棱柱、棱錐、棱臺(tái)復(fù)習(xí)課

棱柱、棱錐、棱臺(tái)復(fù)習(xí)課董建鋼教學(xué)目標(biāo)般棱臺(tái)、正棱臺(tái))的有關(guān)概念；理解并把握棱柱、棱錐的一般性質(zhì)，把握正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)(尤其是正方體、正四周體)的性質(zhì)；柱、棱錐、棱臺(tái)中側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱與底面、側(cè)棱與側(cè)棱、側(cè)面與底面所成角的有關(guān)計(jì)算；把握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積與全面積的計(jì)算；會(huì)解決棱柱、棱錐、棱臺(tái)的對(duì)角面和平行于底面的截面等有關(guān)問(wèn)題，能嫻熟的解決其各種有關(guān)計(jì)算.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)體幾何的有關(guān)計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形中的有關(guān)計(jì)算.教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程一、復(fù)習(xí)提問(wèn)(用投影儀出示以下命題)例1 答復(fù)以下命題中條件是結(jié)論的什么條件(要求用充分非必要、必要非充分、充要條件作答)(1)有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.(2)底面是正多邊形的棱錐是正棱錐.(3)底面是正多邊形的棱臺(tái)是正棱臺(tái).(4較差的學(xué)生作答)講評(píng).必要非充分條件.因這兩個(gè)側(cè)面可以是相對(duì)的兩個(gè)側(cè)面.(2)必要非充分條件.因正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形.(3)必要非充分條件.因正棱臺(tái)的側(cè)面是全等的等腰梯形.(4)必要非充分條件.因棱臺(tái)的各條側(cè)棱相交于一點(diǎn).例2 集合A=｛斜棱柱｝，B=｛直棱柱｝，C=｛正棱柱｝，D=｛長(zhǎng)方體｝.下面命題中正確的選項(xiàng)是( ).CBD (B)A∪C=｛棱柱｝ (C)C∩D=｛正棱柱｝ (D)BD(該例題重點(diǎn)是檢查學(xué)生對(duì)所涉及到的這幾個(gè)集合與集合中元素的理解與生疏，所以在分析問(wèn)題時(shí)只要用韋恩圖把這幾個(gè)集合間的關(guān)系清楚地表示出來(lái)即可找到正確的答案C，如圖1)二、應(yīng)用舉例例3 一個(gè)斜三棱柱ABC-ABC的底面是邊長(zhǎng)為5的正三角形側(cè)棱長(zhǎng)為4.假設(shè)其中一側(cè)棱與111底面三角形的兩邊都成45°角，求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積.師:請(qǐng)學(xué)生們答復(fù)在求棱柱的側(cè)面積時(shí)，我們首先想什么?生:外形.(即是什么樣的棱柱，是直棱柱還是斜棱柱)師:考慮完外形后干什么?S側(cè)=C·L(其中Cl假設(shè)是斜棱柱，利用公式S求各側(cè)面面積之和.

=C·L(C是直截面的周長(zhǎng)，l直 直師:下面我們依據(jù)上述兩種方法分別計(jì)算這個(gè)棱柱的側(cè)面積.3AH⊥平面ABCH.1由于∠AAB=∠AAC，易證點(diǎn)H∠BACΔABC是正三角形.所以AH⊥BC.由三1 1垂線定理有BC⊥AA，又AA∥BB，因此BC⊥BB.故側(cè)面BBCC是矩形.1 1 1 1 1 1所以 S=2×5×4sin45°+5×4=20 +20.4BE⊥A1A于點(diǎn)ECE.則易證ΔABE≌ΔACE.所以CE⊥AA.所以AA⊥1 1截面BCBCE.BE=CE=+20.

.所以所求側(cè)面積為S=C ·AA=20側(cè) ΔBCE 1例4 正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面與底面所成的二面角為60°，求它的高、側(cè)棱長(zhǎng)及相鄰兩側(cè)面所成的二面角大小.師:正三棱錐有什么特征.生:頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心.(即內(nèi)心、外心、重心、垂心)錐的底面中心.解:如圖.設(shè)點(diǎn)O為頂點(diǎn)在底面上的射影.因該棱錐為正三棱錐，所以O(shè)為底面正三角形的中心.連接SO、CO并延長(zhǎng)COABD，連接SD，則CD⊥ABD，SD⊥ABD.(三垂線定理)所以∠SDC是側(cè)面SAB與底面ABC所成二面角的平面角，即∠SDO=60°.由于 ΔABC是正三角形，且AB=a.因此 CD= a,CO= A.故 SO=OD·tg60°=a.SC= = a.BE⊥SCE，連接AE，明顯ΔACE≌ΔBCE，有AE⊥SC，故∠AEB是三棱錐S-ABC側(cè)面所成二面角的平面角.由于 SD= = a,BE·CS=SD·AB，因此 BE=AE= ，所以 cos∠AEB= .所以該三棱錐S-ABC的高為，側(cè)棱長(zhǎng)為 a，相鄰兩側(cè)面所成的二面角為arccos.面所成的二面角60°)側(cè)棱、側(cè)棱在底面上的射影所組成的直角三角形、以及高、斜高及斜高在底面上的射影所組成的直角三角形、溝通了正棱錐的高、側(cè)棱、斜高、底面的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，從而也溝通了立體圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的橋梁，表達(dá)了化歸與轉(zhuǎn)化的根本思想.例5 正三棱臺(tái)ABCABC的側(cè)面與底面成45°角，求側(cè)棱與底面所成角的正切值.師；正111-棱臺(tái)是什么樣的圖形?它是怎樣形成的?由正棱錐被平行于底面的截面截得的.師:通過(guò)上面的分析，解決該問(wèn)題通常有兩種方法.其一是從圖形特征來(lái)解.(見(jiàn)解法一)其二是由錐、臺(tái)之間的關(guān)系來(lái)解!稱之為“還臺(tái)為錐”.7OOOO，AOABDAOAB1 1 11 11 1DDDAO⊥BC，AD⊥BC，DD⊥BC，過(guò)A，D分別作AE⊥底面ABC，DF⊥底1 11 11 1 1 1 1 1ABC，易證E、FAD由于正三棱臺(tái)ABCABC45°的二面角，所以∠DDA=45°.111- 1因此A1E=O1O=D1F=FD.設(shè)該正三棱臺(tái)上下底面的邊長(zhǎng)為a,b,則AD= b,A1D1= a.所以 AE=OO=DF=FD=× b-× a= (b-a).1 1 1AE=× B-× a= (b-a).所以 tg∠AAE= =.18，延長(zhǎng)AABB，CCAABBCC相交于一點(diǎn)S.明顯點(diǎn)SDD1 1 1 1 1 1 1線上.由解法一得知，∠SDA為二面角S-BC-A∠SDA=45°.所以 在RtΔSOD中，SO=OD，由于 AO=2·OD，所以 tg∠SAO= = =.講評(píng):由此例可以看出，在解決棱臺(tái)的問(wèn)題時(shí)，“還臺(tái)為錐”利用棱錐的性質(zhì)解決棱臺(tái)問(wèn)題時(shí)是一種快捷便利的方法.三、課堂練習(xí)練習(xí)1 正三棱錐的高為h，側(cè)面與底面成60°的二面角，求它們?nèi)娣e.9V-ABCVOVAVOABCADVBCVD.OAD⊥BC.因此由三垂線定理得VD⊥BC.故∠VDA就是側(cè)面與底面所成角的二面角的平面角，即∠VDA=60°.所以在RtΔVOD中，有OD=VO·ctg60°= h,VD=2·DO= h.又在RtΔABD中，有AD=3·OD= 3h，AB=AD·CSC60°=2h，所以 S=S+S=AB·sin60°+ (3·AB)·VD= (2h)× +×6h×全 底 側(cè)h=3 h.講評(píng):抓住Oh，α(側(cè)面與底面所成的二面角)通過(guò)解直角三角形求出其它元素，最終代入面積公式進(jìn)展計(jì)算.練習(xí)2 正三棱錐V-ABC的底面邊長(zhǎng)和高都是4，它的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面是正方形求棱柱上底面ABC截棱錐所得的三棱臺(tái)ABC-AB的面積略解:如圖10設(shè)棱長(zhǎng)為x,則OO=x，111 11 1AO= x.11AO∶AO=VO∶VO，所以x=2.11 1因此棱臺(tái)的斜高為 ，上底面邊長(zhǎng)為2，所以=3× (2+4)× =78.四、小結(jié)棱錐中特征直角三角形的利用.它們是將空間中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題的橋梁.關(guān)于棱棱臺(tái)中特征直角三角形和直角梯形.它們是聯(lián)系關(guān)系式中未知量與題目中所給幾何圖形中的元素間關(guān)系的紐帶.五、作業(yè)斜三棱柱ABC-ABCAB=AC=10cm，BC=12cm,AA，B，CAA=13cm,111 1 1求斜三棱柱的全面積.如圖11，正四棱錐的棱長(zhǎng)均為a，(I)求側(cè)面與底面所成角的大??；(Ⅱ)求相鄰兩側(cè)面所成二面角的余弦值.如圖12，棱臺(tái)上、下底面面積為a2,b2,過(guò)高的兩個(gè)三等分點(diǎn)作平行于底面的兩個(gè)截面，求兩個(gè)截面面積.13，正三棱錐V-ABC4，其內(nèi)接正三棱柱的三個(gè)側(cè)面都是正方形，求內(nèi)接正三棱柱的全面積.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明括了柱、錐、臺(tái)的性質(zhì)，同時(shí)也包含了第一章學(xué)過(guò)的全部學(xué)問(wèn).因