2018年全國高考數(shù)學(xué)真題匯總（全國一至全國三卷）

2018年全國高考數(shù)學(xué)真題匯總

目錄

一、2018年高考全國卷I理數(shù)高考試題

二、2018年高考全國卷I文數(shù)高考試題

三，2018年高考全國卷H理數(shù)高考試題

?2018年高考全國卷n文數(shù)高考試題

五，2018年高考全國卷in理數(shù)高考試題

六、2018年高考全國卷III文數(shù)高考試題

絕密★啟用前

2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

]-i

1.設(shè)z=-~+2i,則|z|=

1+r1

A.0B.yC.1D.72

2,已知集合4={X,2一%—2>。},則\人=

A.{x|-l<x<2}B.{x|-14x42}

C.{x|x<-1}{x|x>2}D.|x>2}

3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解

該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比

例，得到如下餅圖：

/\28%、第三產(chǎn)業(yè)收入

種植收入/\28%\

種植收入/60%第三產(chǎn)業(yè)收入

脛李1其他收入37%><^5%其他收入

30%30%

養(yǎng)殖收入養(yǎng)殖收入

建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

4.設(shè)5,為等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，若3邑=52+54,4=2，則％=

A.-12B,-10C.10

D.12

5.設(shè)函數(shù)/(x)=d+(a—Df+s；,若/(x)為奇函數(shù)，則曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,0)處的

切線方程為

A.y=-lxB.y=rc.y=2x

D.>=x

6.在A48C中，A。為BC邊上的中線，E為AO的中點(diǎn)，則破=

311331

A,-AB一一ACB.-AB--ACC,-AB+-AC

444444

13

D.-AB+-AC

44

7.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為4，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N

的路徑中，最短路徑的長度為

A.2V17B.2V5C.3

D.2

8.設(shè)拋物線C:)?=4x的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)(-2,0)且斜率為土的直線與。交于加，"兩點(diǎn)，

貝|JFM-FN=

A.5B,6C,7

D.8

e“，尤<0,

9.已知函數(shù)/(x)=〈’-一'g(x)=/(x)+x+a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則”的

Inx,x>0,

取值范圍是

A.1-1,0)B.10,+00)C.[-1,+00)

D.口，+8)

10.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓

的直徑分別為直角三角形48c的斜邊BC,直角邊AB,AC.ZkABC的三邊所圍成的區(qū)

域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為III.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自I,

II,HI的概率分別記為Pl,必，P3,則

A.p\=p2B.pf

C.p2=P3D.0=P2+P3

11.已知雙曲線C:5-9=1,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條

漸近線的交點(diǎn)分別為M.N.若△OMN為直角三角形，則|MV|=

A.-B.3C.2百D.4

2

12.已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角相等，則?截此正方體所得

截面面積的最大值為

A.更B.氈C.逑D.且

4342

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-2y-2<0

13.若x,y滿足約束條件*x-y+l>0，貝ijz=3x+2y的最大值為.

y<0

14.記為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，若S“=2q,+1,貝心6=.

15.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法

共有種.(用數(shù)字填寫答案)

16.已知函數(shù)/(x)=2sin%+sin2x,則/(x)的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：60分。

17.(12分)

在平面四邊形ABC。中，ZADC=90,NA=45,AB=2,BD=5.

⑴求cosNADB；

(2)若DC=2日求BC.

18.(12分)

如圖，四邊形ABC。為正方形，E,尸分別為AD,BC的中點(diǎn)，以。尸為折痕把△QFC

折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF，3尸.

(1)證明：平面PEF，平面ABFD;

(2)求OP與平面ABFD所成角的正弦值.

P

D

19.(12分)

2

設(shè)橢圓C:'+y2=i的右焦點(diǎn)為尸，過尸的直線/與C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)

為(2,0).

(1)當(dāng)/與無軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：ZOMA=ZOMB.

20.(12分)

某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝每箱200件每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，

如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再

根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為

p(0<p<l),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/(p),求/(p)的最大值點(diǎn)“0.

(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的“°作為p

的值,已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件

不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.學(xué).科網(wǎng)

(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,

求。；

(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作

檢驗(yàn)？

21.（12分）

已知函數(shù)f(x)=--x+alnx.

X

(1)討論了。)的單調(diào)性；

(2)若/(X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)玉,馬，證明：〃xJ-〃一)<a—2.

%—x2

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。

22.［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系中，曲線G的方程為>=左國+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為

極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為Q2+20COS。-3=0.

(1)求G的直角坐標(biāo)方程；

(2)若G與G有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求G的方程.

23.［選修4-5:不等式選講|(10分)

已知f(x)=|x+l|一|"一1|.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/(幻>1的解集；

(2)若XG(0,l)時(shí)不等式/(x)〉x成立，求。的取值范圍.

參考答案:

23456789101112

CBABDABDCABA

13.614.-6315.16Io.----------

2

17.（12分）

BDAB

解:(1)在448。中，由正弦定理得

sin/AsinZADB

52

由題設(shè)知，,所以sinNAZ>3=\-

sin45°sinZADB

；24

由題設(shè)知，ZADB<90°,所以cos4405=

~25~~T

（2）由題設(shè)及（1）知，cosNB￡>C=sinNAQB=、-

在△BCD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2-BDDCcosNBDC

=25+8-2x5x2夜x也

5

25.

所以BC=5.

18.（12分）

解：（I）由已知可得，BF±PF,BFLEF,所以8凡L平面PEF.

又u平面ABFD,所以平面平面ABFD.

（2）作PHA.EF,垂足為，.由（1）得，P4_L平面ABFD.

以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閥軸正方向，|8尸|為單位長，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系H-xyz.

由(1)可得,DELPE.又DP=2,DE=l,所以PE=W>.又PF=1,EF=2,故PEIPF.

可得PH=?,EH=3.

22

則H(0,0,0),P(0,0,—),D(-l,--,0),DP=(1,-,—),HP=(0,0,走)為平面

22222

ABFD的法向量.

3

設(shè)。P與平面ABFD所成角為0,則sin0=|DP|=工=立

\HP\-\DP\V34

所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為6.

4

19.(12分)

解：(1)由已知得尸(1,0)，/的方程為41.

由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,~一)或(1,—Y-).

22

所以AA/的方程為丁=一交x+a或y=Y2x—夜.

2-2

(2)當(dāng)/與x軸重合時(shí)，NOM4=NOM8=0°.

當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，0M為AB的垂直平分線，所以NOMA=NOMB.

當(dāng)/與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)/的方程為y=Mx—l)(AHO),A(x,,y),3(w，%)，

則不<0,毛<0，直線MA,MB的斜率之和為￡M4+&MB=-^+-^

''%1-2X2-2

由y=你—%,%=而2—%得

..2kx,x7-3k(x.+羽)+4攵

%+%=。.2)3_2)

X2

將y=Mx-l)代入；■+/9=1得

(2k2+1)%2-4k2x+2左2-2=0.

4尸2k2-2

所以，%,+x—；——,x.x---——.

22k2+122k2+\

4k3-4k-l2k3+Sk3+4k

則2kxx-3&(石+%)+4左=0.

i22k2+1

從而+￡”8=0，故MA,MB的傾斜角互補(bǔ)，所以ZOMA=ZOMB.

綜上，ZOMA=ZLOMB.

20.(12分)

解：(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為了(phCo/Ai—p*因此

182l7l7

r(p)=C^0[2p(l-p)-18p(l-p)]=2C^(l-p)(l-10p).

令/'(p)=0，得〃=Q1.當(dāng)〃e(0,().l)時(shí)，/'(p)>();當(dāng)〃eQlD時(shí)，f'(p)<0.

所以/(p)的最大值點(diǎn)為po=O.l.

(2)由(1)知，p=0.1.

(1)令丫表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知y：5(180,0.1),

X=20x2+257,EPX=40+257.

所以EX=E(40+257)=40+25EK=490.

(ii)如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.

由于EX〉400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).

21.(12分)

解：(1)/甕)的定義域?yàn)?0,+8),/'(x)=—二―1+@=-土二絲土L

XXX

。)若。42，則/'(*O，當(dāng)且僅當(dāng)a=2,x=l時(shí)f'(x)=0，所以/(x)在(0,+oo)

單調(diào)遞減.

(ii)若?！?,令/'(x)=0得，x=a7,4或心

2

當(dāng)xe(0,。書-%u(^+^-4收)時(shí)，八幻<。；

當(dāng)xe(a7；4,aj；4)時(shí)，小巧.所以f(x)在

(0,竺岑三口史咚二,+8)單調(diào)遞減在(匕與三，交咚三)單調(diào)遞

增.

(2)由(1)知，/(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2.

由于/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)％],入2滿足了2-依+1=。，所以不9=1,不妨設(shè)X,<X2,則

x2>1.由于

/(玉)一/(/)1Inx}-Inx2lnx)—lnx2-2Inx2

玉一/玉/玉一%2七一工2±_r

x2

所以"內(nèi))［"々)<q_2等價(jià)于」-_/+21工2<0?

X］-x2x2

設(shè)函數(shù)g(x)='-x+21nx，由(1)知，g(x)在(0,+8)單調(diào)遞減，又g⑴=0,從

x

而當(dāng)XG(1,+OO)時(shí)，g(x)<0.

所以‘~—X2+21nx,<0，即/")_/(々)<口_2.

x2-Xf—X2

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

【解析】(1)由x=pcos。，y=psin。得G的直角坐標(biāo)方程為(x+iy+V=4.

(2)由(1)知G是圓心為A(—1,0),半徑為2的圓.

由題設(shè)知，G是過點(diǎn)3(0,2)且關(guān)于v軸對(duì)稱的兩條射線.記v軸右邊的射線為/,,y

軸左邊的射線為4.由于8在圓G的外面，故G與G有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于4與

G只有一個(gè)公共點(diǎn)且12與G有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與G只有一個(gè)公共點(diǎn)且4與c2有兩

個(gè)公共點(diǎn).學(xué)#科網(wǎng)

\-k+2\C

當(dāng)4與G只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到4所在直線的距離為2,所以「—=2，故

>Jk+\

,4

k=—或k-0.

3

4

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=0時(shí)，4與G沒有公共點(diǎn)；當(dāng)々=一§時(shí)，4與只有一個(gè)公共點(diǎn)，4

與。2有兩個(gè)公共點(diǎn).

R+2|

當(dāng)〃與G只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到I所在直線的距離為2，所以=2，故％=0

+1

或2=J.

3

4

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)上=0時(shí)，4與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)女=§時(shí)，4與C2沒有公共點(diǎn).

4

綜上，所求G的方程為>=一］|村+2.

23.|選修4-5:不等式選講|(10分)

—2,xW—1,

【解析】(1)當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=|x+l|TxT|,即/(%)=<2x,-l<x<l,

2,x>1.

故不等式/(x)>l的解集為{x|x〉；}.

(2)當(dāng)XG(O,1)時(shí)|%+1|一|融一1|>%成立等價(jià)于當(dāng)％€(0,1)時(shí)|小一1|<1成立.

若“40，則當(dāng)xe(0,l)時(shí)|辦一1住1；

22

若。>0,I6一1|<1的解集為0<x〈一,所以一21,故0<。42.

aa

綜上，。的取值范圍為(0,2].

絕密★啟用前

2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。

寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1,已知集合人={0,2},B={-2,-1,0,1,2},貝IJAB=

A.{0,2}B.{h2}C.{0}

D.{-2,-1,0,1,2)

1-i,.

2.=—+2i,貝l]z=

1+1

A.0B.-C.1D.72

3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍.實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解

該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比

例.得到如下餅圖：

建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半

r22

4.已知橢圓C：=+2v_=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0），則C的離心率為

a24

A1B1C.立D.逑

3223

5.已知圓柱的上、下底面的中心分別為a,o2，過直線。Q的平面截該圓柱所得的截面

是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為

A.1272KB.12兀C.8右兀D.Wn

6.設(shè)函數(shù)f（x）=d+（。-1）爐+6.若為奇函數(shù)，則曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,0）處的切

線方程為

A.y=-2xB.y=rC.y=2xD.y=x

7.在△ABC中，AP為BC邊上的中線，E為4。的中點(diǎn)，貝IJE8=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

8,已知函數(shù)/(力=2以光2%一$山晨+2,則

A.的最小正周期為兀，最大值為3

B./(X)的最小正周期為兀，最大值為4

C.“X)的最小正周期為2兀,最大值為3

D./(x)的最小正周期為2兀,最大值為4

9.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在A

正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為8，則B

在此圓柱側(cè)面上，從例到N的路徑中，最短路徑的長度為

A.2>/?7B.2y/5

C.3D.2

10.在長方體A5CD—44GD中，AB=BC=2,Ag與平面所成的角為30。,

則該長方體的體積為

A.8B.6亞C.872D.

11.已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A。，a),

3(2,b),且

2

cos2a=—，貝|"。一闿=

A.lB.正C.亞D,1

555

12.設(shè)函數(shù)f(x)=F*'xW],則滿足/(x+l)<〃2x)的X的取值范圍是

1,x>0

A.(-00,-1]B.(0,+oo)C.(-1，0)D.S，0)

二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知函數(shù)/(x)=log2(x2+a),若"3)=1,貝匹=

2y-2W0

14.若人)'滿足約束條件卜—y+12。，貝l|z=3x+2y的最大值為.

yW0

15.直線y=x+l與圓/+產(chǎn)+2丫-3=0交于A,B兩點(diǎn)，則|鉆|=.

16.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知〃sinC+csin8=4asinBsinC,

b2+c2-a2=S,則4ABC的面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，

每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：共60分。

17.(12分)

已知數(shù)列｛4｝滿足4=1,一一=2(〃+1)4,設(shè).

n

(1)求偽，8，打；

(2)判斷數(shù)列｛2｝是否為等比數(shù)列，并說明理由；

(3)求｛4｝的通項(xiàng)公式.學(xué)，科網(wǎng)

18.(12分)

如圖，在平行四邊形A8CM中，AB=AC=3,NACM=90。，以AC為折痕將

折起，使點(diǎn)”到達(dá)點(diǎn)O的位置，且.

(1)證明：平面ACD±平面ABC;

2

(2)。為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP=DQ=3DA，求三棱錐Q-4BP

的體積.

19.（12分）

某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：n?）和使用了節(jié)水龍頭50

天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

0

用[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)

水

量

頻

13249265

數(shù)

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用

[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)

水量

頻數(shù)151310165

（1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

u率/組整八

->

日用水量/m，

(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35n?的概率；

(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計(jì)算，同一組

中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表.)

20.(12分)

設(shè)拋物線C：，點(diǎn)A(2,0),8(-2,0)，過點(diǎn)A的直線/與C交于M,N兩點(diǎn).

(1)當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，求直線及0的方程；

(2)證明:ZABM=NABN.

21.(12分)

已知函數(shù)/(x)=ae*-lnx-1.

(1)設(shè)x=2是/(x)的極值點(diǎn).求a,并求的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)a〉［時(shí)，〃x)N0.

e

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分。

22.［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的方程為y=VX+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，了軸正半軸

為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為p2+2pcose-3=0.

(1)求a的直角坐標(biāo)方程

(2)若G與Cp有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求G的方程.

23.|選修4—5:不等式選講］(10分)

已知F(x)=k+qT?-i|.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求不等式/a)>i的解集；

(2)若xd(O,1)時(shí)不等式/'(x)>x成立，求"的取值范圍.

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2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題

1.A2.C3.A4.C5.B

6.D

7.A8.B9.B10.C11.B

12.D

二、填空題

26

13.-714.615.272lo.---

3

三、解答題

2(〃+1)

17.解：(1)由條件可得斯+產(chǎn)

n

將n=\代入得，。2=4〃],而,所以，生二4.

將n=2代入得，〃3=3。2,所以，的=12.

從而"=1,岳=2,優(yōu)二4.

(2)｛乩｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列.

由條件可得出"=也,即小+1=2⑦，又仇=1,所以｛乩｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比

n+1n

數(shù)列.

n

(3)由(2)可得%=2"1,所以an=n-2-'.

18.解：(1)由已知可得，ZBAC=90°,BA1.AC.

又BA1.AD,所以ABJL平面ACD.

又ABu平面ABC,

所以平面ACDJ_平面ABC.

（2）由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=3近.

又BP=DQ=%DA，所以8P=2收.

作QELAC,垂足為E,貝ijQE_-DC.

-3

由已知及（1）可得OCL平面ABC,所以QEJ_平面4BC,QE=1.

因此，三棱錐Q-ABP的體積為

^-A?/>=^x0￡x5A4?p=1xlx^x3x2V2sin45°=l.

19.解：（1）

(2)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.350?的頻率為

0.2x0.!+1x0.1+2.6x0.!+2x0.05=0.48,

因此該家庭使用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m3的概率的估計(jì)值為0.48.

（3）該家庭未使用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為

-1

Xi=—（0.05x1+0.15x3+0.25x2+0.35x4+0.45x9+0.55x26+0.65x5）=0.48.

該家庭使用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為

-1

X2=—（0.05x1+0.15x5+0.25x13+0.35x10+0.45x16+0.55x5）=0.35.

估計(jì)使用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)省水（0.48-0.35）x365=47.45（11?）.

20.解：（1）當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，/的方程為m2,可得M的坐標(biāo)為（2,2）或（2,-2）.

所以直線BM的方程為產(chǎn)3犬+1或丫=一3尤—1.

（2）當(dāng)/與x軸垂直時(shí)，AB為何N的垂直平分線，所以乙.

當(dāng)/與x軸不垂直時(shí)，設(shè)/的方程為y=Z（x-2）（A*0）,M（為，％）,N（忿，>2）,則

X]>0,X2>0.

由【.二"",得?2_2）>_460,可知丫|+乃=2,yi），2=T.

[y=2xk

直線8M,2N的斜率之和為

%+%=人+上=2+空+期+里,①

%j+2w+2（石+2）（X2+2）

將玉=2+2,/=匹+2及\，1+），2,為力的表達(dá)式代入①式分子，可得

kk

2yly2+4。乂+y）_-8+8

WM+xy+2（*+y?）=2——U.

t2kk

所以無M+%B,V=0，可知,BN的傾斜角互補(bǔ)，所以/ABM+NABN.

綜上，NABM=/ABN.

21.解：（"（x）的定義域?yàn)椋?。?8）

由題設(shè)知，/（2）=0,所以“=9.

從而/（無）=4/一加工-1/（X）1e」

二.

2e2e2X

當(dāng)0<x<2時(shí)，/（x）<0;當(dāng)x>2時(shí)，尸（x）>0.

所以f（%）在（0,2）單調(diào)遞減，在（2,+8）單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)生一時(shí)J(i)N——lnx-1.

ee

eAv1

設(shè)g(x)=---Inx—1，貝ijg'(x)=e-----.

eex

當(dāng)0<x<l時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0.所以x=l是g(R)的最小值點(diǎn).

故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)溝(1)=0.

因此，當(dāng)時(shí)，fM>0.

e

22.|選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程|(10分)

解：(1)由X=0COS。，y=0sin。得G的直角坐標(biāo)方程為

(x+1)2+y2=4.

(2)由(1)知。?是圓心為4-1，°),半徑為2的圓.

由題設(shè)知，C,是過點(diǎn)3(0,2)且關(guān)于了軸對(duì)稱的兩條射線.記)'軸右邊的射線為4,了軸

左邊的射線為4.由于B在圓C?的外面，故G與C?有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于4與C?

只有一個(gè)公共點(diǎn)且12與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或〃與C?只有一個(gè)公共點(diǎn)且/,與G有兩個(gè)公

共點(diǎn).

當(dāng)乙與G只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到乙所在直線的距離為2，所以i卞=+：21=c2，故％=-?4

\Jk+13

或k=0.

4

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)&=0時(shí)，4與G沒有公共點(diǎn)；當(dāng)女=-§時(shí)，4與G只有一個(gè)公共點(diǎn)J與

G有兩個(gè)公共點(diǎn).

\k+2\?

當(dāng)與G只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到4所在直線的距離為2，所以乖工=2，故％=。

y

4

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)A=o時(shí)，4與a沒有公共點(diǎn)；當(dāng)％時(shí)，4與G沒有公共點(diǎn).學(xué).科網(wǎng)

4

綜上，所求G的方程為y=—§|x|+2.

23.［選修4-5:不等式選講|(10分)

-2,x<—1,

解：(1)當(dāng)4=1時(shí)，/(x)=|x+l|-|x-l|,即/*)=.2x,-l<x<l,

2,x>1.

故不等式的解集為{X|X>J.

(2)當(dāng)xe(O,D時(shí)+成立等價(jià)于當(dāng)xe(O,l)時(shí)成立.

若，則當(dāng)xw(O,l)時(shí)|辦-121；

22

若a>0,的解集為0<x<一,所以一21,故0<〃42.

aa

綜上，。的取值范圍為(0,2].

絕密★啟用前

2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.作答時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

,l+2i

'l-2i-

2.已知集合人={(x，丫)產(chǎn)+卜20,XGZ,yeZ),則A中元素的個(gè)數(shù)為

A.9B.8C.5D.4

3.函數(shù)f（x）=2-￡的圖像大致為

八▲A▲八

1/L：Ld

O1xO1x----V1x。入X

ABCD

4.已知向量”,方滿足|a|=l,ab=-l,則a（2a-＞）=

A.4B.3C,2D.0

22

5.雙曲線=1（。＞0,。＞0）的離心率為6,則其漸近線方程為

A.y=±\/2xB.y=±\]3xC.y=±—^-xD?尸土丁

6.在△ABC中，cos§=g,BC=1,AC=5,則他=

A.4亞B.廊C.729D.2亞

7.為計(jì)算S=1-…+白-白，設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖，（開始）

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