第二章函數(shù)復(fù)習(xí)課導(dǎo)學(xué)案高中數(shù)學(xué)新北師大版必修第一冊

第二章函數(shù)復(fù)習(xí)課(1分鐘)1.構(gòu)建知識體系，明確知識與方法的聯(lián)系，將知識轉(zhuǎn)化為技能，提高綜合應(yīng)用能力.2.掌握本章主要題型及解法，熟悉各類題型的解題步驟和思想方法.3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng).(2分鐘)教師引導(dǎo)學(xué)生先自行構(gòu)建思維導(dǎo)圖，可選幾個(gè)學(xué)生進(jìn)行展示，充分肯定學(xué)生的優(yōu)點(diǎn)，在主體結(jié)構(gòu)基本合理的前提下，允許有漏洞，鼓勵(lì)形式多樣化，然后公布下面的思維導(dǎo)圖：(2分鐘)1.同一函數(shù)的判定方法(1)定義域相同；(2)對應(yīng)關(guān)系相同(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備).2.函數(shù)解析式的求法(1)定義法；(2)換元法；(3)待定系數(shù)法；(4)解方程(組)法；(5)賦值法.3.函數(shù)的定義域的求法(1)已給出函數(shù)解析式：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合.(2)實(shí)際問題：求函數(shù)的定義域既要考慮解析式有意義，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義.(3)復(fù)合函數(shù)問題①若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由a≤g(x)≤b解出；②若函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閇a，b]，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)楹瘮?shù)g(x)在[a，b]上的值域.注意：①函數(shù)f(x)中的x與函數(shù)f[g(x)]中的g(x)地位相同.②定義域所指永遠(yuǎn)是x的范圍.4.分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而非幾個(gè)函數(shù)，其定義域是各子區(qū)間的并集，值域是各段上值域的并集.解決分段函數(shù)問題，要根據(jù)不同段分類求解.5.函數(shù)值域的求法(1)配方法(二次或四次)；(2)判別式法；(3)換元法；(4)函數(shù)的單調(diào)性法.6.判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)設(shè)x1，x2是所研究區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)自變量的值，且x1<x2；(2)判定f(x1)與f(x2)的大?。鹤鞑畋容^或作商比較；(3)根據(jù)單調(diào)性定義下結(jié)論.7.函數(shù)奇偶性的判定方法首先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再看函數(shù)f(-x)與f(x)之間的關(guān)系：①若函數(shù)f(-x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)；若函數(shù)f(-x)＝-f(x)，則f(x)為奇函數(shù)；②若f(-x)-f(x)＝0，則f(x)為偶函數(shù)；若f(x)＋f(-x)＝0，則f(x)為奇函數(shù)；③若fxf-x＝1(f(-x)≠0)，則f(x)為偶函數(shù)；若fxf-x＝-1(f(-x)≠0)，則(1分鐘)題型一：求函數(shù)的定義域---關(guān)鍵點(diǎn)：抽象函數(shù)定義域的求法題型二：求函數(shù)的解析式---關(guān)鍵點(diǎn)：待定系數(shù)法、換元法、配湊法、解函數(shù)方程組法等題型三：函數(shù)圖象的應(yīng)用---關(guān)鍵點(diǎn)：作出函數(shù)圖象，結(jié)合單調(diào)性、奇偶性、對稱性等題型四：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用---關(guān)鍵點(diǎn)：借助圖象分析函數(shù)的單調(diào)性題型五：解函數(shù)不等式---關(guān)鍵點(diǎn)：三件事：定義域、單調(diào)性、化為一般形式f()＜f()或f()＞f()題型六：分段函數(shù)---關(guān)鍵點(diǎn)：分類討論題型七：含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題---關(guān)鍵點(diǎn)：分類討論題型八：冪函數(shù)及其應(yīng)用---關(guān)鍵點(diǎn)：冪函數(shù)的概念、性質(zhì)題型九：抽象函數(shù)問題---關(guān)鍵點(diǎn)：賦值法、轉(zhuǎn)化法、綜合函數(shù)的性質(zhì)……(自主歸納)(根據(jù)學(xué)情，選講部分探究，約31分鐘；建議兩課時(shí))探究1：求函數(shù)的定義域【例1】(1)求函數(shù)f(x)=12-|x|+(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇-1，1)，求y=f(2x-3)的定義域.【方法指導(dǎo)】(1)函數(shù)有意義，須使分式的分母不為0，開偶數(shù)次方的被開方數(shù)大于或等于0；(2)對于復(fù)合函數(shù)的定義域可以采用代換法求解.【解析】(1)要使函數(shù)有意義，須滿足2-|x|≠0解得x≥1，且x≠2，∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥1，且x≠2}.(2)由題意知2x-3≥-1，2x-3<1，解得1≤x<2【方法小結(jié)】若已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，其復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出.探究2：求函數(shù)的解析式【例2】(1)已知f(x+1)=x+2x，求f(x).(2)已知2f(x)+f1x=3x，x≠0，求f(x【方法指導(dǎo)】采用整體思想，可把“x+1”或“1x”看作一個(gè)整體，然后用另一參數(shù)替代【解析】(1)令t=x+1，則x=(t-1)2(t≥1)，代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1.∴f(x)=x2-1(x≥1).(2)2f(x)+f1x=3x，用1x代換①式中的x，得2f1x+f(x)=3由13(①×2-②)得f(x)=2x-1x，x【方法小結(jié)】換元法、消元法以及待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式的常用方法，利用換元法求函數(shù)解析式時(shí)應(yīng)注意自變量取值范圍的變化.探究3：函數(shù)圖象的應(yīng)用【例3】設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3)，(1)證明f(x)是偶函數(shù)；(2)畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；(3)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，并說明在各個(gè)單調(diào)區(qū)間上f(x)的單調(diào)性.(4)求函數(shù)的值域.【方法指導(dǎo)】根據(jù)偶函數(shù)的定義證明；根據(jù)對稱性畫圖；看圖判斷單調(diào)性，寫單調(diào)區(qū)間、值域.【解析】(1)∵f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x2-2|x|-1=f(x)，即f(-x)=f(x)，∴f(x)是偶函數(shù).(2)當(dāng)0≤x≤3時(shí)，f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2，當(dāng)-3≤x<0時(shí)，f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2，即f(x)=(x-1根據(jù)二次函數(shù)的作圖方法，可得函數(shù)圖象如圖所示.(3)由圖可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為[-3，-1]，[-1，0]，[0，1]，[1，3].f(x)在[-3，-1]，[0，1]上單調(diào)遞減，在[-1，0]，[1，3]上單調(diào)遞增.(4)由圖可知，當(dāng)x=-1或x=1時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為-2，當(dāng)x=-3或x=3時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為2，故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇-2，2].【方法小結(jié)】圖示法是函數(shù)的重要表示方法，函數(shù)的圖象具有明顯的直觀性，通過函數(shù)的圖象能夠掌握函數(shù)重要的性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等.反之，掌握好函數(shù)的性質(zhì)，有助于正確地畫出圖象.探究4：函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用【例4】已知f(x)=x2+2ax+2，x∈[-5，5].(1)當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【方法指導(dǎo)】(1)將a=-1代入求最值即可；(2)利用二次函數(shù)的對稱軸及單調(diào)性求解.【解析】(1)當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)=x2-2x+2，x∈[-5，5]，其圖象的對稱軸為直線x=1，所以f(x)max=f(-5)=(-5)2-2×(-5)+2=37，f(x)min=f(1)=12-2×1+2=1.(2)f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2，其圖象的對稱軸為直線x=-a，要使f(x)在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)，則需要-a≤-5或-a≥5，即a≥5或a≤-5.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞，-5]∪[5，+∞).【方法小結(jié)】要學(xué)會借助圖象分析函數(shù)的單調(diào)性，理清對稱軸和定義域?qū)握{(diào)性的影響.探究5：解函數(shù)不等式【例5】函數(shù)y=f(x)(x≠0)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)是增函數(shù)，若f(1)=0，求不等式fx-12<0【方法指導(dǎo)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的逆向應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是去掉“f”符號，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式問題.【解析】∵f(x)是奇函數(shù)，f(1)=0，且f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴f(-1)=-f(1)=0，且f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞增.∴不等式fx-12<0可化為0<x-12<1或x-解得12<x<32或x<-∴原不等式的解集是x1【方法小結(jié)】解答本題易出現(xiàn)如下思維障礙：(1)無從下手，不知如何去掉“f”.解決的辦法是利用函數(shù)的單調(diào)性.(2)無法得到另一個(gè)不等式.解決的辦法是利用關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)區(qū)間上奇函數(shù)單調(diào)性相同，偶函數(shù)單調(diào)性相反.(3)錯(cuò)誤地得到不等式x-12<1.解決的辦法是注意函數(shù)定義域?qū)的限制探究6：分段函數(shù)【例6】已知函數(shù)f(x)=x2+3x，x≥0，x2-2x，x<0.若f(a)-fA.[0，8]B.[8，+∞)C.(-∞，8] D.[-8，8]【方法指導(dǎo)】在選擇函數(shù)解析式時(shí)，要先判斷自變量的取值范圍，不確定時(shí)要進(jìn)行分類討論.【解析】因?yàn)閒(1)=4，所以不等式為f(a)-f(-a)≤8.當(dāng)a>0時(shí)，不等式為(a2+3a)-[(-a)2-2(-a)]≤8，解得a≤8，所以0<a≤8；當(dāng)a<0時(shí)，不等式為(a2-2a)-[(-a)2+3(-a)]≤8，解得a≤8，所以a<0；當(dāng)a=0時(shí)，f(a)-f(-a)=0≤8顯然成立.綜上所述，a的取值范圍是(-∞，8].【答案】C【方法小結(jié)】本題中由于參數(shù)a的取值不確定，因此需要結(jié)合分段函數(shù)解析式進(jìn)行分類討論，注意解不等式得到的結(jié)果要與前提條件取交集.探究7：含參數(shù)的二次函數(shù)的最值問題【例7】已知函數(shù)f(x)=-x2+6x-5，x∈[t，t+1]，求f(x)的最大值.【方法指導(dǎo)】這是“軸定區(qū)間動(dòng)”的問題，根據(jù)對稱軸的位置討論.【解析】f(x)=-(x-3)2+4，其圖象的對稱軸為直線x=3.當(dāng)t+1≤3，即t≤2時(shí)，f(x)在[t，t+1]上單調(diào)遞增，∴f(x)max=f(t+1)=-(t-2)2+4.當(dāng)t<3<t+1，即2<t<3時(shí)，f(x)max=f(3)=4.當(dāng)t≥3時(shí)，f(x)在[t，t+1]上單調(diào)遞減，∴f(x)max=f(t)=-(t-3)2+4.綜上，f(x)max=-(t-2【方法小結(jié)】解決二次函數(shù)的最值問題主要采用圖象法或根據(jù)單調(diào)性求解，若問題中含參數(shù)，往往需要分類討論，該類問題概括起來主要有兩類：一是二次函數(shù)的解析式確定(不含參數(shù))，而定義域?yàn)椴欢▍^(qū)間；二是定義域確定，而解析式中含參數(shù).無論遇到哪一類問題，先確定拋物線的對稱軸和開口方向，就對稱軸與給出的區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行討論.探究8：冪函數(shù)及其應(yīng)用【例8】已知冪函數(shù)g(x)=x-12m2+m+32(m∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱，(1)求出m的值和函數(shù)g(x)的解析式；(2)函數(shù)f(x)=ag(x)+a2x+3(a∈R)在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【方法指導(dǎo)】(1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及m∈Z，得到m=0，1，2，再根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得m=1即可得到答案；(2)代入g(x)的解析式后，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象的對稱軸與區(qū)間的端點(diǎn)值的關(guān)系列式可解得.【解析】(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)g(x)=x-12m2+m+3且g(2)<g(3)，所以g(x)為偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞)上單調(diào)遞增，所以-12m2+m+32即m2-2m-3<0，解得-1<m<3.又m∈Z，所以m=0，1，2.當(dāng)m=0時(shí)，g(x)=x32不是偶函數(shù)，當(dāng)m=1時(shí)，g(x)=x2是偶函數(shù)，符合題意；當(dāng)m=2時(shí)，g(x)=x32不是偶函數(shù)，所以m=1，g(x)=x2.(2)因?yàn)閒(x)=ag(x)+a2x+3=ax2+a2x+3(a∈R)在區(qū)間[-2，-1]上單調(diào)遞增，所以a解得a≥4，或a<0.【方法小結(jié)】抓住冪函數(shù)的概念和性質(zhì)，綜合單調(diào)性、奇偶性等解決問題.探究9：抽象函數(shù)問題【例9】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞，0)∪(0，+∞)，且滿足條件：①f(xy)=f(x)+f(y)；②f(2)=1；③當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.(1)求證：函數(shù)f(x)為偶函數(shù).(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.(3)求不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集.【方法指導(dǎo)】【解析】(1)由f(2)=f(1×2)=f(1)+f(2)，得f(1)=0.由f(1)=f((-1)×(-1))=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0，得f(-1)=0，∴f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)，∴f(x)為偶函數(shù).(2)任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，則x2x由當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，得fx2x∴f(x2)=fx1·x2x1=f(x∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增.又f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增.(3)由f(xy)=f(x)+f(y)，得f(x)+f(x-3)=f(x(x-3)).又f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，∴原不等式可轉(zhuǎn)化為f(x(x-3))≤f(4).∵f(x)是偶函數(shù)，且在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴0<|x(x-3)|≤4，解得-1≤x≤4，x≠0且x≠3，∴不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集為[-1，0)∪(0，3)∪(3，4].【方法小結(jié)】研究抽象函數(shù)的奇偶性，可以通過對函數(shù)式f(xy)=f(x)+f(y)中的x，y進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值使其出現(xiàn)f(x)和f(-x)的關(guān)系式；探討單調(diào)性時(shí)，也是先對其賦值使其出現(xiàn)f(x1)-f(x2)，再利用奇偶性和單調(diào)性的定義來解；求解不等式時(shí)，一般可通過研究其單調(diào)性來解決.(1分鐘)素養(yǎng)圖譜(5分鐘)1.(2021年全國乙卷)設(shè)函數(shù)f(x)=1-x1A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1【解析】由題意可得f(x)=對于A，fx-1-1=對于B，fx-1對于C，fx對于D，fx+故選：B.【答案】B2.(2020年天津卷)函數(shù)y=4xx2【解析】函數(shù)y=4xx2+1的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱.令y=f(x)=4xx2+1，則f(-x)=-4xx2+1=-f(x)，則函數(shù)y=f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤；當(dāng)x=1時(shí)，【答案】A3.(2020年全國Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)