【數(shù)學(xué)】高考復(fù)習(xí)點(diǎn)撥二項(xiàng)分布與超幾何分布辨析

二項(xiàng)散布與超幾何散布辨析二項(xiàng)散布與超幾何散布是兩個(gè)特別重要的、應(yīng)用寬泛的概率模型，實(shí)質(zhì)中的很多問題都能夠利用這兩個(gè)概率模型來解決．在實(shí)質(zhì)應(yīng)用中，理解并劃分兩個(gè)概率模型是至關(guān)重要的．下邊舉例進(jìn)行對(duì)照辨析．例袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球．求：1）有放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Ｘ的散布列；2）不放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Ｙ的散布列．解：（1）有放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)Ｘ可能的取值為０，1，2，3．又因?yàn)槊看稳〉?黑球的概率均為，3次取球能夠當(dāng)作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則X~B3，．5C301031)C31112∴P(X0)464；P(X448；55125551252130P(X2)C321412；P(X3)C33141．5512555125所以，X的散布列為X0123P64481211251251251252．不放回抽樣時(shí)，取到的黑球數(shù)Ｙ可能的取值為０，1，2，且有：C20C837C21C827C22C811P(Y0)15；P(Y1)；P(Y2)C103．C103C1031515所以，Y的散布列為Y012771P151515辨析：經(jīng)過此例能夠看出：有放回抽樣時(shí)，每次抽取時(shí)的整體沒有改變，因此每次抽到某物的概率都是相同的，能夠當(dāng)作是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此種抽樣是二項(xiàng)散布模型．而不放回抽樣時(shí)，拿出一個(gè)則整體中就少一個(gè)，所以每次取到某物的概率是不一樣的，此種抽樣為超幾何散布模型．所以，二項(xiàng)散布模型和超幾何散布模型最主要的差別在于是有放回抽樣仍是不放回抽樣．超幾何散布和二項(xiàng)散布都是失散型散布，超幾何散布和二項(xiàng)散布的差別：超幾何散布需要知道整體的容量，而二項(xiàng)散布不需要；超幾何散布是不放回抽取，而二項(xiàng)散布是放回抽取（獨(dú)立重復(fù)）當(dāng)整體的容量特別大時(shí)，超幾何散布近似于二項(xiàng)散布........1二項(xiàng)散布與超幾何散布是兩個(gè)特別重要的、應(yīng)用寬泛的概率模型，實(shí)質(zhì)中的很多問題都能夠利用這兩個(gè)概率模型來解決。在實(shí)質(zhì)應(yīng)用中，理解并劃分兩個(gè)概率模型是至關(guān)重要的。下邊舉例進(jìn)行對(duì)照辨析。1.有放回抽樣:每次抽取時(shí)的整體沒有改變，因此每次抽到某物的概率都是相同的，能夠當(dāng)作是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，此種抽樣是二項(xiàng)散布模型。2.不放回抽樣:拿出一個(gè)則整體中就少一個(gè)，所以每次取到某物的概率是不一樣的，此種抽樣為超幾何散布模型。所以，二項(xiàng)散布模型和超幾何散布模型最主要的差別在于是有放回抽樣仍是不放回抽樣。所以，在解有關(guān)二項(xiàng)散布和超幾何散布問題時(shí)，認(rèn)真閱讀、辨析題目條件是特別重要的(特別注意：二項(xiàng)散布是在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的3個(gè)條件建即刻應(yīng)用的)。超幾何散布和二項(xiàng)散布的差別：（1）超幾何散布需要知道整體的容量，而二項(xiàng)散布不需要；（2）超幾何散布是“不放回”抽取，而二項(xiàng)散布是“有放回”抽?。í?dú)立重復(fù)）。練習(xí)題：1.袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球。求：1）有放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Ｘ的散布列；2）不放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Ｙ的散布列。2.(2008年四川延考)一條生產(chǎn)線上生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量狀況分為三類：A類、B類、C類．檢驗(yàn)員準(zhǔn)時(shí)從該生產(chǎn)線上任取2件產(chǎn)品進(jìn)行一次抽檢，若發(fā)現(xiàn)此中含有C類產(chǎn)品或2件都是B類產(chǎn)品，就需要調(diào)整設(shè)施，不然不需要調(diào)整．已知該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的每件產(chǎn)品為A類品，B類品和C類品的概率分別為0.9,0.05和0.05，且各件產(chǎn)品的質(zhì)量狀況互不影響．求在一次抽檢后，設(shè)施不需要調(diào)整的概率；(2)若查驗(yàn)員一天抽檢3次，以ξ表示一天中需要調(diào)整設(shè)施的次數(shù)，求ξ的散布列．2今日你低碳了嗎？近來，國(guó)內(nèi)網(wǎng)站流行一種名為“碳排放計(jì)算器”的軟件，人們能夠擾此計(jì)算出自己每日的碳排放量。比如：家居用電的碳排放量（千克）=耗電度數(shù)×.785，汽車的碳排放量（千克）=油耗公升數(shù)×0.785等。某班同學(xué)利用寒假在兩個(gè)小區(qū)逐戶進(jìn)行了一次生活習(xí)慣進(jìn)否切合低碳觀點(diǎn)的檢查。若生活習(xí)慣切合低碳觀點(diǎn)的稱為“低碳族”，不然稱為“非低碳族”。這二族人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比率P數(shù)據(jù)以下：A小區(qū)低碳族非低碳族B小區(qū)低碳族非低碳族比率P11比率P412255（I）假如甲、乙來自A小區(qū)，丙、丁來自B小區(qū)，求這4人中恰有2人是低碳族的概率；（II）A小區(qū)經(jīng)過鼎力宣傳，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的隊(duì)列。假如2周后隨機(jī)地從A小區(qū)中任選25個(gè)人，記表示25個(gè)人中低碳族人數(shù)，求E.在“自選模塊”考試中，某試場(chǎng)的每位同學(xué)都選了一道數(shù)學(xué)題，第一小組選《數(shù)學(xué)史與不等式選講》的有1人，選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的有5人，第二小組選《數(shù)學(xué)史與不等式選講》的有2人，選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的有4人，現(xiàn)從第一、第二兩小組各任選2人剖析得分狀況.（Ⅰ）求選出的4人均為選《矩陣變換和坐標(biāo)系與參數(shù)方程》的概率；（Ⅱ）設(shè)為選出的4個(gè)人中選《數(shù)學(xué)史與不等式選講》的人數(shù)，求的散布列和數(shù)學(xué)希望．3甲、乙兩人參加2010年廣州亞運(yùn)會(huì)青年志愿者的選拔．打算采納現(xiàn)場(chǎng)答題的方式來進(jìn)行，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)此中的6題，乙能答對(duì)此中的8題．規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，起碼答對(duì)2題才能當(dāng)選．(1)求甲答對(duì)試題數(shù)ξ的概率散布；(2)求甲、乙兩人起碼有一人當(dāng)選的概率．45正態(tài)散布和線性回歸高考要求認(rèn)識(shí)正態(tài)散布的意義及主要性質(zhì)2.認(rèn)識(shí)線性回歸的方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)概括1．正態(tài)散布密度函數(shù)：(x)212f(x)e2，（σ＞0，-∞＜x＜∞）2此中π是圓周率；e是自然對(duì)數(shù)的底；x是隨機(jī)變量的取值；μ為正態(tài)散布的均值；σ是正態(tài)散布的標(biāo)準(zhǔn)差.正態(tài)散布一般記為N(,2)2．正態(tài)散布N(,2)）是由均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ獨(dú)一決定的散布例1、下邊給出三個(gè)正態(tài)整體的函數(shù)表示式，請(qǐng)找出其均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ．1）2）

1x2f(x)e2，（-∞＜x＜+∞2(x1)21f(x)e8，（-∞＜x＜+∞22解：(1)0,1(2)1,23．正態(tài)曲線的性質(zhì)：正態(tài)散布由參數(shù)μ、σ獨(dú)一確立，假如隨機(jī)變量～N(μ，σ2)，根據(jù)定義有：μ=E，σ=D。正態(tài)曲線擁有以下性質(zhì)：1）曲線在x軸的上方，與x軸不訂交。2）曲線對(duì)于直線x=μ對(duì)稱。3）曲線在x=μ時(shí)位于最高點(diǎn)。4）當(dāng)x<μ時(shí)，曲線上漲；當(dāng)x>μ時(shí)，曲線降落。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無窮延長(zhǎng)時(shí)，以x軸為漸近線，向它無窮湊近。5）當(dāng)μ一準(zhǔn)時(shí)，曲線的形狀由σ確立。σ越大，曲線越“矮胖”，表示整體越分別；σ越小，曲線越“瘦高”，表示整體的散布越集中。五條性質(zhì)中前三條較易掌握，后兩條較難理解，所以應(yīng)運(yùn)用數(shù)形聯(lián)合的原則，采納對(duì)照教課64．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線:當(dāng)μ=0、σ=l時(shí)，正態(tài)整體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)整體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是1x2f(x)e2，（-∞＜x＜+∞）2其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)整體N（0，1）在正態(tài)整體的研究中據(jù)有重要的地位任何正態(tài)散布的概率問題均可轉(zhuǎn)變成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布的概率問題5.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)整體的概率問題:yx2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布曲線1e-fx=22x

x對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)整體N（0，1），(x0)是整體取值小于x0的概率，即(x0)P(xx0)，此中x00，圖中暗影部分的面積表示為概率P(xx0)只需有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布表即可查表解決.從圖中不難發(fā)現(xiàn):當(dāng)x00時(shí)，(x0)1(x0)；而當(dāng)x00時(shí)，Φ（0）=0.5例2設(shè)X~N(,2)，且整體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：1x22x1f(x)4，x∈R。e2（1）求μ，σ；（2）求P(|x1|2)的值。剖析：依據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的構(gòu)造特點(diǎn)，比較已知函數(shù)求出μ和σ。利用一般正態(tài)整體N(,2)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)整體N（0，1）概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)整體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)整體來解決。x22x11(x1)2解：（1）因?yàn)閒(x)14e2(2)2e2，22依據(jù)一般正態(tài)散布的函數(shù)表達(dá)形式，可知μ=1，2，故X～N（1，2）。（2）P(|x1|2)P(12x12)F(12)F(12)(21)(21)22。7評(píng)論：在解決數(shù)學(xué)識(shí)題的過程中，將未知的，不熟習(xí)的問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎?、熟?xí)的、已解決了的問題，是我們常用的手段與思慮問題的出發(fā)點(diǎn)。經(jīng)過本例我們還能夠看出一般正態(tài)散布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)散布間的內(nèi)在關(guān)系。9．有關(guān)關(guān)系:當(dāng)自變量一準(zhǔn)時(shí)，因變量的取值帶有必定的隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱為有關(guān)關(guān)系有關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)以下：相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系不一樣點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確立的關(guān)系；而有關(guān)關(guān)系是一種非確立關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量與因變量之間的關(guān)系，這類關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而有關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量的關(guān)系．10．回歸剖析一元線性回歸剖析：對(duì)擁有有關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)剖析的方法叫做回歸剖析平常地講，回歸剖析是找尋有關(guān)關(guān)系中非確立性關(guān)系的某種確立性對(duì)于線性回歸剖析，我們要注意以下幾個(gè)方面：（1）回歸剖析是對(duì)擁有有關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)剖析的方法。兩個(gè)變量擁有有關(guān)關(guān)系是回歸剖析的前提。2）散點(diǎn)圖是定義在擁有有關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有沒關(guān)系，關(guān)系的親密程度，而后再進(jìn)行有關(guān)回歸剖析。3）求回歸直線方程，第一應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大至呈線性時(shí)，求出的回歸直線方程才有實(shí)質(zhì)意義，不然，求出的回歸直線方程毫無心義。11．散點(diǎn)圖：表示擁有有關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)圖.散點(diǎn)圖形象地反應(yīng)了各對(duì)數(shù)據(jù)的親密程度大略地看，散點(diǎn)散布擁有必定的規(guī)律^bxa,，此中a、b是待定系數(shù)．12.回歸直線設(shè)所求的直線方程為ynn(xix)(yiy)xiyinxybi1i11nn2，(xix)22nxxxini1i1

n1xi,yi1n

nyii1aybx相應(yīng)的直線叫做回歸直線，對(duì)兩個(gè)變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計(jì)剖析叫做回歸剖析13.有關(guān)系數(shù)：有關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜提出的，對(duì)于變量y與x的一組觀察值，把nn(xix)(yiy)=xiyinxyri1i1nnnn(xix)2(yiy)2(xi2nx2)(yi2ny2)i1i1i1i1叫做變量y與x之間的樣真有關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱有關(guān)系數(shù)，用它來權(quán)衡兩個(gè)變量之間的線性有關(guān)程度.14.有關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：r≤1，且r越湊近1，有關(guān)程度越大；且r越湊近0，有關(guān)程度越小.一般的，當(dāng)r0.75時(shí)，就能夠判斷其擁有很強(qiáng)的有關(guān)性，這時(shí)求線性回歸方程才存心義。8例3假定對(duì)于某設(shè)施的使用年限x和所支出的維修花費(fèi)y（萬元），有以下的統(tǒng)計(jì)資料：x23456y2.23.85.56.57.0若由資料可知y對(duì)x呈線性有關(guān)關(guān)系。試求：1）線性回歸方程；2）預(yù)計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修花費(fèi)是多少？剖析：此題為了降低難度，告訴了y與x間呈線性有關(guān)關(guān)系，目的是訓(xùn)練公式的使用。解：（1）列表以下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0xi249162536x4，y5xi255，90，xiyi112.3i1i15于是b

xiyi5xy112.3545，i155x905421.232i1aybx51.2340.08?！嗑€性回歸方程為：2）當(dāng)x=10時(shí)，

^bxa1.23x0.08。y^1.23100.0812.38（萬元）y即預(yù)計(jì)使用10年時(shí)維修花費(fèi)是12.38萬元。評(píng)論：此題若沒有告訴我們y與x間是呈線性有關(guān)的，應(yīng)第一進(jìn)行有關(guān)性查驗(yàn)。假如自己兩個(gè)變量不具備線性有關(guān)關(guān)系，或許說它們之間有關(guān)關(guān)系不明顯時(shí)，即便求出回歸方程也是沒存心義的，并且其預(yù)計(jì)與展望也是不行信的。9二項(xiàng)散布與正態(tài)散布[最新考綱]1．認(rèn)識(shí)條件概率和兩個(gè)事件互相獨(dú)立的觀點(diǎn)．2．理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)散布．3．能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)質(zhì)問題.知識(shí)梳理1．條件概率及其性質(zhì)條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝PAB為在事(1)0≤P(B|A)≤1(2)若，C是兩個(gè)互PAB斥事件，則P(B∪C|A)件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率＝P(B|A)＋P(C|A)2.事件的互相獨(dú)立性設(shè)A，B為兩個(gè)事件，假如P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B互相獨(dú)立．若事件A，B互相獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)；事件A與B，A與B，A與B都相互獨(dú)立．3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)散布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若用Ai(i＝1,2，，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3An)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(An)．(2)二項(xiàng)散布在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，，n)，此時(shí)稱隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)散布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率．4．正態(tài)散布(1)正態(tài)散布的定義及表示假如對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X知足P(a<X≤b)＝bφμ，σ，則稱隨(x)dxa機(jī)變量X聽從正態(tài)散布，記為2X～N(μ，σ．)10函數(shù)φ，，x∈R的圖象(正態(tài)曲線)對(duì)于直線xμσ(x)＝＝μ對(duì)稱，在x＝μ處達(dá)到峰值1.σ2π(2)正態(tài)整體三個(gè)基本概率值P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6.P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4.P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.【例1】(1)從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不一樣的數(shù)，事件A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()．1121A.8B.4C.5D.2(2)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(暗影部分)內(nèi)”，則P(B|A)＝________.PAB規(guī)律方法(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，則P(B|A)＝PA.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包括的基本領(lǐng)件數(shù)n(A)，再求事件A與nAB事件B的交事件中包括的基本領(lǐng)件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝nA.【訓(xùn)練1】已知1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中拿出一球放入2號(hào)箱，而后從2號(hào)箱隨機(jī)拿出一球，則兩次都取到紅球的概率是()．1111A.27B.248C.279D.2411考點(diǎn)二互相獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率【例2】(2013·陜西卷改編)在一場(chǎng)娛樂晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須相互獨(dú)立地在選票上選3名歌手，此中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有獨(dú)愛，所以在1至5號(hào)中選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；(2)X表示3號(hào)歌手獲得觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求“X≥2”的事件概率．規(guī)律方法(1)解答此題重點(diǎn)是把所求事件包括的各樣狀況找出來，進(jìn)而把所求事件表示為幾個(gè)事件的和事件．(2)求互相獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有①利用互相獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計(jì)算較繁或難以下手時(shí)，可從其對(duì)峙事件下手計(jì)算．1【訓(xùn)練2】甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一地點(diǎn)投球，命中率分別為21與p，且乙投球2次均未命中的概率為16.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，起碼命中1次的概率．12規(guī)律方法(1)求解此題重點(diǎn)是明確正態(tài)曲線對(duì)于x＝2對(duì)稱，且區(qū)間[0,4]也對(duì)于x＝2對(duì)稱．(2)對(duì)于正態(tài)曲線在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1.【訓(xùn)練3】若在本例中，條件改為“已知隨機(jī)變量X～N(3,1)，且P(2≤X≤4)0.6826，”求P(X>4)的值．考點(diǎn)四獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)散布【例4】某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，