立體幾何探究性問(wèn)題

題型一翻折問(wèn)題例1[2023·江西師大附中模擬]如圖①，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且BM＝2MA，AN＝2NC.如圖②，將△AMN沿MN折起到△A′MN的位置．(1)求證：平面A′BM⊥平面BCNM；(2)若二面角A′-MN-C的大小為60°，求平面A′BM與平面A′CN所成銳二面角的余弦值．鞏固訓(xùn)練1[2023·河北保定模擬]如圖1，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AC＝2AB＝12，E，F(xiàn)都在AC上，且AE∶EF∶FC＝3∶4∶5，EB∥FG，將△AEB，△CFG分別沿EB，F(xiàn)G折起，使得點(diǎn)A，C在點(diǎn)P處重合，得到四棱錐P-EFGB，如圖2.(1)證明：EF⊥PB；(2)若M為PB的中點(diǎn)，求鈍二面角B-FM-E的余弦值．題型二探究問(wèn)題例2[2023·安徽馬鞍山模擬]如圖所示，四棱錐P-ABCD，底面在以AC為直徑的圓O上，PO⊥圓O，△ABD為等邊三角形，AC＝4，PO＝√2.(1)求證：平面PBD⊥平面PAB；(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)M使得直線PA與平面AMC所成角的正弦值為√21/21？若存在，求出PM/PB；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．鞏固訓(xùn)練2[2023·山東濟(jì)南歷城二中模擬]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝BC＝√2AB＝√2AC，點(diǎn)M為B1C1的中點(diǎn)．(1)證明：AC1∥平面A1BM；(2)AC上是否存在點(diǎn)N，使二面角B-A1M-N的大小為π/4，若存在，求AN/CN的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型三最值問(wèn)題例3[2023·河北石家莊二中模擬]如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝2π/3，四邊形ACFE為矩形，且CF⊥平面ABCD，AD＝CD＝BC＝CF＝1.(1)求證：EF⊥平面BCF；(2)點(diǎn)M在線段EF(含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面MAB與平面FCB所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值．鞏固訓(xùn)練3[2023·廣東汕頭模擬]如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝2√3，BD＝2，E是棱PB上一動(dòng)點(diǎn)，已知二面角A-PB-D的余弦值為1/4．(1)證明：平面PAC⊥平面PBD；(2)求直線CE與平面PAB所成角正弦值的最大值．真題1.[2021·全國(guó)甲卷]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1.(1)證明：BF⊥DE；(2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最?。?．[2020·新高考Ⅰ卷]如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明：l⊥平面PDC；(2)已知PD＝AD＝1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．探究一：策略再現(xiàn)(折疊)探究二、策略再現(xiàn)（存在嗎）探究三、策略再現(xiàn)（范圍、最值）利用向量法求解與角、體積有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，往往將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為