2023-2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及答案

PAGEPAGE12023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1．評閱試卷時，請依據(jù)本評分標(biāo)準(zhǔn)，填空題只設(shè)7分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，解答題中至少4分為一個檔次，不要增加其他中間檔次．一、填空〔共8小題，每題7分，共56分〕假設(shè)函數(shù)且，那么．，……．故．直線和圓，點在直線上，，為圓上兩點，在中，，過圓心，那么點橫坐標(biāo)范圍為．設(shè)，那么圓心到直線的距離，由直線與圓相交，得．解得．在坐標(biāo)平面上有兩個區(qū)域和，為，是隨變化的區(qū)域，它由不等式所確定，的取值范圍是，那么和的公共面積是函數(shù)．由題意知使不等式對一切正整數(shù)都成立的最小正整數(shù)的值為．設(shè)．顯然單調(diào)遞減，那么由的最大值，可得．橢圓上任意兩點，，假設(shè)，那么乘積的最小值為．設(shè)，．由，在橢圓上，有①②得．于是當(dāng)時，到達(dá)最小值．假設(shè)方程僅有一個實根，那么的取值范圍是．或當(dāng)且僅當(dāng) ① ② ③對③由求根公式得，④或．(ⅰ)當(dāng)時，由③得所以，同為負(fù)根．又由④知所以原方程有一個解．(ⅱ)當(dāng)時，原方程有一個解．(ⅲ)當(dāng)時，由③得所以，同為正根，且，不合題意，舍去．綜上可得或為所求．一個由假設(shè)干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個數(shù)之和，最后一行僅有一個數(shù)，第一行是前個正整數(shù)按從小到大排成的行，那么最后一行的數(shù)是〔可以用指數(shù)表示〕易知：(ⅰ)該數(shù)表共有100行；(ⅱ)每一行構(gòu)成一個等差數(shù)列，且公差依次為，，，…，(ⅲ)為所求．設(shè)第行的第一個數(shù)為，那么……故．某車站每天，都恰有一輛客車到站，但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的時間是相互獨立的，其規(guī)律為到站時刻概率一旅客到車站，那么它候車時間的數(shù)學(xué)期望為〔精確到分〕．27旅客候車的分布列為候車時間〔分〕1030507090概率候車時間的數(shù)學(xué)期望為二、解答題〔本小題總分值14分〕設(shè)直線〔其中，為整數(shù)〕與橢圓交于不同兩點，，與雙曲線交于不同兩點，，問是否存在直線，使得向量，假設(shè)存在，指出這樣的直線有多少條？假設(shè)不存在，請說明理由．由消去化簡整理得設(shè)，，那么①………………4分由消去化簡整理得設(shè)，，那么②………………8分因為，所以，此時．由得．所以或．由上式解得或．當(dāng)時，由①和②得．因是整數(shù)，所以的值為，，，，，，．當(dāng)，由①和②得．因是整數(shù)，所以，，．于是滿足條件的直線共有9條．………14分〔本小題15分〕，是實數(shù)，方程有兩個實根，，數(shù)列滿足，，(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式〔用，表示〕；(Ⅱ)假設(shè)，，求的前項和．方法一：(Ⅰ)由韋達(dá)定理知，又，所以，整理得令，那么．所以是公比為的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的首項為：．所以，即．所以．①當(dāng)時，，，變?yōu)椋淼?，，．所以，?shù)列成公差為的等差數(shù)列，其首項為．所以．于是數(shù)列的通項公式為；……………5分②當(dāng)時，，．整理得，．所以，數(shù)列成公比為的等比數(shù)列，其首項為．所以．于是數(shù)列的通項公式為．………………10分(Ⅱ)假設(shè)，，那么，此時．由第(Ⅰ)步的結(jié)果得，數(shù)列的通項公式為，所以，的前項和為以上兩式相減，整理得所以．……………15分方法二：(Ⅰ)由韋達(dá)定理知，又，所以，．特征方程的兩個根為，．①當(dāng)時，通項由，得解得．故．……………………5分②當(dāng)時，通項．由，得解得，．故．…………10分(Ⅱ)同方法一．〔本小題總分值15分〕求函數(shù)的最大和最小值．函數(shù)的定義域為.因為當(dāng)時等號成立．故的最小值為．……………5分又由柯西不等式得所以．………………10分由柯西不等式等號成立的條件，得，解得．故當(dāng)時等號成立．因此的最大值為．…………………15分2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試一、填空題〔每題8分，共64分，〕函數(shù)的值域是.函數(shù)的最小值為，那么實數(shù)的取值范圍是.雙曲線的右半支與直線圍成的區(qū)域內(nèi)部〔不含邊界〕整點〔縱橫坐標(biāo)均為整數(shù)的點〕的個數(shù)是.是公差不為的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，其中，且存在常數(shù)使得對每一個正整數(shù)都有，那么.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為8，那么它在這個區(qū)間上的最小值是.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個使兩顆骰子點數(shù)和大于6者為勝，否那么輪由另一人投擲.先投擲人的獲勝概率是.正三棱柱的9條棱長都相等，是的中點，二面角,那么.方程滿足的正整數(shù)解〔x,y,z〕的個數(shù)是.二、解答題〔此題總分值56分〕9.〔16分〕函數(shù)，當(dāng)時，，試求的最大值.10.〔20分〕拋物線上的兩個動點，其中且.線段的垂直平分線與軸交于點，求面積的最大值.11.〔20分〕證明：方程恰有一個實數(shù)根，且存在唯一的嚴(yán)格遞增正整數(shù)數(shù)列，使得.解答1.提示：易知的定義域是，且在上是增函數(shù)，從而可知的值域為.2.提示：令，那么原函數(shù)化為，即.由，，及知即.〔1〕當(dāng)時〔1〕總成立；對；對.從而可知.3.9800提示：由對稱性知，只要先考慮軸上方的情況，設(shè)與雙曲線右半支于,交直線于，那么線段內(nèi)部的整點的個數(shù)為，從而在軸上方區(qū)域內(nèi)部整點的個數(shù)為.又軸上有98個整點，所以所求整點的個數(shù)為.4.提示：設(shè)的公差為的公比為，那么〔1〕，〔2〕〔1〕代入〔2〕得，求得.從而有對一切正整數(shù)都成立，即對一切正整數(shù)都成立.從而，求得，.5.提示：令那么原函數(shù)化為,在上是遞增的.當(dāng)時，,，所以；當(dāng)時，，，所以.綜上在上的最小值為.6.提示：同時投擲兩顆骰子點數(shù)和大于6的概率為，從而先投擲人的獲勝概率為.7.提示：解法一：如圖，以所在直線為軸，線段中點為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正三棱柱的棱長為2，那么，從而，.設(shè)分別與平面、平面垂直的向量是、，那么由此可設(shè)，所以，即.所以.解法二：如圖，.設(shè)與交于點那么.從而平面.過在平面上作,垂足為.連結(jié),那么為二面角的平面角.設(shè),那么易求得.在直角中，,即.又..8.336675提示：首先易知的正整數(shù)解的個數(shù)為.把滿足的正整數(shù)解分為三類：〔1〕均相等的正整數(shù)解的個數(shù)顯然為1；〔2〕中有且僅有2個相等的正整數(shù)解的個數(shù)，易知為1003；(3)設(shè)兩兩均不相等的正整數(shù)解為.易知，所以，即.從而滿足的正整數(shù)解的個數(shù)為.9.解法一：由得.所以，所以.又易知當(dāng)〔為常數(shù)〕滿足題設(shè)條件，所以最大值為.解法二：.設(shè)，那么當(dāng)時，.設(shè)，那么..容易知道當(dāng)時，.從而當(dāng)時，，即，從而,，由知.又易知當(dāng)〔為常數(shù)〕滿足題設(shè)條件，所以最大值為.10.解法一：設(shè)線段的中點為，那么，.線段的垂直平分線的方程是.〔1〕易知是〔1〕的一個解，所以線段的垂直平分線與軸的交點為定點，且點坐標(biāo)為.由〔1〕知直線的方程為，即.〔2〕〔2〕代入得，即.〔3〕依題意，是方程〔3〕的兩個實根，且，所以,..定點到線段的距離..當(dāng)且僅當(dāng)，即,或時等號成立.所以，面積的最大值為.解法二：同解法一，線段的垂直平分線與軸的交點為定點，且點坐標(biāo)為.設(shè)，那么的絕對值,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)且，即,或時等號成立.所以，面積的最大值是.11.令，那么，所以是嚴(yán)格遞增的.又，故有唯一實數(shù)根.所以，.故數(shù)列是滿足題設(shè)要求的數(shù)列.假設(shè)存在兩個不同的正整數(shù)數(shù)列和滿足，去掉上面等式兩邊相同的項，有，這里，所有的與都是不同的.不妨設(shè)，那么，，矛盾.故滿足題設(shè)的數(shù)列是唯一的.2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試試題〔A卷〕考試時間：2011年10月16日8：00—9：20一、填空題：本大題共8小題，每題8分，共64分.把答案填在橫線上．1．設(shè)集合，假設(shè)中所有三元子集的三個元素之和組成的集合為，那么集合．2．函數(shù)的值域為．3．設(shè)為正實數(shù)，，，那么．4．如果，，那么的取值范圍是．5．現(xiàn)安排7名同學(xué)去參加5個運動工程，要求甲、乙兩同學(xué)不能參加同一個工程，每個工程都有人參加，每人只參加一個工程，那么滿足上述要求的不同安排方案數(shù)為．〔用數(shù)字作答〕6．在四面體中，，，，那么四面體的外接球的半徑為．7．直線與拋物線交于兩點，為拋物線上的一點，，那么點的坐標(biāo)為．8．C，那么數(shù)列中整數(shù)項的個數(shù)為．二、解答題：本大題共3小題，共56分．解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟．9．〔本小題總分值16分〕設(shè)函數(shù)，實數(shù)滿足，，求的值．10．〔本小題總分值20分〕數(shù)列滿足：R且，N．〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕假設(shè)，試比擬與的大?。畒xOPAB11．〔本小題總分值20分〕作斜率為的直線與橢圓：交于兩點〔如下圖〕，且在直線的左上方．yxOPAB〔1〕證明：△的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上；〔2〕假設(shè)，求△的面積．2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試參考答案及詳細(xì)評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：本大題共８小題，每題８分，共６４分．把答案填在題中的橫線上．設(shè)是函數(shù)〔〕的圖像上任意一點，過點分別向直線和軸作垂線，垂足分別為，那么的值是．解:方法1:設(shè)那么直線的方程為即由又所以故設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且滿足，那么的值是.解:由題設(shè)及余弦定理得,即故.３．設(shè)，那么的最大值是.解:不妨設(shè)那么因為所以當(dāng)且僅當(dāng)時上式等號同時成立.故4.拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為ｌ，是拋物線上的兩個動點，且滿足．設(shè)線段ＡＢ的中點在ｌ上的投影為，那么的最大值是.解:由拋物線的定義及梯形的中位線定理得在中,由余弦定理得當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故的最大值為1.5．設(shè)同底的兩個正三棱錐和內(nèi)接于同一個球．假設(shè)正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，那么正三棱錐的側(cè)面與底面所成角的正切值是．解:如圖.連結(jié),那么平面,垂足為正的中心,且過球心,連結(jié)并延長交于點,那么為的中點,且,易知分別為正三棱錐的側(cè)面與底面所成二角的平面角,那么,從而,因為所以即所以,故6.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．假設(shè)對任意的，不等式恒成立，那么實數(shù)的取值范圍是．解:由題設(shè)知,那么因此,原不等式等價于因為在上是增函數(shù),所以即又所以當(dāng)時,取得最大值因此,解得故的取值范圍是７．滿足的所有正整數(shù)的和是．解:由正弦函數(shù)的凸性,有當(dāng)時,由此得所以故滿足的正整數(shù)的所有值分別為它們的和為.８．某情報站有四種互不相同的密碼，每周使用其中的一種密碼，且每周都是從上周未使用的三種密碼中等可能地隨機選用一種．設(shè)第１周使用Ａ種密碼，那么第７周也使用Ａ種密碼的概率是．〔用最簡分?jǐn)?shù)表示〕解:用表示第周用種密碼的概率,那么第周末用種密碼的概率為.于是,有,即由知，是首項為，公比為的等