競賽專題12復數(shù)解析版

【高中數(shù)學競賽專題大全】競賽專題12復數(shù)（50題競賽真題強化訓練）一、填空題1．（2021·全國·高三競賽）已知z為復數(shù)，且關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則的最小值為__________．【答案】1【解析】【詳解】解析：x為實數(shù)根，若，則，矛盾；故，故，于是我們可以得，當且僅當時等號成立，故所求的最小值為1．故答案為：1.2．（2018·遼寧·高三競賽）設(shè)、b均為實數(shù)，復數(shù)與的模長相等，且為純虛數(shù)，則+b=_____.【答案】【解析】【詳解】由題設(shè)知，且為純虛數(shù)，故.因此或解得或，故.故答案為3．（2020·江蘇·高三競賽）已知復數(shù)滿足，則的最大值為__________．【答案】3【解析】【詳解】解析：由題意可得，則表示復平面上點到的距離．如圖所示，，由此可得．故的最大值為3．故答案為：3.4．（2018·山東·高三競賽）若復數(shù)滿足，則的最小值為______．【答案】1【解析】【詳解】設(shè)，，，則點的軌跡為線段．因此為原點到的距離，即．5．（2019·甘肅·高三競賽）在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點分別為．若，，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【詳解】因為，所以，因為，所以，從而6．（2018·福建·高三競賽）設(shè)復數(shù)滿足，則的最大值為______．（為虛數(shù)單位，為復數(shù)的共軛復數(shù)）【答案】6【解析】【詳解】設(shè)，則，，，由，知，．所以，．所以．當且僅當，即時，等號成立．故的最大值為6．7．（2018·全國·高三競賽）已知定義在復數(shù)集上的函數(shù)（p、q為復數(shù)）.若與均為實數(shù)，則的最小值為__________．【答案】【解析】【詳解】設(shè)，.由，為實數(shù)知，.則.故當（即，）時，取最小值.8．（2021·全國·高三競賽）設(shè)復平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應(yīng)的復數(shù)依次為，則復數(shù)所對應(yīng)的不同的點的個數(shù)是_______________．【答案】4【解析】【詳解】因為，故考慮的不同個數(shù).由，則，可知只有4個取值，而的取值不會增加，故應(yīng)為4個不同的點的個數(shù)．故答案為：4.9．（2021·全國·高三競賽）設(shè)，其中為虛數(shù)單位，.設(shè)，則的實部為___________.【答案】【解析】【詳解】，故，故，故，從而實部為.故答案為：.10．（2021·全國·高三競賽）設(shè)復數(shù)??滿足，則___________.【答案】2【解析】【詳解】解析：.故答案為：2.11．（2021·浙江·高三競賽）復數(shù)，滿足，，則______.【答案】【解析】【分析】【詳解】如圖所示，設(shè)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為,由已知得,由余弦定理得向量所成的角為,不妨設(shè),,,,,,,.故答案為：.12．（2021·浙江·高二競賽）設(shè)復數(shù)的實虛部，所形成的點在橢圓上.若為實數(shù)，則復數(shù)______.【答案】或.【解析】【分析】【詳解】由，所以，則，所以或.故答案為：或.13．（2021·全國·高三競賽）已知，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】【詳解】設(shè)，則：．故，解得，即．故答案為：.14．（2021·全國·高三競賽）已知復數(shù)（i虛數(shù)單位），則______________．【答案】36【解析】【分析】【詳解】由已知，故，再結(jié)合，及，知所求式子為．又，是8次單位根．當時，．當時，．當時，，所以．故答案為：36.15．（2021·全國·高三競賽）已知復數(shù)a、b、c滿足則_________．【答案】i【解析】【分析】【詳解】由題意有，三式相加有，代入第一個式中有，與聯(lián)立，即有a、c均不為0且，故有，所以或i．當時，有，此時原式為i．當時，有，此時原式為i．當時，有，又，所以，得，矛盾．綜上所述，原式僅有i一個值．故答案為：i.16．（2021·全國·高三競賽）若復數(shù)滿足條件，則______．【答案】0【解析】【分析】【詳解】對取共軛，．再與相加，并結(jié)合得：．若，則所求式為0．否則，．則，從而．代入條件二，得．即．故是純虛數(shù)，有．從而，所求式也為0．故答案為：0.17．（2021·全國·高三競賽）若復數(shù)滿足，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】【詳解】.設(shè)，則：.若，則，而矛盾.同理，亦不可能，所以.設(shè)，則:，所求取值范圍是.故答案為：.18．（2021·全國·高三競賽）若非零復數(shù)x?y滿足，則的值是________.【答案】1【解析】【分析】【詳解】得或.（1）當時，原式.（2）當時，同理可得原式.故答案為：1.19．（2020·全國·高三競賽）設(shè)z為復數(shù)．若為實數(shù)（i為虛數(shù)單位），則的最小值為______．【答案】．【解析】【分析】設(shè)，由已知條件計算出的數(shù)量關(guān)系，然后運用不等式求解出結(jié)果；【詳解】設(shè)，由條件知，故．從而，即．當時，取到最小值．故答案為：．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是緊扣已知條件，計算出滿足條件的數(shù)量關(guān)系，繼而可以求出結(jié)果.20．（2019·浙江·高三競賽）設(shè)為復數(shù)，且滿足(其中i為虛數(shù)單位)，則取值為____________.【答案】【解析】【詳解】由，設(shè)，由得，于是，.故答案為：．21．（2019·貴州·高三競賽）已知方程的五個根分別為，f(x)=x2+1，則____________.【答案】37【解析】【詳解】設(shè)，則.又f(x)=x2+1=(x－i)(x+i)，所以.故答案為：37．22．（2019·四川·高三競賽）滿足(a+bi)6=a－bi(其中a，b∈R，i2=－1)的有序數(shù)組(a，b)的組數(shù)是_____.【答案】8【解析】【詳解】令z=a+bi，則，從而.于是或者.當時，z=0，即a=b=0，顯然(0，0)符合條件；當時，由知，注意到z7=1有7個復數(shù)解.即有7個有序?qū)崝?shù)對(a，b)符合條件.綜上可知，符合條件的有序?qū)崝?shù)對(a，b)的對數(shù)是8.故答案為：8．23．（2019·福建·高三競賽）已知復數(shù)滿足，且，則____________.【答案】【解析】【詳解】先求復數(shù)的平方根.設(shè)，則.故有，解得或.由，知為復數(shù)的兩個平方根.由對稱性，不妨設(shè).于是，，復數(shù)對應(yīng)的點構(gòu)成邊長為4的正三角形.又復數(shù)對應(yīng)的點關(guān)于原點O對稱，所以O(shè)Z為△ZZ1Z2的高，故.故答案為：．24．（2019·山東·高三競賽）已知虛數(shù)z滿足為實數(shù)，且，那么的最小值是______.【答案】1【解析】【詳解】設(shè)z=x+yi(x，y∈R)，易知，則，當x=0時等號成立.故答案為：1．25．（2019·重慶·高三競賽）已知復數(shù)使得為純虛數(shù)，，，則的最小值是_______.【答案】【解析】【詳解】設(shè)，則，由已知，所以.所以.所以.所以.當時，最小值能取到.故答案為：．26．（2019·上?！じ呷傎悾┤魪蛿?shù)z滿足，則的最大值為________.【答案】【解析】【詳解】由復數(shù)的幾何意義知，z在復平面上對應(yīng)的曲線是橢圓：.設(shè)，則，所以，當，即時等號成立，故最大值為.故答案為：．27．（2019·江蘇·高三競賽）在復平面中，復數(shù)3－i、2－2i、1+5i分別對應(yīng)點A、B、C，則△ABC的面積是________.【答案】4【解析】【詳解】如圖所示，△ABC的面積為：，即△ABC的面積是.故答案為：4．28．（2018·河南·高三競賽）已知為虛數(shù)單位，則在的展開式中，所有奇數(shù)項的和是______．【答案】512【解析】【詳解】易知的展開式中，所有奇數(shù)項的和是復數(shù)的實部．又．故填512．29．（2018·全國·高三競賽）設(shè)復數(shù)，.則的最小值為__________．【答案】2【解析】【詳解】令，則且此時有.故當，即時，的最小值為2.30．（2019·全國·高三競賽）設(shè)方程的10個復根分別為.則______.【答案】850【解析】【詳解】設(shè).則.由于方程的10個復根分別為，不妨設(shè)其為、、、、、、、、、.由，知.于是，.故.31．（2019·全國·高三競賽）若為大于1的正整數(shù)，則______.【答案】0【解析】【詳解】.32．（2018·全國·高三競賽）已知復數(shù)滿足，.則的最大值是______.【答案】【解析】【詳解】注意到.則.當時，取最大值.33．（2019·全國·高三競賽）在復平面上，復數(shù)對應(yīng)的點在聯(lián)結(jié)1和兩點的線段上運動，復數(shù)對應(yīng)的點在以原點為圓心、1為半徑的圓上運動．則復數(shù)對應(yīng)的點所在區(qū)域的面積為______．【答案】【解析】【詳解】設(shè)（），．則．故為圓心在上的一組圓，該區(qū)域面積為．34．（2018·廣西·高三競賽）設(shè)、為正整數(shù)，且.則=______.【答案】8.【解析】【詳解】由題意得.又因為與為奇偶性相同的整數(shù)，所以，或解得，.故.35．（2019·全國·高三競賽）化簡______.【答案】【解析】【詳解】令，，則有.從而，，故.36．（2019·全國·高三競賽）復數(shù)列滿足，.若，則可以有_________種取值.【答案】【解析】【詳解】顯然，對任意的非負整數(shù)均有.設(shè).則.由，得，即.由，得.因此，滿足條件的共有（個）.故答案為37．（2019·全國·高三競賽）設(shè)復數(shù).則的最小值是________.【答案】【解析】【詳解】，其等號成立的條件是，化簡得，即.因此的最小值是.38．（2021·全國·高三競賽）若e為自然對數(shù)的底，則滿足，且的復數(shù)z的個數(shù)為________．【答案】32【解析】【分析】【詳解】記i為虛數(shù)單位．設(shè)z是一個滿足題意的復數(shù)，且首先，容易直接驗證．由，知．若，則．但，則，矛盾．若，則．但，則，矛盾．故只能有，于是，．注意到z滿足題意當且僅當滿足題意，故不妨設(shè)，下求滿足的正實數(shù)y的個數(shù)．由以上討論，知與在復平面中所對應(yīng)的點都在單位圓上，故y應(yīng)使兩者的輻角主值相等．當y從0連續(xù)遞增變動到時，的輻角主值從連續(xù)遞減變到的輻角主值從0連續(xù)遞增變到故的輻角主值從連續(xù)遞減變到另一方面，對于，考察在時的變化情況．當y從連續(xù)遞增變動到時，的輻角主值從0連續(xù)遞增變到；當y從連續(xù)遞增變動到時，的輻角主值從連續(xù)遞增變到．由以上分析，知對每個在上恰有一個解，在上無解．那么，注意到，且．故在上有16個解，故答案為32．故答案為：32.39．（2019·上?！じ呷傎悾┰O(shè)a是實數(shù)，關(guān)于z的方程(z2－2z+5)(z2+2az+1)=0有4個互不相等的根，它們在復平面上對應(yīng)的4個點共圓，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】{a|－1<a<1}∪{－3}【解析】【詳解】由z2－2z+5=0，得.因為z2+2az+1=0有兩個不同的根，所以△=4(a2－1)≠0，故a≠±1.若△=4(a2－1)<0，即－1<a<1時，.因為在復平面上對應(yīng)的點構(gòu)成等腰梯形或者矩形，此時四點共圓，所以，滿足條件.若△=4(a2－1)>0，即|a|>1時，是實根，在復平面上對應(yīng)的點在實軸上，僅當z1、z2對應(yīng)的點在以對應(yīng)的點為直徑的圓周上時，四點共圓，此圓方程為，整理得，即x2+2ax+1+y2=0，將點(1，±2)代入得a=－3.綜上所述，滿足條件的實數(shù)a的取值范圍是{a|－1<a<1}∪{－3}.故答案為：{a|－1<a<1}∪{－3}.二、解答題40．（2021·全國·高三競賽）設(shè)，復數(shù).求所有的，使得??依次成等比數(shù)列.【答案】答案見解析【解析】【詳解】因為，所以：，整理得：，所以（1）或，時，代入得；時，代入得；（2）若，則有：，故，故的值為或或或，對于的分別為、、、，故所有的為：.41．（2021·全國·高三競賽）設(shè)點Z是單位圓上的動點，復數(shù)W是復數(shù)Z的函數(shù)：，試求點W的軌跡．【答案】．【解析】【分析】【詳解】因為，所以設(shè)．令，則：．所以①，②．②÷①得③．由②得．所以，代入③得．所以軌跡方程為：．42．（2021·全國·高三競賽）已知，存在唯一的，使得，求．【答案】0【解析】【分析】【詳解】由，得，得．所以．由a的值唯一，故，即，所以，即，所以．43．（2021·全國·高三競賽）求證：存在非零復數(shù)c與實數(shù)d，使得對于一切模長為1的復數(shù)均有【答案】證明見解析【解析】【分析】【詳解】對于滿足的復數(shù)z．設(shè)．則不難計算得．設(shè)，則．由，得，即①①即在復平面中對應(yīng)的點的軌跡方程．可以看到，此軌跡是雙曲線，其焦點為.由雙曲線的定義，知取滿足題意．44．（2021·全國·高三競賽）若關(guān)于z的整系數(shù)方程的三個復數(shù)根在復平面內(nèi)恰好成為一個等腰直角三角形的三個頂點，求這個等腰直角三角形的面積的最小值.【答案】1【解析】【分析】【詳解】設(shè)該等腰直角三角形斜邊中點對應(yīng)的復數(shù)為，直角頂點對應(yīng)的復數(shù)為，則另外兩個頂點對應(yīng)的復數(shù)分別為和，依題意有：，化簡得，所以.進而，與聯(lián)立就有.再由知，于是，所以等腰直角三角形的面積最小為1.另一方面，的三個復數(shù)根恰是面積為1的等腰直角三角形的頂點.45．（2021·全國·高三競賽）已知實數(shù)．若方程的三個復數(shù)根在復平面上構(gòu)成邊長為的正三角形，求的值．【答案】，．【解析】【分析】【詳解】設(shè)方程三根為，正三角形中心對應(yīng)的復數(shù)為，則有．進一步可設(shè)．其中是三次單位根．由定理知：．因此方程是實系數(shù)三次方程，必有實根，不妨設(shè)．由且0不是方程的根知．進一步地，．由得．進一步地，．46．（2019·全國·高三競賽）為多項式的三個根，滿足，且復平面上的三點恰構(gòu)成一個直角三角形.求該直角三形的斜邊的長度.【答案】【解析】【詳解】由韋達定理得以兩為頂點的三角形的重心為原點.不妨設(shè)為兩條直角邊.由于頂點與重心的距離等于該頂點所對應(yīng)的中線長的，.類似地，..則=.47．（2019·全國·高三競賽）設(shè)、、是正實數(shù)，.證明：.【答案】見解析【解析】【詳解】注意到，.于是，可構(gòu)造復數(shù)，，.易得.故要證不等式的左邊.48．（2021·全國·高三競賽）設(shè)和為兩組復數(shù)，滿足：．求證：存在數(shù)組（其中），使得．【答案】證明見解析【解析】【分析】【詳解】用表示對所有數(shù)組的求和，下面用數(shù)學歸納證明如下的等式：①(1)當時，①式顯然成立；當時，，即①式成立．（2）假設(shè)時，①式成立，則時，我們有，即時①式成立．由（1）（2）可得：．回到原題，由，可得，即，所以存在數(shù)組（其中，使得，即．49．（2019·全國·高三競賽）設(shè)復數(shù)數(shù)列{zn}滿足：，且對任意正整數(shù)n，均有.證明：對任意正整數(shù)m，均有.【答案】證明見解析【解析】【分析】很明顯，復數(shù)列恒不為零，且.據(jù)此結(jié)合遞推關(guān)系分類討論m為偶數(shù)和m為奇數(shù)兩種情況即可證得題中的結(jié)論.【詳解】由于，且對任意正整數(shù)n，均有,