專題106條件概率二項分布及正態(tài)分布2020年高考數(shù)學一輪復(fù)習對點提分文理科通用學生版紙間書屋

第十篇計數(shù)原理、概率、隨量及其分布專題 條件概率、二項分布及正態(tài)分了解條件概率，能計算簡單隨機的條件概率，了解條件概率與獨立性的關(guān)系會利用乘法計算概率，會利用全概率計算概率了解試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題了解服從正態(tài)分布的隨量，通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征設(shè)A，B為兩個，且P(A)＞0， A＝P（A）(2)BC下，B發(fā)生的條件概定義：設(shè)A，B為兩個，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱A與B相互獨立 性質(zhì)：若A與B相互獨立，則A與B，A與B，A與B也都相互獨立(1)完備組設(shè)Ω是試驗E的樣本空間，A1，A2，…，An是樣本空間的一個劃分，滿足②A1，A2，…，An兩兩互不相容，則稱A1，A2，…，An組成樣本空間Ω的一個完備組.(2)全概率n設(shè)S為隨機試驗的樣本空間，A1，A2，…，An是兩兩互斥 ，且有nS，則對任 B，有P(B)＝∑P(Ai)P(B|Ai)稱滿足上述條件的A1，A2，…，An為完 組(2)二項分n在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ckpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，此時稱隨量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概n正態(tài)分布的定如果對于任何實數(shù)a，b(a＜b)，隨量X滿足P(a＜X≤b)＝bφμ，σ(x)dx，則稱隨量X服從正態(tài)分布a1記為X～N(μ，σ2).其中

e2σ2正態(tài)曲線的性xxxx＝μ③曲線在 1；σμσ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997相互獨立與互斥的區(qū)相互獨立是指兩個發(fā)生的概率互不影響，計算式為P(AB)＝P(A)P(B)，互斥是指在同一試驗中，兩個不會同時發(fā)生，計算為P(A∪B)＝P(A)＋P(B).XX～N(μ，σ2)，要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線X＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1.相互獨立就是互斥 對于任意兩個，P(AB)＝P(A)P(B)都成立 n二項分布是一個概率分布列，是一個用P(X＝k)＝Ckpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復(fù)試驗中A發(fā)生的次數(shù)的概率分布.( n從裝有3個紅球，3個白球的盒中有放回地任取一球，連取3次，則取到紅球的個數(shù)X服從超幾何分 【衍化2.(選修2－3P54練習2改編)已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同.甲每次 3 【體驗4.(2018Ⅲ卷)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)<P(X＝6)，則p＝( 35.(2019·汕頭模擬)甲、乙兩人參加 價值觀”知識競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為33和4，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為

5 6.(2019·青島聯(lián)考)已知隨量X～N(1，σ2)，若P(X>0)＝0.8，則 考點一條件概率與獨立【例1】(1)(一題多解)從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝( (2)(2019和平區(qū)質(zhì)檢

3.某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為3和AB.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立A120B100萬元.【規(guī)律方法 利用定義，分別求P(A)P(AB)，得

＝P(A)借助古典概型概率，先求A包含的基本數(shù)n(A)，再求A與B的交中包含的本數(shù)n(AB)，得

＝n(A)求相互獨立同時發(fā)生的概率的主要方利用相互獨立的概率乘法直接求解正面計算較繁(如求用“至少”表述的的概率)或難以入手時，可從其對立入手計算【訓練1】(1)(2019一模)夏秋兩季，長江口外淺海域的中華魚回游到長江，歷經(jīng)三千多公里的溯流博擊，回到金沙江一帶產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)后待幼魚長大到15厘米左右，又攜帶它們旅居外海.一個環(huán)保組織曾在金沙江中放生一批中華魚魚苗，該批魚苗中的雌性能長成概率為0.15，雌性長成熟又能成功溯卵繁殖的概率為0.05，若該批魚苗中的一個雌性在長江口外淺海域已長成熟，則其能功溯卵繁殖的概率為 B.0.007(2)(2018·濮陽二模)如圖，已知電路中

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考點二全概率230%50%20%，2%，1%，1%，問從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是多少？【規(guī)律方法】全概率是計算概率的一個很有用的，通常把B1，B2，…，Bn看成導致A發(fā)生的一組原因.如若A是“次品”，必是n個車間生產(chǎn)了次品；若A是“某種疾病”，必是幾種病因?qū)е翧發(fā)生；若A表示“被”，必有幾種方式或幾個人打中.何時用全概率：多種原因?qū)е碌陌l(fā)生如何用全概率：將分解成兩兩不相容的完備組.(3)從本質(zhì)上講，全概率是加法與乘法的結(jié)合.26只白球、412次，求第二次取到白考點三30出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到樣本的頻率分布直方圖如下圖根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y505Y的分布列n【規(guī)律方法】利用獨立重復(fù)試驗概率可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足P(X＝k)＝Ckpk(1－p)n－k的三個條件：(1)在一次試驗中某A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復(fù)試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；(3)該表示n次試驗中A恰好發(fā)生了k次的概率.n【訓練3】為研究家用轎車在高速公的車速情況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員，得到其在高速公行駛時的平均車速情況為：在55名駕駛員中，平均車速超過100km/h的有40人，100km/h1545100km/h20100km/h25人在被的駕駛員中，從平均車速不超過100km/h的人中隨機抽取2人，求這2人恰好有1名駕1以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速公行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車平均車速超過100km/h且為駕駛員的車輛為X，求X的分布列.【例4】(1)(2019·鄭州模擬)已知隨量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則 (2)(2019·茂名一模)設(shè)X～N(1，1)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形ABCD中隨機投擲10個點，則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值是 (注：若X～N(μ，σ2)，則A.7 B.6 C.7 D.6 (1)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)曲線與x軸之間的面積為1.注意下面兩個結(jié)論的活用：【訓練4】(2019·淄博一模)設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)為隨量X，且X～N(800，502).則一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為( (參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954＋3σ)＝0.997A.0.977 B.0.682 C.0.997 D.0.954【與感悟古典概型中，A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概 為P(B|A)＝P(AB)＝n(AB)，其中，在實際應(yīng)用

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＝n(A)全概率的理論和實用意義在于P(B)BAiAi往往可以簡化計n(1)判斷一個隨量是否服從二項分布，關(guān)鍵有二：其一是獨立性，即一次試驗中，發(fā)生與不發(fā)生二n次.(2)對于二項分布，如果在一次試驗中某發(fā)生的概率是p，那在n次獨重復(fù)試驗中這個恰好發(fā)生k次的概率是PX＝k＝Ckpq－k.其中k＝0，1，…，q＝1p.n運用P(AB)＝P(A)P(B)時一定要注意成立的條件，只有當A，B相互獨立時，才成立【素養(yǎng)提升【數(shù)據(jù)分析】——數(shù)據(jù)分析是指針對研究對象獲取數(shù)據(jù)，運用數(shù)學方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對象知識的素養(yǎng).數(shù)據(jù)分析過程主要包括：收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，提取信息，構(gòu)建模型，進行推斷，獲得結(jié)論.3局，勝兩局的一方獲勝；另一種是比賽的一方先獲勝兩局則比賽結(jié)束，兩種不同的賽制對于同一問題的概率計算結(jié)果是否一樣呢？我們可通過的習題對此問題進行認識.(2－3P592.2B1)0.6，乙勝的概率0.43253勝制對甲更有利？你對局制長短的設(shè)置有何認識？【拓展延伸】【拓展1】兩方參賽匣中有3紅5黑20個球.現(xiàn)甲、乙二人輪流從匣中取球，甲先取而乙后??；人每次取一球且取后不放回.按規(guī)定先取到紅球者獲勝，而出現(xiàn)白球時為平局.分別求甲獲勝、乙獲勝和平局的概率.【拓展2】(參賽)甲、乙、丙三人進行比賽，規(guī)定每局兩個人比賽，勝者與第三人比賽，依次循環(huán)，直至有一人連勝兩局為止，此人即為冠軍.已知每次比賽雙方取勝的概率都是0.5，現(xiàn)假定甲、乙兩人先比，【基礎(chǔ)鞏固題組】(建議用時：40分鐘1.108107靶的概率是 已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間6)內(nèi)的概率附：若隨機變ξ服從正態(tài)分布N(μσ2，則P(μσ<ξ<μσ＝68.26P(μ2σ<ξ<μ2σ 5.(2019·廈門二模)袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽

已知隨量X服從正態(tài)分布N(0，82)，若P(X>2)＝0.023，則 某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立.則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于 某的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18，19，20層?？?若該電梯在底層有5個乘客，且每位乘客3這三層的每一層下電梯的概率均為，用X表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則 3在某中學籃球體育測試要求學生完成“立定投籃”和“三步上籃”兩項測試，“立定投籃”與“三步上2時間，每項只需且必須投中一次即為合格 同立定投籃 中率為2，“三步上籃 中率為4，設(shè)不放棄任何一次投籃機會且每次投籃是否命中互不影響求同學一次測試合格的概率設(shè)測試過程中投籃的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityIndex，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；300以上為嚴重污染.一環(huán)保記錄去年某地六月10天的AQI的數(shù)據(jù)分別為利用該樣本估計該地六月空氣質(zhì)量為優(yōu)良(AQI≤100)的天數(shù)將頻率視為概率，從六月中隨機抽取3天，記三天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù)為ξ，求ξ的分布列【能力提升題組】(建議用時：20分鐘箱子里有5個黑球，4個白球，每次隨機取出一個球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為( 55

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9 3 D.C4×9