桿系結構的有限元原理

第4章桿系結構的有限元分析原理

桿梁單元概述討論桿梁單元和由它們組成的平面和空間桿梁結構系統(tǒng).從構造上來說其長度遠大于其截面尺寸的一維構件承受軸力或扭矩的桿件成為桿桿梁問題都有精確解承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁平面桁架平面剛架連續(xù)梁空間剛架空間桁架等承受軸力或扭矩的桿件稱為桿將承受橫向力和彎矩的桿件稱為梁變截面桿和彎曲桿件本章主要內(nèi)容4.1有限元分析的完整過程4.2有限元分析的基本步驟及表達式4.3桿單元及其坐標變換4.4梁單元及其坐標變換4.1有限元分析的完整過程E1=E2=2E7PaA1=A2=2cm2l1=l2=10cmP3為10N作用下二桿結構的變形。問題的解題思路：1）用標準化的分段小單元來逼近原結構2）尋找能夠滿足位移邊界條件的許可位移場3）基于位移場的最小勢能原理來求解基本變量為：節(jié)點位移內(nèi)部各點位移應變應力(1)(3)(2)完整的求解過程1）離散化該構件由兩根桿件做成，因此可以自然離散成2個桿單元。假定以這類單元位移的特征為兩個端點位移，就這兩個離散單元給出節(jié)點編號和單元編號。單元1：i=1，j=2單元2：i=2，j=32）單元分析單元位移模式：u(x)=a0+a1x單元節(jié)點條件：u(0)=u1，u(l)=u2

從而得回代得寫成矩陣形式為其中Ni，Nj是形函數(shù)。形函數(shù)矩陣根據(jù)幾何方程可得應變的表達寫成矩陣形式為簡記為幾何函數(shù)矩陣或者是應變轉換矩陣根據(jù)物理方程可得應力的表達寫成矩陣形式為簡記為應力矩陣或者是應力轉換矩陣節(jié)點位移列陣勢能的表達寫成矩陣形式為剛度矩陣節(jié)點力列陣3）離散單元的裝配

在得到各個單元的勢能表達式后，需要進行離散單元的裝配，以求出整個系統(tǒng)的總勢能，對于該系統(tǒng)，總勢能包括兩個單元部分4）邊界條件的處理

處理邊界條件是獲取可能位移場，將左端的約束條件，即u1=0代入上式可以得到簡化的勢能表達式5）建立剛度方程

由于上式是基于許可位移場的表達的系統(tǒng)勢能，這是由全部節(jié)點位移分段所插值出的位移場為全場許位移場，且基本未知量為節(jié)點位移，根據(jù)最小勢能原理（即針對未知位移求一階導數(shù)）有6）求解節(jié)點位移

將結構參數(shù)和外載荷代入上式有求解得（單位m）7）計算單元應變8）計算單元應力9）計算支反力

對于單元勢能的表達，對其取極值有具體地對于單元1，有其中R1是節(jié)點1的支反力，P2是單元1的節(jié)點2所受的力，即單元2對該節(jié)點的作用力，將前面求得的節(jié)點位移代入上式可得支反力大小。以上是一個簡單結構有限元方法求解得完整過程，對于復雜結構，其求解過程完全相同，由于每一個步驟都具備標準化和規(guī)范性的特征，所以可以在計算機上編程而自動實現(xiàn)。討論1：對于一個單元的勢能取極值，所得到的方程為節(jié)點的位移和節(jié)點力之間的關系，也稱為單元的平衡關系，由此可以求出每一個單元所受的節(jié)點力。討論2：由前稻面的步臟驟，我喚們也可船以直接期將各個劣單元的案剛度矩疲陣按照峽節(jié)點編號巾的對應類位置來鄙進行裝今配，即場在未處液理邊界厚條件之釣前，先情形成整體剛度體矩陣。其物理華意義是憶，表示遭在未處袋理邊界盯條件前脹的基于鏈節(jié)點描餐述的總包體平衡關系。積在對該輔方程進移行位移紹邊界條紹件的處失理后就宗可以求碑解，這板樣與先處理坦邊界腿條件禽再求銀系統(tǒng)王勢能拿的最弊小值那所獲刪得的念方程燙完全翠相同胞。4.蹄2有限傷元分偵析的趁基本端步驟耕及表妖達式1、物體犧幾何區(qū)經(jīng)域的離摘散化2、單跳元的鞠研究逐（所科有力驅學信明息都仔用節(jié)慚點位耐移）僻來表殲達3、裝寒配集肅成4、邊雞界條佩件的遭處理叔并求饒解節(jié)雞點位廳移5、支反亞力的求叉取以及王其它力鐵學量（怎應力、網(wǎng)應變及拌位移三嬸大物理懸量）的選計算4.腐2有限啞元分秘析的墳基本軟步驟事及表浸達式4.3桿單更元及插其坐賤標變困換局部閉坐標區(qū)系中蓋的單詠元描滋述5.圖25痰m3.狂75咐m(xù)24林mF6m3mF24mE=3E臂7paρ=0追.2紹83笛6k值g/鄭m3F=10粥0N變截妻面桿哲單元歷的推款導單元的啞位移模鑒式形狀函夕數(shù)矩陣單元的栽幾何矩表陣變截磚面桿陳單元扯的推扛導單元剛沫度矩陣今為4.防3桿單統(tǒng)元及呼其坐斃標變總換局部查坐標僻系中換的單駕元描盤述E=2屯E1抹0p族aF=60僚kNA=2話50m啦m215膝0m漆m150晝mmF1.娛2m滑m4.3桿單浸元及宵其坐微標變凍換-局部只坐標由于憤桿單蹦元只船有兩剝個節(jié)爽點位鋤移，暈故可援以設刻桿單沿元的掀位移神模式佩為之膝包含待兩個公待定遣常數(shù)炸的形答式u(x)=a1+a2x根據(jù)有芒限元法崗的基本熱思路，葵將彈性腔體離散牽成有限礦個單元負體的組跌合，以渾結點的穩(wěn)位移作襯為未知質量。彈響性體內(nèi)攻實際的包位移分逝布可以從用單元公內(nèi)的位頂移分布通函數(shù)來霞分塊近葛似地表糖示。在婆單元內(nèi)榨的位移睛變化可獸以假定節(jié)一個函柳數(shù)來表四示，這劃個函數(shù)饅稱為單元喇位移系函數(shù)、或單元域位移局模式?；卮米懗删亟囆问教蠟槠渲蠳i，Nj是形函鼓數(shù)。根據(jù)住位移粥條件敏有u(0)怪=u0，u(l)=ul，從貌而得根據(jù)幾為何方程呆得根據(jù)物句理方程嘗得從而廳，根盼據(jù)單得元分筑析結婚果，紙進行俯整體房誠分析牽，求呢解整民體方鑰程組年，進坊行結付果分梅析桿單兵元的臟坐標尼變換規(guī)定：桿端位摘移和桿桃端力取改在截面睜形心上殃，符號下以與單榮元系坐龍標正向枕相同為慎正，相抬反為負扎。下面重討論整售體坐標暖系下與程局部坐涉標系下蔬的轉換服關系式錄。整體幸坐標系則單元桿皂端位移馳和桿端怠力仍定粒義在截汁面形心際上，符挪號以與添坐標正跳向同向繪為正反在之為負嫁。局部者坐標族系辣整源體坐罩標系桿單射元的儀坐標慕變換-平面昂問題其中刻是一軍個單栽位正首交矩界陣，昂單位鮮正交胡矩陣貨的逆法即等長于其巡壽轉置閱。從上捷圖可蔽以得羽出，麗整體賢坐標茶系逆畢針旋毒轉α角后洋與單浩元系揪相重隊合。寫成矩胖陣形式紗為由于蔽單元鈔的勢諸能是忠一個孤標量(能量)，不河會因勤坐標找系的冠不同貪而改鏈變，克因此稈，可兄將節(jié)搏點位寨移的茄坐標輔變換帶關系就代入狹原來即基于長局部慘坐標指系的藝勢能駐表達匠式中愧，整體坐版標系下盈的剛度旺方程根據(jù)得其中單剛君的性質煎：是對稱寧矩陣。是奇異驕矩陣。坐標測變換勤并不帶改變捧矩陣忍的奇仇異性縱質。1結構決的離爛散化護與編遷號2各個單掛元的矩喉陣描述結構殘包括倆有斜仗桿，功所以第必須去在總算體坐杏標下寧對節(jié)針點位泛移進啦行表萬達，但所推誤導的竹單元診剛度鼠矩陣代也要絞進行延變換3建立歸整體軋剛度膨方程1.將所得隱到的各碗個單元份剛度矩翻陣按節(jié)利點編號顆進行組雪裝，可才以形成羽整體剛姿度矩陣;2歷.同時下將所訓有節(jié)稱點載撫荷也境進行鞠組裝辜。4邊界砌條件文的處直理及元剛度舍方程心求解5各單元萍應力的志計算6支反力叮的計算將節(jié)點脈位移的量結果代釀入整體林剛度方蠻程中基于MAT魚LAB平臺敞求解遭該（1）結榆構的離未散化與白編號（2）計值算各晴單元牽的剛借度矩謀陣1.建立一擺個工作產(chǎn)目錄，肯將所編石制的用企于平面安桁架單餓元分析們的四個MA航TL積AB函數(shù)（1.單元剛匙度；2.總剛矩伐陣的組高裝；3.單元壘應力乳的求腫解；4.支反力術的求解毀）2.在MAT燥LAB環(huán)境芽中，慎輸入坦彈性歪模量E、橫截亭面積A，各牙點坐朽標、寶角度3.調(diào)用歇四次銹單元臥剛度現(xiàn)矩陣疲計算漫函數(shù)勇，得腦到各戀個單乘元的托剛度壺矩陣單元的竭剛度矩疏陣的計志算fu患nc多ti顯on漠k紡=B四ar誘2D成2N拴od泊e_噸St光if替fn澆es狗s(姐E,禍A,株x1炎,y碰1,江x2昏,y賤2,乏al鴨ph竊a)%該函數(shù)竄計算單誼元的剛扮度矩陣%輸入彈挽性模量E，橫政截面蘇積A%輸入碌第一戰(zhàn)個節(jié)聲點坐撐標（x1,粗y1），疏第二耳個節(jié)椒點坐閑標（x2妄,y至2），角研度alp騙ha（單推位是慢度）%輸出某單元球剛度案矩陣k(4漲X4)。%-矩--遠--喂--堆--信--皺--墻--湖--施--叮--千--岸--應--勉--粘--振--娃--幸--自--違--琴--蜓--馳--葉--L=s銜qrt錘((x螞2-x替1)*際(x2紡-x1蜂)+(芬y2-俱y1)箏*(y慚2-y陰1))浙;x=么al轉ph體a*圍pi案/1恭80仗;C=偷co拔s(吊x)偷;S=蜓si紙n(賄x)嬌;k=E恒*A/籮L*[亮C*C勤C*村S-拋C*C代-C尺*S;勻C*沿SS厘*S亦-C*道S-汁S*S情;-C*斥C-亮C*S促C*佳CC罷*S;逐-C伍*S娃-S*冰SC喂*S香S*S桶];總剛斷矩陣春的組躺裝fun應cti市on禮z=賴Ba關r2D駐2No毯de_橫Ass贊emb另ly(債KK,惑k,i也,j)%該函數(shù)疑進行單炭元剛度螺矩陣的籮組裝%輸入嶄單元問剛度番矩陣k，單爆元的么節(jié)點拼編號i、j%輸出整貌體剛度毯矩陣KK%-掠--欲--蟲--耀--丑--假--需--長--活--底--棒--感--測--甘--上--鳳--差--鋪--辱--勝--箏--抄--蠻--糊--工--釣--疏--征-DO崖F(跨1)恰=2挖*i墳-1京;DO精F(豎2)含=2豈*i鼠;DOF惡(3)仗=2*沈j-1祖;DOF龜(4)訴=2*英j;for亦n1映=1:缺4for謹n2嬌=1:笑4KK曾(D怒OF腹(n激1)奸,D集OF例(n傷2)耳)=咳K闊K(厚DO京F(斷n1攝),情DO坑F(供n2痛))販+k懸(n蒙1,售n2呆);enden娘dz=刺KK飽;（3）買建立考整體泥剛度鴉方程（4）邊抖界條件根的處理糠及剛度好方程求袍解（高甲斯消去惱法）（5）支棒反力廣的計瘦算（6）各單窗元的應侮力計算基于MAT凡LAB平臺青求解蕉該基于AN尼SY且S求解該1.前處理2.求解股器的敬設定3.后處俊理對于盒單元2：取i=1，j=2，則，故對于因單元1：取i=3，j=1，則c=1，s=0，故對于單康元3：取i=2，j=3，則c=0，s=1，故整體們編號登，對摟號入顏座得牙總剛桿單補元的斜坐標其變換-空間整體迎和局嗚部的抱坐標紡轉換棟關系鍋與平幕面問膝題一霜致。4.4梁單斗元及坊其坐棟標變畜換由于漿單元賠有四纏個位魔移分島量，恰可設掀梁單飄元的孟位移壯模式v(x)為包含4個待定庭常數(shù)的址三次多批項式：根據(jù)邊箱界條件嫌可以確籮定待定練系數(shù)，筋將其進盜一步回混代，可繳以得到訂用節(jié)點鹽位移表饑示的梁肅單元位土移。式中根據(jù)丹梁的語平面害假定杏可知就梁單摟元的任軸向案應變烘為：這里夸利用泉平面帖假設億（變形賄后橫陸截面椒仍保眨持平倚面，易與縱紗線正顧交）如圖：從而可陸以由單錘向虎克迷定律得言出單元施的軸向辜應力：由虛此功原保理可灑以推拖得組裝總假剛仍用肯后處理助法，“飽對號入論座，子片塊搬家瘋”的方摧法。如捐：對于桶單元1，我們重取i=1，j=2。故對于單悄元2，取i=2，j=3。故由于I1=2I2=2I，按照刻“整體劣編號，對號蜘入座蝴”的著原則模，得撒總剛壇為對于此速，列出贊總剛度鼻方程為考慮到兆邊界條耀件，修配正后的男剛度方偶程為解之得4.5平面瘡剛架信的有請限元負法小變形喊情況下渴，可以霞把平面汽剛架單鞏元看成油是發(fā)生鳳軸向位移的脖桿單卷元和擊發(fā)生狼撓度撫和轉嬌角的保梁單血元的卡組合總。4.5平面但剛架辭的有丑限元揉法單元位它移模式（