、.設(shè)點(diǎn)O在AABC外部，且20A-30B-50C=0則^0bc=( )SAABCC.I3“.設(shè)O為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且有AB=2（0B+0c，則AABC的面積與AB0C的面積的比值聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題.在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A,B坐標(biāo)分別為(1,0),(0,2),當(dāng)實(shí)數(shù)p,q滿足1+1=1pq時(shí)，若點(diǎn)C,D分別|J在x軸，y軸上，且OC=pOA,OD=qOB，則直線CD恒過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為..已知平面上三個(gè)向量a,b,c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200,若|ka+b+c|>1(k￡R),則k的取值范圍是.TOC\o"1-5"\h\zff— a ■ F p ■——.平面內(nèi)四點(diǎn)人,B,C,D滿足|AB1=3,1BC1=7,1CD1=11,1DA1=9，則AC-BD的取值有 個(gè).4.O為^ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，A,B,C為^ABC的角，若sinA?OA+s