留數(shù)的計(jì)算方法

摘要：本文介紹了常見的幾類的留數(shù)的計(jì)算方法.并通過實(shí)例加以闡析.關(guān)鍵詞：留數(shù);極點(diǎn);零點(diǎn)TheCalculationoftheResidueAbstract:Thispaperpresentsseveralcommonlysolvingmethodsofresidue.Basedonexamples,thesesolvingmethodsarestatedandanalyzed.KeyWords:Residue;Poles;Zero-point引言由留數(shù)定理得知，計(jì)算函數(shù)沿的積分，可歸結(jié)為計(jì)算圍線內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)之和．而留數(shù)又是該奇點(diǎn)處的羅朗級(jí)數(shù)的負(fù)一次冪的系數(shù)，因此我們只關(guān)心該奇點(diǎn)處羅朗級(jí)數(shù)中的負(fù)一次冪系數(shù)，也就是說，不必完全求出羅朗級(jí)數(shù)就可以完全確定該點(diǎn)的留數(shù).下面介紹求留數(shù)的幾種常用方法，使用時(shí)要根據(jù)具體條件，選擇一個(gè)較方便的方法來進(jìn)行.1.有限遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算方法留數(shù)定理把計(jì)算閉曲線上的積分值的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算各個(gè)孤立奇點(diǎn)上的留數(shù)的問題，即計(jì)算在每一個(gè)孤立奇點(diǎn)處的羅朗展式中負(fù)冪一次項(xiàng)的系數(shù).在一般情況下，求羅朗展式也是比較麻煩的，因此，根據(jù)孤立奇點(diǎn)的不同類型，分別建立留數(shù)計(jì)算的一些簡便方法是十分必要的.1.1若為的可去奇點(diǎn)則在內(nèi)的羅朗展開式中不含負(fù)冪項(xiàng)，從而，故當(dāng)為的可去奇點(diǎn)時(shí)，(1.1)1.2若為的一階極點(diǎn)(1)第一種情形：若為的一階極點(diǎn)，則在內(nèi)的羅朗展開式為

顯然，故當(dāng)為的一階極點(diǎn)時(shí)，（1.2）(2)第二種情形：若為的一階極點(diǎn)，且，則.

(1.3)1.3若為的階極點(diǎn)則.（1.4）一般來講,公式(1.4)適合計(jì)算級(jí)數(shù)較低的函數(shù)的極點(diǎn)的留數(shù).如果極點(diǎn)的級(jí)數(shù)較高時(shí),計(jì)算可能比較復(fù)雜,此時(shí)可根據(jù)具體情況改用其他方法計(jì)算留數(shù).1.4當(dāng)為的本性奇點(diǎn)時(shí)幾乎沒有什么簡捷方法，因此對(duì)于本性奇點(diǎn)處的留數(shù)，就只能利用羅朗展開式的方法或計(jì)算積分的方法來求．1.5有限遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)計(jì)算典型實(shí)例例1.5.1求．解容易知道是函數(shù)的一階極點(diǎn)，所以.本題也可用上述方法設(shè)，取，，顯然，滿足方法1.2中(2)的條件，所以.例1.5.2求函數(shù)在處的留數(shù).解由于是分母的一級(jí)零點(diǎn),且分子在時(shí)不為零,因此,是的一級(jí)極點(diǎn).由公式(1.2)可以得到.由于是分母的二級(jí)零點(diǎn),且分子在時(shí)不為零,因此,是的二級(jí)極點(diǎn).由公式(1.4)得=.例1.5.3求函數(shù)在處的留數(shù).解因?yàn)橐詾橐患?jí)零點(diǎn),而,因此以為一級(jí)極點(diǎn).由公式(1.3)得.例1.5.4求函數(shù)在處的留數(shù).解是的本性奇點(diǎn),因?yàn)?

所以相乘后級(jí)數(shù)的系數(shù)為于是2.無限遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)計(jì)算方法2.1無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)定義或留數(shù)和定理定義2.1.1[3]設(shè)點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)孤立奇點(diǎn),即在內(nèi)解析,則稱積分值為在點(diǎn)的留數(shù),記作.其中,C為圓周,的方向是順時(shí)針的.設(shè)在內(nèi)的洛朗展式為上式兩端同乘,沿逐項(xiàng)積分,并根據(jù)定義1，有.

(2.1)即在點(diǎn)的留數(shù)等于它在領(lǐng)域的洛朗展式中負(fù)一次冪的系數(shù)的相反數(shù).這里需要指出的是,當(dāng)為的有限可去奇點(diǎn)時(shí),必然有;但是,如果是的可去奇點(diǎn)時(shí),則不一定有.如,在是的可去奇點(diǎn);但.例2.1.1求函數(shù)在點(diǎn)處的留數(shù).解函數(shù)以及為一階極點(diǎn)，而為本性奇點(diǎn)又所以．關(guān)于函數(shù)在有限孤立奇點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)之間的關(guān)系,有如下定理.定理2.1.1若，則.

(2.2)證明由條件，故可設(shè)在的去心鄰域的洛朗級(jí)數(shù)因此．公式(2.2)在計(jì)算留數(shù)時(shí)是非常有用的.如果已知函數(shù)在所有有限孤立奇點(diǎn)的留數(shù)之和,由式(2.2)即可知道函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù);反之如果知道了函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù),則函數(shù)在所有有限孤立奇點(diǎn)的留數(shù)之和便可以求出.當(dāng)函數(shù)的有限孤立奇點(diǎn)較多時(shí),其留數(shù)之和計(jì)算比較復(fù)雜時(shí),通過求函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)來求其在所有有限孤立奇點(diǎn)的歷史之和是非常方便的.另外,我們還可以先計(jì)算出比較容易計(jì)算的函數(shù)的部分孤立奇點(diǎn)的留數(shù),然后用公式(2.2)求出比較難計(jì)算的另一部分孤立奇點(diǎn)的留數(shù)之和.結(jié)束語留數(shù)定理的應(yīng)用為一部分積分的計(jì)算提供了便利，特別是對(duì)某些復(fù)雜的積分，它大大縮短求解過程.因此，利用留數(shù)計(jì)算定積分對(duì)理解留數(shù)理論和掌握一些特殊積分的計(jì)算有很大幫助，在平時(shí)的學(xué)習(xí)生活中留數(shù)理論或許能成為求積分與實(shí)際應(yīng)用的有利工具.參考文獻(xiàn)[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].